高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.2.1 等差数列授课课件ppt

5.2　等差数列

5.2.1　等差数列

第1课时　等差数列的定义

知识点1　等差数列的概念

一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的公差．

拓展：等差数列定义的理解

(1)“每一项与它的前一项之差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．

(2)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．

1．下列数列中不是等差数列的为(　　)

A．6，6，6，6，6　　　 B．－2，－1，0，1，2

C．5，8，11，14 D．0，1，3，6，10

D　[A中给出的是常数列，是等差数列，公差为0；

B中给出的数列是等差数列，公差为1；

C中给出的数列是等差数列，公差为3；

D中给出的数列第2项减去第1项等于1，第3项减去第2项等于2，故此数列不是等差数列．]

知识点2　等差数列的通项公式及其推广

若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d．该式可推广为an＝am＋(n－m)d(其中n，m∈N＋)．

等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d是什么函数模型？

[提示]　d≠0时，一次函数；d＝0时，常数函数．

拓展：等差数列与一次函数的异同点

2．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝________．

6－2n　[∵a1＝4，d＝－2，

∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n．]

知识点3　等差数列的单调性

等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为递增数列；若公差d<0，则数列{an}为递减数列；若公差d＝0，则数列{an}为常数列，不增也不减．

3．已知点(1，5)，(2，3)是等差数列{an}图像上的两点，则数列{an}为(　　)

A．递增数列　　　　 B．递减数列

C．常数列 D．无法确定

B　[等差数列{an}的图像所在直线的斜率k＝＝－2<0，故数列{an}是递减数列．]

类型1　等差数列的判定

【例1】　已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，在数列{bn}中，bn＝3an＋4，试判断{bn}是不是等差数列．

[思路点拨]　可以利用a1和d写出bn的通项公式．

[解]　由题意可知an＝a1＋(n－1)d(a1，d为常数)，则bn＝3an＋4＝3[a1＋(n－1)d]＋4＝3a1＋3(n－1)d＋4＝3dn＋3a1－3d＋4．

由于bn是关于n的一次函数(或常数函数，当d＝0时)，

故{bn}是等差数列．

判断数列{an}是否为等差数列，主要是利用等差数列的定义，即验证an＋1－an＝dn∈N＋是否成立.具体步骤为：

1作an＋1－an，并对上式进行变形；

2若an＋1－an是常数，则数列{an}是等差数列，否则数列{an}不是等差数列.

[跟进训练]

1．数列{an}的通项公式an＝4－3n，则此数列(　　)

A．是公差为4的等差数列

B．是公差为3的等差数列

C．是公差为－3的等差数列

D．是首项为4的等差数列

C　[∵an＋1－an＝4－3(n＋1)－(4－3n)＝－3．

∴{an}是公差为－3的等差数列．]

2．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，试证明数列是等差数列．

[证明]　∵an＋1＝，

∴＝＝＋，

即－＝2，∴是首项为，公差d＝2的等差数列．

类型2　等差数列的通项公式

1．若{an}是等差数列，试用am，an表示公差d，其中n≠m．

[提示]　d＝．

2．若数列{an}的通项公式an＝kn＋b，则该数列是等差数列吗？

[提示]　是．因为an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k，故{an}是等差数列．

【例2】　(对接教材P19例5)(1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an；

(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，求a15的值．

[思路点拨]　设出基本量a1，d．利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式an＝am＋(n－m)d求解．

[解]　(1)法一：∵a4＝7，a10＝25，

则得

∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，

∴通项公式an＝3n－5(n∈N＋)．

法二：∵a4＝7，a10＝25，

∴a10－a4＝6d＝18，

∴d＝3，

∴an＝a4＋(n－4)d＝3n－5(n∈N＋)．

(2)法一：由

得

解得a1＝，d＝－．

∴a15＝a1＋(15－1)d

＝＋14×＝－．

法二：由a7＝a3＋(7－3)d，

即－＝＋4d，

解得d＝－．

∴a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－．

1．应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，得求出a1和d，从而确定通项公式．

2．若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，则运用an＝am＋(n－m)d较为简捷．

[跟进训练]

3．若x≠y，且两个数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各成等差数列，那么等于________．

　[∵数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y均为等差数列，

∴

∴＝1，

即＝，

故＝．]

4．在等差数列{an}中，已知a4＝10，a14＝70，则an＝__________．

6n－14　[法一：设公差为d，则解得所以an＝a1＋(n－1)d＝6n－14．

法二：设公差为d，则d＝＝＝6，

an＝a4＋(n－4)·d＝10＋6(n－4)＝6n－14．]

1．已知等差数列{an}中，an－an－1＝2(n≥2)，且a1＝1，则这个数列的通项公式为(　　)

A．an＝2n－1　　 B．an＝2n＋1

C．an＝n－1 D．an＝n＋1

A　[an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1．]

2．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n(n∈N＋)，则它的公差d为(　　)

A．2　　　　B．3　　　　C．－2　　　　D．－3

C　[d＝an＋1－an＝3－2(n＋1)－(3－2n)＝－2，故选C．]

3．若数列{an}满足a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则当am＝－2 021时，m的值是    (　　)

A．679  B．680  C．681  D．690

C　[∵a1＝19，an＋1－an＝－3(n∈N*)，∴{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n．∴当am＝－2 021时，m＝681．]

4．在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝________．

18　[公差d＝＝＝2，

∴a10＝a2＋8d＝2＋8×2＝18．]

5．{an}是首项a1＝2，公差d＝3的等差数列，若an＝2 021，则n＝________．

674　[∵a1＝2，d＝3，

∴an＝2＋(n－1)×3＝3n－1．

由3n－1＝2 021得n＝674．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．判断一个数列是不是等差数列的常用方法有哪些？

[提示]　判断一个数列是不是等差数列的常用方法有：

(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列；

(2)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列．

但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．

2．求等差数列通项公式的一般思路是什么？

[提示]　方程思想：设出基本量a1与d，利用条件构建方程组，求出a1与d，即可写出数列的通项公式．

事实上，已知等差数列中的两项时，可利用an＝am＋(n－m)d求出公差d，这样就可绕过求首项a1，直接写出等差数列的通项公式．

注意：对于等差数列的通项公式，最终结果一般写成关于n的一次函数的形式，不必保留a1＋(n－1)d的形式．