_福建省漳州市长泰县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)

这是一份_福建省漳州市长泰县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)，共20页。
2022-2023学年福建省漳州市长泰县九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂）
1．下列根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．使二次根式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x＞ B．x≥ C．x≤3 D．x≤﹣3
3．一元二次方程2（x2﹣1）﹣3x＝0的二次项系数、一次项系数、常数项依次是（　　）
A．1，﹣1，﹣3 B．1，﹣3，﹣1 C．2，﹣3，﹣1 D．2，﹣3，﹣2
4．用配方法解方程x2﹣6x+8＝0时，方程可变形为（　　）
A．（x﹣3）2＝1 B．（x﹣3）2＝﹣1 C．（x+3）2＝1 D．（x+3）2＝﹣1
5．关于x的方程（a﹣1）x2+3x﹣2＝0是一元二次方程的条件是（　　）
A．a≠0 B．a＝1
C．a≠1 D．a为任意实数
6．在下列四组线段中，成比例线段的是（　　）
A．3、4、5、6 B．5、15、2、6 C．4、8、3、5 D．8、4、1、3
7．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，若AC＝8，CE＝12，BD＝6，则BF的值是（　　）

A．4 B．9 C．10 D．15
8．下列两个图形一定相似的是（　　）
A．有一个角为110°的两个等腰三角形
B．两个直角三角形
C．有一个角为55°的两个等腰三角形
D．两个矩形
9．如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，点F是AC的中点，连接EF．如果EF＝4，那么菱形ABCD的周长为（　　）

A．4 B．8 C．16 D．32
10．如图所示，直线y＝x﹣1与x轴交于A，与y轴交于B，在第一象限内找点C，使△AOC与△AOB相似，则共能找到的点C的个数（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分.请将答案填入答题纸的相应位置）
11．＝　 　．
12．方程x（x﹣1）＝0的解是：　 　．
13．已知：3a﹣2b＝0，则＝　 　．
14．一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个解分别为x1和x2，则＝　 　．
15．若关于x的一元二次方程x2+3x+2k+1＝0有实数根，则k的取值范围是 　 　．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，若P、Q同时出发，点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动，在 　 　s时，△ABC与△PQC相似．

三、解答题（本题共9小题，共86分.请在答题纸的相应位置解答）
17．计算：．
18．解方程：y2﹣（2y﹣1）＝0．
19．先化简，再求值：，其中：．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣21＝0有一个根是﹣3，求另一个根及k值．
21．如图，点D、E、F分别在△ABC的三条边上，且DE∥BC，DF∥AC．求证：△ADE∽△DBF．

22．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
23．疫情期间，学校利用一段长度仅为5米的围墙搭建一个矩形临时隔离点ABCD，如图所示，它的另外三边所围的总长度是10米，矩形隔离点的面积为12平方米，求AB的长度．

24．已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，
（1）尺规作图：在AB上求作一点E，使得CE∥AD．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若AD＝4，AB＝6，
①求BC的长；
②在（1）的条件下，连接DE交AC于点F，求的值．

25．如图（1）所示，在△ABC中，AB＝4，D是AB上一点（不与A，B重合），DE∥BC，交AC于点E，连结CD．设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′．
（1）当AD＝3时，△ADE的面积是6，求△DEC的面积S'的值；
（2）当AD＝3时，求S值（结果用含字母S'的代数式表示）；
（3）如图（2）所示，在四边形ABCD中，AB＝4，AD∥BC，，E是AB上一点（不与A，B重合），EF∥BC，交CD于点F，连结CE．设AE＝n，四边形ABCD的面积为S，△CEF的面积为S'，请你利用前面问题的解法或结论，用含字母n的代数式表示．




参考答案
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂）
1．下列根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
解：A．的被开方数中的数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．的被开方数中的数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．是最简二次根式，故本选项符合题意；
D．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的根式，叫最简二次根式，①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．
2．使二次根式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x＞ B．x≥ C．x≤3 D．x≤﹣3
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
解：由题意得：3x﹣1≥0，
解得：x≥，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
3．一元二次方程2（x2﹣1）﹣3x＝0的二次项系数、一次项系数、常数项依次是（　　）
A．1，﹣1，﹣3 B．1，﹣3，﹣1 C．2，﹣3，﹣1 D．2，﹣3，﹣2
【分析】首先将一元二次方程化为一般形式，然后确定二次项系数、一次项系数、常数项即可．
解：2（x2﹣1）﹣3x＝0化为一般形式得2x2﹣3x﹣2＝0，
二次项系数、一次项系数、常数项依次是2，﹣3，﹣2，
故选：D．
【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
4．用配方法解方程x2﹣6x+8＝0时，方程可变形为（　　）
A．（x﹣3）2＝1 B．（x﹣3）2＝﹣1 C．（x+3）2＝1 D．（x+3）2＝﹣1
【分析】移项后两边都加上一次项系数一半的平方即可．
解：∵x2﹣6x+8＝0，
∴x2﹣6x＝﹣8，
则x2﹣6x+9＝﹣8+9，即（x﹣3）2＝1，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
5．关于x的方程（a﹣1）x2+3x﹣2＝0是一元二次方程的条件是（　　）
A．a≠0 B．a＝1
C．a≠1 D．a为任意实数
【分析】根据一元二次方程的定义可得a﹣1≠0，再解即可．
解：由题意得：a﹣1≠0，
解得：a≠1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
6．在下列四组线段中，成比例线段的是（　　）
A．3、4、5、6 B．5、15、2、6 C．4、8、3、5 D．8、4、1、3
【分析】根据比例线段的定义可各选项分别进行判断即可．
解：A、因为3：4≠5：6，则3、4、5、6不是比例线段，所以A选项错误；
B、因为2：5＝6：15，则5、15、2、6是比例线段，所以B选项正确；
C、因为3：4≠5：8，则4、8、3、5不是比例线段，所以C选项错误；
D、因为1：3≠4：8，则8、4、1、3不是比例线段，所以D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
7．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，若AC＝8，CE＝12，BD＝6，则BF的值是（　　）

A．4 B．9 C．10 D．15
【分析】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．
解：∵a∥b∥c，AC＝8，CE＝12，BD＝6，
∴＝，
即＝，
解得BF＝15．
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．
8．下列两个图形一定相似的是（　　）
A．有一个角为110°的两个等腰三角形
B．两个直角三角形
C．有一个角为55°的两个等腰三角形
D．两个矩形
【分析】根据相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形一定相似，结合选项，用排除法求解．
解：A、分别有一个角是110°的两个等腰三角形，其底角等于55°，所以有一个角是110°的两个等腰三角形相似，此选项符合题意；
B、两个直角三角形的对应锐角不一定相等，对应边不一定成比例，所以两个直角三角形不一定相似，此选项不符合题意；
C、一个角为55°的两个等腰三角形不一定相似，因为55°的角可能是顶角，也可能是底角，此选项不符合题意；
D、两个矩形的对应边不一定成比例，所以两个矩形不一定相似，此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定方法、等腰三角形的性质；熟练掌握相似三角形的判定方法和等腰三角形的性质是解决问题的关键．
9．如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，点F是AC的中点，连接EF．如果EF＝4，那么菱形ABCD的周长为（　　）

A．4 B．8 C．16 D．32
【分析】由点E、F分别是AB、AC的中点，EF＝4，利用三角形中位线的性质，即可求得BC的长，然后由菱形的性质，求得菱形ABCD的周长．
解：∵点E、F分别是AB、AC的中点，EF＝4，
∴BC＝2EF＝8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴菱形ABCD的周长是：4×8＝32．
故选：D．
【点评】此题考查了菱形的性质以及三角形中位线的性质．求出BC的长是解题的关键．
10．如图所示，直线y＝x﹣1与x轴交于A，与y轴交于B，在第一象限内找点C，使△AOC与△AOB相似，则共能找到的点C的个数（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】因为点C在第一象限，所以只有点A，点C可能为直角顶点，由此讨论，可得结论．
解：∵点C在第一象限，
∴当点C为直角顶点时，有两种情形，
当点A为直角顶点时，也有两种情形，共有4种情形．
故选：D．

【点评】本题考查相似三角形的判定，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分.请将答案填入答题纸的相应位置）
11．＝　2　．
【分析】将12分解为4×3，进而开平方得出即可．
解：＝＝×＝2．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确开平方是解题关键．
12．方程x（x﹣1）＝0的解是：　x＝0或x＝1　．
【分析】本题可根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”来解题．
解：依题意得：
x＝0或x﹣1＝0
∴x＝0或x＝1
故本题的答案是x＝0或x＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
13．已知：3a﹣2b＝0，则＝　　．
【分析】根据比例的性质求出a＝b，再代入求出答案即可．
解：∵3a﹣2b＝0，
∴3a＝2b，
∴a＝b，
∴
＝
＝+1
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解此题的关键．
14．一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个解分别为x1和x2，则＝　2　．
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
解：根据根与系数的关系得x1+x2＝4，
所以x1+x2＝（x1+x2）＝×4＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
15．若关于x的一元二次方程x2+3x+2k+1＝0有实数根，则k的取值范围是 　k　．
【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝32﹣4（2k+1）≥0，然后解不等式即可．
解：根据题意得到Δ＝32﹣4（2k+1）≥0，
解得k≤．
故答案为：k．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，若P、Q同时出发，点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动，在 　或　s时，△ABC与△PQC相似．

【分析】分△PCQ∽△ACB和△PCQ∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质列出关系式，解方程即可
解：设x秒后△PCQ与△ABC相似，
当△PCQ∽△ACB时，＝，即＝，
解得x＝，
当△PCQ∽△BCA时，＝，即＝，
解得y＝，
即秒或秒后△PCQ与△ABC相似．
故答案为：或．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．
三、解答题（本题共9小题，共86分.请在答题纸的相应位置解答）
17．计算：．
【分析】先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
解：
＝﹣2﹣﹣（3+2）
＝﹣2﹣﹣3﹣2
＝﹣5﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．解方程：y2﹣（2y﹣1）＝0．
【分析】利用因式分解法求解即可．
解：y2﹣（2y﹣1）＝0，
y2﹣2y+1＝0，
（y﹣1）2＝0，
∴y﹣1＝0，
∴y1＝y2＝1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
19．先化简，再求值：，其中：．
【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
解：
＝a2﹣3﹣a2+4a
＝4a﹣3，
当时，原式＝4×（+1）﹣3＝4+4﹣3＝4+1．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣21＝0有一个根是﹣3，求另一个根及k值．
【分析】先设它的另一个根是a，根据根与系数的关系可得﹣3a＝﹣21，解可求a，再把x＝﹣3代入方程易求k．
解：设它的另一个根是a，则
﹣3a＝﹣21，
解得a＝7，
把x＝﹣3代入方程，得
9+3k﹣21＝0，
解得k＝4．
答：它的另一个根是7，k的值为4．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握根与系数的关系．
21．如图，点D、E、F分别在△ABC的三条边上，且DE∥BC，DF∥AC．求证：△ADE∽△DBF．

【分析】证明∠AED＝∠DFB，∠ADE＝∠DBF，即可解决问题．
【解答】证明：∵DE∥BC，DF∥AC，
∴∠ADE＝∠DBF，∠AED＝∠C，∠DFB＝∠C，
∴∠AED＝∠DFB，
∴△ADE∽△DBF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
22．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据方程解的定义把x＝﹣1代入方程得到（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0，整理得a﹣b＝0，即a＝b，于是根据等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；
（2）根据判别式的意义得到Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，整理得a2＝b2+c2，然后根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形．
解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵x＝﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0，
∴a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，
∴4b2﹣4a2+4c2＝0，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了勾股定理的逆定理．
23．疫情期间，学校利用一段长度仅为5米的围墙搭建一个矩形临时隔离点ABCD，如图所示，它的另外三边所围的总长度是10米，矩形隔离点的面积为12平方米，求AB的长度．

【分析】设AB长x米，则BC长（10﹣2x）米，根据矩形隔离点的面积为12平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合围墙的长度为5米，即可得出AB的长度为3米．
解：设AB长x米，则BC长（10﹣2x）米，
依题意得：x（10﹣2x）＝12，
整理得：x2﹣5x+6＝0，
解得：x1＝2，x2＝3，
当x＝2时，10﹣2x＝10﹣2×2＝6＞5，不符合题意，舍去；
当x＝3时，10﹣2x＝10﹣2×3＝4＜5，符合题意．
答：AB的长度为3米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，
（1）尺规作图：在AB上求作一点E，使得CE∥AD．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若AD＝4，AB＝6，
①求BC的长；
②在（1）的条件下，连接DE交AC于点F，求的值．

【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行，作∠ECA＝∠CAD即可解决问题；
（2）①证明EA＝EC＝EB＝AB＝6＝3，过点C作CG⊥AB于点G，根据角平分线的性质可得DC＝CG，然后证明Rt△ADC≌Rt△AGC（HL），可得AD＝AG＝4，再利用勾股定理即可解决问题；
②由AD∥CE，可得＝＝，进而可以解决问题．
解：（1）如图，点E即为所求；

（2）①∵AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵CE∥AD，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠EAC+∠B＝∠ECA+∠ECB＝90°，
∴∠ECB＝∠B，
∴EA＝EC＝EB＝AB＝6＝3，
如图，过点C作CG⊥AB于点G，

∵AC平分∠DAB，∠ADC＝90°，
∴DC＝CG，
在Rt△ADC和Rt△AGC中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△AGC（HL），
∴AD＝AG＝4，
∴EG＝AG﹣AE＝4﹣3＝1，
∴CG2＝CE2﹣EG2＝32﹣12＝8，
∵BG＝AB﹣AG＝6﹣4＝2，
∴BC＝＝＝2，
∴BC的长为2；
②∵AD∥CE，
∴＝＝，
∴＝．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，角平分线的性质，平行线的性质，解决本题的关键是得到＝＝．
25．如图（1）所示，在△ABC中，AB＝4，D是AB上一点（不与A，B重合），DE∥BC，交AC于点E，连结CD．设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′．
（1）当AD＝3时，△ADE的面积是6，求△DEC的面积S'的值；
（2）当AD＝3时，求S值（结果用含字母S'的代数式表示）；
（3）如图（2）所示，在四边形ABCD中，AB＝4，AD∥BC，，E是AB上一点（不与A，B重合），EF∥BC，交CD于点F，连结CE．设AE＝n，四边形ABCD的面积为S，△CEF的面积为S'，请你利用前面问题的解法或结论，用含字母n的代数式表示．


【分析】（1）由DE∥BC，得CE：AE＝BD：AD＝1：3，得S′：S△ADE＝CE：AE＝1：3，便可求得结果；
（2）由△ADE∽△ABC，得S＝S△ADE，再由S′＝S△ADE，便可得结果；
（3）延长BA，CD交于点O，由△OAD∽△OBC，得＝，由EF∥BC，得＝，由，便可得出结果．
解：（1）∵AB＝4，AD＝3，
∴BD＝1，
∵DE∥BC，
∴CE：AE＝BD：AD＝1：3，
∴S′：S△ADE＝CE：AE＝1：3，
∵△ADE的面积是6，
∴S′＝＝2；
（2）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，AD：AB＝3：4，
∴，
∴S＝S△ADE，
∵S′＝S△ADE，
∴S′：S＝3：16，
∴S＝S′；
（3）延长BA，CD交于点O，如图，

∵AD∥BC，
∴△OAD∽△OBC，
∴＝，
∴OA＝AB＝4，OB＝8，
∵AE＝n，
∴OE＝4+n，
∵EF∥BC，
∴＝，
∵，
∴，
∴．
【点评】本题考查了梯形的性质、平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握平行线分线段成比例，证明△ADE∽△ABC和△OAD∽△OBC是解题的关键，属于中考常考题型．