2020-2021学年5.3.1 等比数列教学演示ppt课件

5.3　等比数列

5.3.1　等比数列

第1课时　等比数列的定义

知识点1　等比数列的概念

一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即＝q恒成立，则称数列{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比．

1．在等比数列{an}中，某一项可以为0吗？

[提示]　一定不能为0．

拓展：对等比数列的定义的理解

(1)“从第2项起”有两层含义，第一层是第一项没有“前一项”，第二层是包含第一项后的所有项．

(2)“每一项与前一项的比”意思也有两层，第一层指相邻的两项之间，第二层指后项与前项的比．

(3)判断一个数列是否为等比数列，主要是利用等比数列的定义，即验证其通项是否满足＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数，n≥2)．

(4)对于常数列，若它的各项都是零，则它只是等差数列，不是等比数列，各项都不为零的常数列既是等差数列，又是等比数列．因此，常数列必是等差数列，却不一定是等比数列．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若an＋1＝qan，n∈N*且q≠0，则{an}是等比数列． (　　)

(2)常数列一定是等比数列． (　　)

(3)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√

知识点2　等比数列的通项公式及其推广

若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式an＝a1qn－1，该式可推广为an＝amqn－m，其中n，m∈N*．

2．等比数列通项公式an＝a1qn－1是关于n的指数型函数吗？

[提示]　不一定．如当q＝1时，an是关于n的常数函数．

2．(1)已知{an}是首项为2，公比为3的等比数列，则这个数列的通项公式为(　　)

A．an＝2·3n＋1　　　　 B．an＝3·2n＋1

C．an＝2·3n－1 D．an＝3·2n－1

(2)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝________．

(1)C　(2)　[(1)由已知可得a1＝2，q＝3，则数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1＝2·3n－1．

(2)法一：∵a2＝a1q＝2， ①

a5＝a1q4＝， ②

∴②÷①得：q3＝，∴q＝．

法二：∵a5＝a2q3，∴q3＝⇒q＝．]

知识点3　等比数列的单调性

等比数列{an}的首项为a1，公比为q．

(1)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，数列为递增数列；

(2)当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，数列为递减数列；

(3)当q＝1时，数列为常数列；

(4)当q<0时，数列为摆动数列．

3．已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an－2)＝5an－1，则数列{an}的通项公式为__________．

an＝2n　[设数列{an}的公比为q．

∵a＝a10，2(an＋an－2)＝5an－1，

∴，∴或．

又数列{an}为递增数列，∴a1＝q＝2，∴an＝2n．]

类型1　等比数列基本量的求解

【例1】　在等比数列{an}中．

(1)a4＝2，a7＝8，求an；

(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n；

(3)a3＝2，a2＋a4＝，求an．

[解]　(1)法一：∵

∴

由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，

于是a1＝＝，∴an＝a1qn－1＝2．

法二：∵a7＝a4q3，∴q3＝＝＝4，

∴q＝．

∴an＝a4qn－4＝2×4＝2×2＝2．

(2)法一：∵　

由得q＝，从而a1＝32，又an＝1，

∴32×＝1，即26－n＝20，

∴n＝6．

法二：∵a3＋a6＝q(a2＋a5)，

∴q＝．

由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32．由an＝a1qn－1＝1，知n＝6．

(3)设等比数列{an}的公比为q，则q≠0．

a2＝＝，a4＝a3q＝2q，

∴＋2q＝，解得q1＝，q2＝3．

当q＝时，a1＝18，∴an＝18×＝2×33－n．

当q＝3时，a1＝，∴an＝×3n－1＝2×3n－3．

综上，当q＝时，an＝2×33－n；当q＝3时，an＝2×3n－3．

a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解.此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a1和q的方程组，求出a1和q.

[跟进训练]

1．(多选题)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完”．设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，……，第六天被截取剩下的一半剩下a6尺，则(　　)

A．a6＝　 B．＝8

C．a5＋a6＝ D．a1＋a2＋…＋a6＝

BD　[依题意可知，a1，a2，a3，…成等比数列，且首项与公比均为，

则a6＝＝，＝8，a5＋a6＝，a1＋a2＋…＋a6＝．故选BD．]

类型2　等比数列的判定与证明

【例2】　(对接教材P31例3)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N＋)．

(1)求a1，a2；

(2)求证：数列{an}是等比数列．

[解]　(1)由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)，

∴a1＝－．

又S2＝(a2－1)，即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝．

(2)证明：当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，

得＝－．

又a1＝－，

所以数列{an}是首项为－，公比为－的等比数列．

1．已知数列的前n项和，或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解．

2．判断一个数列是否是等比数列的常用方法有：

①定义法：＝q(q为常数且不为零)⇔{an}为等比数列．

②通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列．

③构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可．

[跟进训练]

2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证{an}是等比数列，并求出通项公式．

[证明]　∵Sn＝2an＋1，

∴Sn＋1＝2an＋1＋1．

∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an，∴an＋1＝2an，

又∵S1＝2a1＋1＝a1，

∴a1＝－1≠0．

又由an＋1＝2an知an≠0，

∴＝2，

∴{an}是等比数列．

∴an＝－1×2n－1＝－2n－1．

类型3　构造等比数列求数列的通项公式

1．如何证明数列{an}是等比数列？

[提示]　只需证明＝q，(q≠0)即可．

2．如何证明数列{an＋1}是等比数列？

[提示]　只需证明＝q，(q≠0)即可．

【例3】　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1．

(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

[解]　(1)证明：∵an＋1＝2an＋1，

∴an＋1＋1＝2an＋2＝2(an＋1)，

又a1＝1，故an＋1≠0，

∴＝2．

∴数列{an＋1}是等比数列．

(2)由(1)可知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．

∴an＋1＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－1．

由递推关系an＋1＝Aan＋BA，B为常数，且A≠0，A≠1求an时，由待定系数法设an＋1＋λ＝Aan＋λ可得λ＝，这样就构造了等比数列{an＋λ}.

[跟进训练]

3．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－，bn＝，求数列{bn}的通项公式．

[解]　an＋1－2＝－－2＝，＝＝＋2，

即bn＋1＝4bn＋2，bn＋1＋＝4．

又a1＝1，故b1＝＝－1，

所以是首项为－，公比为4的等比数列，

所以bn＋＝－×4n－1，

bn＝－－．

1．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于(　　)

A．16　 B．16或－16

C．32 D．32或－32

C　[由a4＝a1q3，得q3＝8，即q＝2，所以a3＝a1q2＝8×4＝32．]

2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为(　　)

A．4　　　B．6　　　C．5　　　D．32

B　[由等比数列的通项公式，得128＝4×2n－1，2n－1＝32，所以n＝6．]

3．在等比数列{an}中，若a2＝18，a4＝8，则公比q＝________．

±　[由题意可知q2＝＝＝，即q＝±．]

4．已知数列{an}满足＝，且a2＝2，则a4＝________．

11　[∵＝，∴＝2，∴数列{an＋1}是公比q＝2的等比数列，∴＝22＝4，即＝4，∴a4＋1＝3×4＝12，∴a4＝11．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．你对等比数列是如何理解的？

[提示]　(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零．

(2)均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母次序不能颠倒．

(3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列．

2．如何理解等比数列的通项公式？

[提示]　(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列．

(2)在公式an＝a1qn－1中有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量．

(3)在公式an＝amqn－m中，体现了已知任意两项便可求公比q，即可求任意一项的思想．