课后素养落实(十九)　正态分布

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知变量ξ～N(μ，σ2)，那么下面服从标准正态分布的是(　　)

A．ξ　　　  B．ξ－μ  C．    D．

D　[设Z＝，则E(Z)＝E＝0，

D(Z)＝＝＝1，∴Z＝～N(0,1)，故选D．]

2．如果随机变量ξ～N(0,1)，标准正态分布表中相应x0的值为Φ(x0)，则(　　)

A．P(ξ＝x0)＝Φ(x0)   B．P(ξ＞x0)＝Φ(x0)

C．P(|ξ|＜x0)＝Φ(x0)   D．P(ξ＜x0)＝Φ(x0)

D　[根据标准正态求概率的定义，∴P(ξ＜x0)＝Φ(x0)，故选D．]

3．某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是(　　)

A．甲科总体的标准差最小

B．丙科总体的平均数最小

C．乙科总体的标准差及平均数都居中

D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同

A　[由题中图像可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平，σ越小，正态曲线越尖陡．

故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．

故选A．]

4．(多选题)“杂交水稻之父”袁隆平致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出杰出贡献．某水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度函数为φ(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)，则下列说法正确的是(　　)

A．该地水稻的平均株高为100 cm

B．该地水稻株高的方差为10

C．该地水稻株高在120 cm以上的数量和株高在80 cm以下的数量一样多

D．随机测量一株水稻，其株高在(80,90)和在(100,110)(单位：cm)的概率一样大

AC　[因为密度函数为φ(x)＝·e，所以μ＝100，σ＝10，即均值为100，标准差为10，方差为100，故A正确，B错误；根据正态曲线的特征可知C正确，D错误．故选：AC．]

5．设随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，若P(ξ＞m)＝a，则P(ξ＞6－m)＝(　　)

A．a   B．1－2a

C．2a   D．1－a

D　[由直线ξ＝m与直线ξ＝6－m关于直线ξ＝3对称，得P(ξ＞m)＝P(ξ＜6－m)＝a，则P(ξ＞6－m)＝1－a．]

二、填空题

6．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时达到最高点．

0.2　[由正态曲线关于直线x＝μ对称且在x＝μ处达到峰值和其落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，得μ＝0.2．]

7．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．

1　[正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的，我们需要找出对称轴．由于正态曲线关于直线x＝μ对称，μ的意义是数学期望，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x＝1对称(－1的对称点是3，－3的对称点是5)，所以数学期望为1．]

8．某市统考成绩大体上反映了全市学生的成绩状况，因此可以把统考成绩作为总体，设平均成绩μ＝480，标准差σ＝100，总体服从正态分布，若全市重点校录取率为40%，那么重点录取分数线可能划在________分(已知Φ(0.25)＝0.6)．

505　[∵平均成绩μ＝480，标准差σ＝100，总体服从正态分布，∴X～N(480,1002)．设重点录取分数线可能划在f分，则P(X≥f)＝1－P(X＜f)＝1－Φ．

又Φ(0.25)＝0.6，∴＝0.25，∴f＝505分．]

三、解答题

9．在一次测试中，测量结果X服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，若X在(0,2]内取值的概率为0.2，求：

(1)X在(0,4]内取值的概率；

(2)P(X>4)．

[解]　(1)由于X～N(2，σ2)，对称轴x＝2，画出示意图如图．

因为P(0<X≤2)＝P(2<X≤4)，所以P(0<X≤4)＝2P(0<X≤2)＝2×0.2＝0.4．

(2)P(X>4)＝[1－P(0<X≤4)]＝(1－0.4)＝0.3．

10．在新中国成立七十周年之际，某市某中学的数学课题研究小组，在某一个社区设计了一个调查：在每天晚上7：30～10：00共2.5小时内，居民浏览“学习强国”的时间．如果这个社区共有成人按10 000人计算，每人每天晚上7：30～10：00期间打开“学习强国APP”的概率均为p(某人在某一时刻打开“学习强国APP”的概率p＝，0<p<1)，并且是否打开进行学习是彼此相互独立的．他们统计了其中100名成人每天晚上浏览“学习强国APP”的时间(单位：min)，得到下面的频数表，以样本中100名成人的平均学习时间作为该社区每个人的学习时间．

(1)试估计p的值；

(2)设X表示这个社区每天晚上打开“学习强国APP”进行学习的人数．

①求X的数学期望E(X)和方差D(X)；

②若随机变量Z满足Z＝，可认为Z～N(0,1)．假设当4950<X≤5100时，表示社区处于最佳的学习氛围，试由此估计，该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时间长度(结果保留为整数)．

附：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z≤μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ<Z≤μ＋3σ)≈0.997．

[解]　(1)该社区内的成人每天晚上打开“学习强国APP”的平均时间为：

55×0.1＋65×0.2＋75×0.4＋85×0.2＋95×0.1＝75(min)，

而调查总时长为150(min)，故p＝＝．

(2)①根据题意，X～B．

故E(X)＝np＝10000×＝5000，

D(X)＝np(1－p)＝10000××＝2500．

②Z＝＝X－100，

当4 950<X≤5 100时，－1<Z≤2，Z～N(0,1)，

P(－1<Z≤2)＝P(μ－σ<Z≤μ＋2σ)≈0.954－＝0.818 5．

故P(4 950<Z≤5100)＝P(－1<Z≤2)≈0.818 5．

∴估计该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时间长度为150×0.818 5≈123(min)．

1．(多选题)某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f(x)＝e－(x∈R)，则下列正确的是(　　)

A．该市这次考试的数学平均成绩为80分

B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同

C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同

D．该市这次考试的数学标准差为10

ACD　[∵其密度函数为f(x)＝e (x∈R)，

∴该市这次考试的数学平均成绩为80分，

该市这次考试的数学标准差为10．

从图形上看，它关于直线x＝80对称，

且50与110也关于直线x＝80对称，

故分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同．故选ACD．

]

2．用Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(10,0.12)，则概率P(|ξ－10|＜0.1)等于(　　)

A．Φ(－9.9)   B．Φ(10.1)－Φ(9.9)

C．Φ(1)－Φ(－1)   D．2Φ(10.1)

C　[若随机变量ξ服从正态分布N(10,0.12)，则Z＝～N(0,1)．

又Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，所以P(|ξ－10|＜0.1)＝P

＝P(－1＜Z＜1)＝Φ(1)－Φ(－1)，故选C．]

3．已知随机变量X～N(2,22)，且aX＋b服从标准正态分布N(0,1)，则a＝________，b＝________．

±　±1　[∵ 随机变量X～N(2,22)，

∴E(X)＝2，D(X)＝22＝4．

∴E(aX＋b)＝aE(X)＋b＝2a＋b＝0，

D(aX＋b)＝a2D(X)＝4a2＝1，

∴a＝±，b＝±1．]

4．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，则下列结论正确的是________．(填序号)

①P(|ξ|<a)＝P(ξ<a)＋P(ξ>－a)(a>0)；

②P(|ξ|<a)＝2P(ξ<a)－1(a>0)；

③P(|ξ|<a)＝1－2P(ξ<a)(a>0)；

④P(|ξ|<a)＝1－P(|ξ|>a)(a>0)．

②④　[因为P(|ξ|<a)＝P(－a<ξ<a)，所以①不正确；

因为P(|ξ|<a)＝P(－a<ξ<a)＝P(ξ<a)－P(ξ<－a)＝P(ξ<a)－P(ξ>a)＝P(ξ<a)－(1－P(ξ<a))＝2P(ξ<a)－1，所以②正确，③不正确；

因为P(|ξ|<a)＋P(|ξ|>a)＝1，

所以P(|ξ|<a)＝1－P(|ξ|>a)(a>0)，所以④正确．]

某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．

(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)；

(2)由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．

①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X～N(μ，σ2)，令Y＝， 则Y～

N(0,1)，且P(X≤a)＝P(Y≤)．

利用直方图得到的正态分布，求P(X≤10)．

②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P(Z≥2)(结果精确到0.000 1)以及Z的数学期望．

参考数据：≈，0.773 419≈0.0076．若Y～N(0,1)，则P(Y≤0.75)＝0.773 4．

[解]　(1)＝6×0.03＋7×0.1＋8×0.2＋9×0.35＋10×0.19＋11×0.09＋12×0.04＝9，

s2＝(6－9)2×0.03＋(7－9)2×0.1＋(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.35＋(10－9)2×0.19＋(11－9)2×0.09＋(12－9)2×0.04＝1.78．

(2)①由(1)知μ＝9，σ2＝1.78，∴X～N(9,1.78)，

σ＝＝≈．

∴P(X≤10)＝P＝P(Y≤0.75)＝0.773 4．

②由①知P(X＞10)＝1－P(X≤10)＝0.226 6，

可得Z～B(20,0.226 6)，

P(Z≥2)＝1－P(Z＝0)－P(Z＝1)

＝1－0.773 420－C×0.226 6×0.773 419

＝1－(0.773 4＋20×0.226 6)×0.007 6≈0.959 7．

∴Z的数学期望E(Z)＝20×0.226 6＝4.532．