_江苏省常州市溧阳市2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份_江苏省常州市溧阳市2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省常州市溧阳市八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应的位置上）
1．4的平方根是（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4
2．下列四个图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列数据不是勾股数的是（　　）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．4，6，8 D．7，24，25
4．已知△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，若这两个三角形全等，则x为（　　）
A． B．4 C．3 D．不能确定
5．如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（　　）

A．AB，CD，EF B．AB，CD，GH C．AB，EF，GH D．CD，EF，GH
7．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（　　）

A．2 B． C． D．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D、E分别是边AB、BC上的动点，则CD+DE的最小值为（　　）

A． B． C．4 D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．5的算术平方根是　 　．
10．﹣27的立方根是 　 　．
11．等腰三角形的顶角为100°，则它的一个底角度数为 　 　．
12．若直角三角形两直角边长分别为9和40，则斜边长为 　 　．
13．如图，△ABC≌△DEF，∠C＝∠F＝90°，BC＝，DE＝2，则DF＝　 　．

14．如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．若AB＝10，AC＝8，则四边形AEDF的周长为　 　．

15．将一根24cm的筷子置于底面直径为8cm，高为15cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是　 　．

16．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为　 　度．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是　 　．

18．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N，连接DM，下列结论：①DF＝DN；②△DMN为等腰三角形；③DM平分∠BMN；④AE＝NC，其中正确的结论是 　 　（直接填序号）

三、解答题（本大题共8小题，共64分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．求下列各式中的x：
（1）2x2＝72；
（2）（x﹣1）3＝8．
20．计算：
（1）；
（2）．
21．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，分别按要求画出图形．
（1）在图1中画出等腰三角形ABC，且点C在格点上．（画出一个即可）
（2）在图2中画出以AB为边的菱形ABDE，且点D，E均在格点上．


22．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）找出图中与∠1、∠2相等的角（直接写出结论，不需证明）．

23．已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上．求证：
（1）AD平分∠BAC；
（2）EB＝EC．

24．如图，B、F、C、E是直线l上的四点，AB∥DE，AB＝DE，BF＝CE．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）将△ABC沿直线l翻折得到△A′BC．
①用直尺和圆规在图中作出△A′BC（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②连接A′D，则直线A′D与l的位置关系是 　 　．

25．如图1，AB、CD在直线l的同侧，AB在CD的左边，AB⊥l，CD⊥l，AB＝2CD，连接AD、AC、BC．

（1）△ABC是 　 　三角形：
（2）如图2，以AD为一边向外作等边△ADE，当边DE与CD重合时，直接写出CD与DE的数量关系 　 　；
（3）如图3，当等边△ADE的边AE∥BD，且AB＝6时，求BC的长．
26．已知：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、AD上，CE＝CD＝1，∠EFB＝∠FBC．

（1）求DF的长；
（2）若点E、F分别在边DC、AD的延长线上（如图2），且上述条件不变，请你求出DF的长．



参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应的位置上）
1．4的平方根是（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4
【分析】由平方根的概念即可选择．
解：4的平方根是±＝±2，
故选C．
【点评】本题考查平方根的概念，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．
2．下列四个图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A，B，C选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．下列数据不是勾股数的是（　　）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．4，6，8 D．7，24，25
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数判定则可．
解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意；
B、52+122＝132，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意；
C、42+62≠82，不能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意；
D、72+242＝252，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意；．
故选：C．
【点评】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理和勾股数的定义，满足a2+b2＝c2．
4．已知△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，若这两个三角形全等，则x为（　　）
A． B．4 C．3 D．不能确定
【分析】根据全等三角形的性质：全等三角形的周长相等可得出等式方程求出答案．
解：∵△ABC与△DEF全等，
∴3+5+7＝3+3x﹣2+2x﹣1，
解得：x＝3，
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握性质定理．
5．如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断．
解：A、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，
故本选项不符合题意；
B、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，
故本选项不符合题意；
C、如图1，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，
∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，
∴∠FEC＝∠BDE，
所以其对应边应该是BE和CF，而已知给的是BD＝FC＝3，
所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意；
D、如图2，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，
∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，
∴∠FEC＝∠BDE，
∵BD＝EC＝2，∠B＝∠C，
∴△BDE≌△CEF，
所以能判定两个小三角形全等，故本选项不符合题意；
由于本题选择可能得不到全等三角形纸片的图形，
故选：C．


【点评】本题考查了全等三角形的判定，注意三角形边和角的对应关系是关键．
6．如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（　　）

A．AB，CD，EF B．AB，CD，GH C．AB，EF，GH D．CD，EF，GH
【分析】设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．
解：设小正方形的边长为1，
则AB2＝32+42＝25，CD2＝22+12＝5，
EF2＝42+22＝20，GH2＝22+32＝13．
因为CD2+EF2＝AB2，
所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、CD、EF．
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．也考查了勾股定理．
7．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（　　）

A．2 B． C． D．
【分析】如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．首先证明AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，求出BC、BE，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题．
解：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．
在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝3，
∴BC＝＝5，
∵CD＝DB，
∴ED＝DC＝DB＝，
∵•BC•AH＝•AB•AC，
∴AH＝，
∵AE＝AB，
∴点A在BE的垂直平分线上．
∵DE＝DB＝DC，
∴点D在BE的垂直平分线上，△BCE是直角三角形，
∴AD垂直平分线段BE，
∵•AD•BO＝•BD•AH，
∴OB＝，
∴BE＝2OB＝，
在Rt△BCE中，EC＝＝＝，
解法二：连接BE，AD于点F，DF是三角形BCE中位线，求出DF，可得结论．

故选：D．

【点评】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D、E分别是边AB、BC上的动点，则CD+DE的最小值为（　　）

A． B． C．4 D．
【分析】作点C关于AB的对称点F，连接CF交AD于G，过F作FE⊥BC于E交AB于D，则此时CD+DE值的最小，且CD+DE的最小值＝EF，根据三角形的面积公式得到CG＝＝，根据全等三角形的性质得到DF＝AC，根据勾股定理即可得到结论．
解：作点C关于AB的对称点F，连接CF交AD于G，
过F作FE⊥BC于E交AB于D，
则此时CD+DE值的最小，且CD+DE的最小值＝EF，
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∴S△ABC＝AC•BC＝AB•CG，
∴CG＝＝，
∵∠ACB＝90°，FE⊥BC，
∴AC∥EF，
∴∠F＝∠ACD，
∵∠AGC＝∠DGF，CG＝FG，
∴△ACG≌△DFG（ASA），
∴DF＝AC，
∴AC＝DF＝3，
∴DF＝AC＝CD＝3，
∴AD＝2AG＝2×＝，
∴BD＝，
∵CD2﹣CE2＝BD2﹣BE2，
∴32﹣（4﹣BE）2＝（）2﹣BE2，
∴BE＝，
∴DE＝＝，
∴EF＝3+＝，
故选：A．

【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．5的算术平方根是　　．
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果．
解：∵（）2＝5
∴5的算术平方根是．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误，弄清概念是解决本题的关键．
10．﹣27的立方根是 　﹣3　．
【分析】根据立方根的定义求解即可．
解：∵（﹣3）3＝﹣27，
∴＝﹣3
故答案为：﹣3．
【点评】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
11．等腰三角形的顶角为100°，则它的一个底角度数为 　40°　．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解．
解：因为等腰三角形的顶角为100°，
所以这个等腰三角形的一个底角的度数为•（180°﹣100°）＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，注意：三角形的三个内角的和等于180°，等边对等角．
12．若直角三角形两直角边长分别为9和40，则斜边长为 　41　．
【分析】利用勾股定理直接计算即可．
解：由勾股定理得，斜边＝＝41．
故答案为：41．
【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13．如图，△ABC≌△DEF，∠C＝∠F＝90°，BC＝，DE＝2，则DF＝　　．

【分析】根据全等三角形的性质求出BC＝EF＝，再根据勾股定理求解即可．
解：∵△ABC≌△DEF，BC＝，
∴BC＝EF＝，
∵∠F＝90°，DE＝2，
∴DF＝＝＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
14．如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．若AB＝10，AC＝8，则四边形AEDF的周长为　18　．

【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得ED＝EB＝AB，DF＝FC＝AC，再由AB＝10，AC＝8可得答案．
解：∵AD是高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴ED＝EB＝AB，DF＝FC＝AC，
∵AB＝10，AC＝8，
∴AE+ED＝10，AF+DF＝8，
∴四边形AEDF的周长为10+8＝18，
故答案为：18．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
15．将一根24cm的筷子置于底面直径为8cm，高为15cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是　7cm≤h≤9cm　．

【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．
解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
∴h＝24﹣15＝9cm；
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD＝15cm，BD＝8cm，
∴AB＝＝＝17cm，
∴此时h＝24﹣17＝7cm，
所以h的取值范围是7cm≤h≤9cm．
故答案是：7cm≤h≤9cm．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出h的值最大值与最小值是解题关键．
16．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为　60或10　度．
【分析】当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC＝90°或∠ACD＝90°，根据三角形的内角和定理可得结论．
解：分两种情况：
①如图1，当∠ADC＝90°时，

∵∠B＝30°，
∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；
②如图2，当∠ACD＝90°时，

∵∠A＝50°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，
综上，则∠BCD的度数为60°或10°；
故答案为：60或10；
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，分情况讨论是本题的关键．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是　PB2+AP2＝2CP2　．

【分析】连接BQ，由“SAS”可证△ACP≌△BCQ，可得∠CAP＝∠CBQ＝45°，AP＝BQ，可得∠ABQ＝90°，由勾股定理可得PB2+BQ2＝PQ2，即可求解．
解：如图，连接BQ，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵△PCQ是等腰直角三角形，
∴PC＝CQ，∠PCQ＝90°＝∠ACB，PQ2＝2CP2，
∴∠ACP＝∠BCQ，
又∵AC＝BC，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴∠CAP＝∠CBQ＝45°，AP＝BQ，
∴∠ABQ＝90°，
∴PB2+BQ2＝PQ2，
∴PB2+AP2＝2CP2，
故答案为：PB2+AP2＝2CP2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明∠ABQ＝90°是本题的关键．
18．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N，连接DM，下列结论：①DF＝DN；②△DMN为等腰三角形；③DM平分∠BMN；④AE＝NC，其中正确的结论是 　①②③④　（直接填序号）

【分析】求出BD＝AD，∠DBF＝∠DAN，∠BDF＝∠ADN，证△DFB≌△DAN，即可判断①，证△ABF≌△CAN，推出CN＝AF＝AE，即可判断④；根据A、B、D、M四点共圆求出∠ADM＝22.5°，即可判断③，根据三角形外角性质求出∠DNM，求出∠MDN＝∠DNM，即可判断②．
解：∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，∠ADN＝∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝45°＝∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝22.5°，
∴∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°，
∴AF＝AE，AM⊥BE，
∴∠AMF＝∠AME＝90°，
∴∠DAN＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠MBN，
在△FBD和△NAD中
∴△FBD≌△NAD（ASA），
∴DF＝DN，
∴①正确；
在△AFB和△CNA中，，
∴△AFB≌△CAN（ASA），
∴AF＝CN，
∵AF＝AE，
∴AE＝CN，
∴④正确；
∵∠ADB＝∠AMB＝90°，
∴A、B、D、M四点共圆，
∴∠ABM＝∠ADM＝22.5°，
∴∠DMN＝∠DAN+∠ADM＝22.5°+22.5°＝45°，
∴DM平分∠BMN
∴③正确；
∵∠DNA＝∠C+∠CAN＝45°+22.5°＝67.5°，
∴∠MDN＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°＝∠DNM，
∴DM＝MN，
∴△DMN是等腰三角形，
∴②正确；
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键，主要考查学生的推理能力．
三、解答题（本大题共8小题，共64分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．求下列各式中的x：
（1）2x2＝72；
（2）（x﹣1）3＝8．
【分析】（1）根据平方根的定义进行求解即可；
（2）根据立方根的定义进行求解，即可得出答案．
解：（1）2x2＝72，
x2＝36，
x＝±6；

（2）（x﹣1）3＝8，
x﹣1＝2，
x＝3．
【点评】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
20．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）首先计算乘方，然后计算减法，求出算式的值即可．
（2）首先计算乘方、开平方和开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
解：（1）
＝2﹣3
＝﹣1．

（2）
＝3+9+（﹣4）
＝8．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
21．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，分别按要求画出图形．
（1）在图1中画出等腰三角形ABC，且点C在格点上．（画出一个即可）
（2）在图2中画出以AB为边的菱形ABDE，且点D，E均在格点上．


【分析】（1）结合等腰三角形的性质，找出点C的位置，再连线即可．
（2）结合菱形的性质，找出点D，E的位置，再连线即可．
解：（1）如图所示：（答案不唯一）．

（2）如图所示：

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，熟练掌握等腰三角形和菱形的性质是解题的关键．
22．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）找出图中与∠1、∠2相等的角（直接写出结论，不需证明）．

【分析】（1）根据等式的性质可得∠BAC＝∠DAE，然后利用SAS判定△ABC≌△ADE；
（2）利用三角形内角和定理可得∠1＝∠MFD，再由对顶角相等可得∠1＝∠NFC．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
∴△ABC≌△ADE（SAS）；

（2）解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠D，
∵∠AMB＝∠DMF，
∴∠1＝∠MFD，
∵∠MFD＝∠NFC，
∴∠1＝∠NFC，
∴与∠1、∠2相等的角有∠NFC，∠MFD．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
23．已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上．求证：
（1）AD平分∠BAC；
（2）EB＝EC．

【分析】（1）根据线段的垂直平分线的判定和性质可得AD是线段BC的垂直平分线，然后利用等腰三角形三线合一即可解决问题；
（2）根据AD是线段BC的垂直平分线，解决问题即可．
【解答】证明：（1）如图，连接BC，
∵AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上，
∵CD＝BD，
∴点D都在线段BC的垂直平分线上，
∴AD是线段BC的垂直平分线．
∵AB＝AC，
∴AD平分∠BAC；

（2）∵点E在AD的上，AD是线段BC的垂直平分线，
∴EB＝EC．
【点评】本题考查线段的垂直平分线的判定和性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质．
24．如图，B、F、C、E是直线l上的四点，AB∥DE，AB＝DE，BF＝CE．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）将△ABC沿直线l翻折得到△A′BC．
①用直尺和圆规在图中作出△A′BC（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②连接A′D，则直线A′D与l的位置关系是 　平行　．

【分析】（1）根据等式的性质得出BC＝EF，利用平行线的性质得出∠ABC＝∠DEF，进而利用SAS证明△ABC≌△DEF即可；
（2）根据轴对称的性质画出图形，进而解答即可．
【解答】证明：（1）∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
即BC＝EF，
∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
（2）①如图所示，△A′BC即为所求：

②直线A′D与l的位置关系是平行，
故答案为：平行．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明三角形全等解答．
25．如图1，AB、CD在直线l的同侧，AB在CD的左边，AB⊥l，CD⊥l，AB＝2CD，连接AD、AC、BC．

（1）△ABC是 　等腰　三角形：
（2）如图2，以AD为一边向外作等边△ADE，当边DE与CD重合时，直接写出CD与DE的数量关系 　CD＝DE　；
（3）如图3，当等边△ADE的边AE∥BD，且AB＝6时，求BC的长．
【分析】（1）过C作CH⊥AB于H，可得四边形BDCH是矩形，即知CD＝BH，而AB＝2CD，故AB＝2BH，得HC是线段AB的垂直平分线，故AC＝BC，△ABC是等腰三角形；
（2）由CD⊥l，△ADE是等边三角形，可得∠ADB＝∠BDE﹣∠ADE＝30°，即得AB＝AD＝DE，故CD＝DE；
（3）由△ADE是等边三角形，AE∥BD，可得∠BAD＝30°，在Rt△ABD中，得62+BD2＝（2BD）2，故BD＝2，在Rt△BCD中，由勾股定理即得BC的长为．
解：（1）过C作CH⊥AB于H，如图：

∵AB⊥l，CD⊥l，
∴∠HBD＝∠BDC＝∠BHC＝90°，
∴四边形BDCH是矩形，
∴CD＝BH，
∵AB＝2CD，
∴AB＝2BH，
∴H是AB的中点，
∴HC是线段AB的垂直平分线，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等腰三角形；
故答案为：等腰；
（2）

∵CD⊥l，
∴∠BDE＝90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE，∠ADE＝60°，
∴∠ADB＝∠BDE﹣∠ADE＝30°，
∵∠ABD＝90°，
∴AB＝AD＝DE，
∵AB＝2CD，
∴2CD＝DE，
∴CD＝DE，
故答案为：CD＝DE；
（3）

∵△ADE是等边三角形，
∴∠EAD＝60°，
∵AE∥BD，
∴∠ADB＝∠EAD＝60°，
∵∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝30°，
∴在Rt△ABD中，AD＝2BD，
∵AB＝6，
∴62+BD2＝（2BD）2，
解得BD＝2（负值已舍去），
∵AB＝2CD，
∴CD＝3，
在Rt△BCD中，
BC＝＝＝，
∴BC的长为．
【点评】本题考查三角形综合应用，涉及等边三角形的性质及应用，等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形三边关系等知识，解题的关键是掌握并能熟练应用等边三角形的性质．
26．已知：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、AD上，CE＝CD＝1，∠EFB＝∠FBC．

（1）求DF的长；
（2）若点E、F分别在边DC、AD的延长线上（如图2），且上述条件不变，请你求出DF的长．

【分析】（1）作BG⊥EF于点G，由AD∥BC，得∠AFB＝∠FBC，而∠EFB＝∠FBC，所以∠AFB＝∠EFB，可证明△AFB≌△GFB，得AB＝GB，AF＝GF，则CB＝GB，再证明Rt△CBE≌Rt△GBE，由CE＝CD＝1，得GE＝CE＝1，AD＝CD＝4，则DE＝3，EF＝4﹣DF+1＝5﹣DF，由勾股定理得DF2+32＝（5﹣DF）2，即可求得DF＝；
（2）作BG⊥FE交FE的延长线于点G，可证明△AFB≌△GFB，得AB＝GB，AF＝GF，则CB＝GB，再证明Rt△CBE≌Rt△GBE，得GE＝CE＝1，则DE＝5，EF＝GF﹣GE＝3+DF，根据勾股定理得DF2+52＝（3+DF）2，即可求得DF＝．
解：（1）如图1，作BG⊥EF于点G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠BGF＝∠C＝∠BGE＝∠D＝90°，AD∥BC，AB＝CB，
∴∠AFB＝∠FBC，
∵∠EFB＝∠FBC，
∴∠AFB＝∠EFB，
在△AFB和△GFB中，
，
∴△AFB≌△GFB（AAS），
∴AB＝GB，AF＝GF，
∴CB＝GB，
在Rt△CBE和Rt△GBE中，
，
∴Rt△CBE≌Rt△GBE（HL），
∵CE＝CD＝1，
∴GE＝CE＝1，AD＝CD＝4，
∴DE＝CD﹣CE＝3，GF＝AF＝4﹣DF，
∴EF＝GF+GE＝4﹣DF+1＝5﹣DF，
∵DF2+DE2＝EF2，
∴DF2+32＝（5﹣DF）2，
∴DF＝，
∴DF的长是．
（2）如图2，作BG⊥FE交FE的延长线于点G，
∵∠BCE＝180°﹣∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BGF＝∠BCE＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBC，
∵∠EFB＝∠FBC，
∴∠AFB＝∠EFB，
在△AFB和△GFB中，
，
∴△AFB≌△GFB（AAS），
∴AB＝GB，AF＝GF，
∴CB＝GB，
在Rt△CBE和Rt△GBE中，
，
∴Rt△CBE≌Rt△GBE（HL），
∴GE＝CE＝1，
∴DE＝CD+CE＝5，GF＝AF＝4+DF，
∴EF＝GF﹣GE＝4+DF﹣1＝3+DF，
∵DF2+DE2＝EF2，
∴DF2+52＝（3+DF）2，
∴DF＝，
∴DF的长是．


【点评】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线并且证明△AFB≌△GFB及Rt△CBE≌Rt△GBE是解题的关键．