_重庆市潼南区六校联考2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)

2022-2023学年重庆市潼南区六校联考九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 实数的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列图形是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 若抛物线与轴有交点，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 估计的值应在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

6. 下列命题为真命题的是(    )

A. 菱形的四个角相等 B. 菱形的对角线相等
C. 菱形的四条边互相垂直 D. 菱形是轴对称图形

7. 小区新增了一家快递店，第一天揽件件，第三天揽件件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有个正方形，第个图案中有个正方形，第个图案中有个正方形，第个图案中有个正方形，此规律排列下去，则第个图案中正方形的个数为(    )
    

A.  B.  C.  D.

9. 一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

11. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数的值之和是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，，
    给出下列说法：
    至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
    不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为；
    所有的“加算操作”共有种不同的结果．
    以上说法中正确的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13. 计算：______．
14. 已知点、点为抛物线上一点，且，则 ______填“”或“”．
15. 如图，直线与相交于点，则关于，的二元一次方程组的解为______．

16. 某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有若干名售货员，平时全商场日营业额指每日卖出商品所收到的总金额为万元，由于营业性质不同，分配到三个经营部的售货员的人数不等，所得利润也不同．根据经验，百货部、服装部、家电部各类商品每万元营业额所需售货员人数依次为人、人、人；所得利润占各自营业额的占比依次为、、临近妇女节人流量增加，商场决定将原百货部和家电部的售货员人数减少都调整到服装部，同时节日期间各类商品所得利润与各自营业额的占比依次变为、、，这样节日期间商场每日获得的利润比平时增加，且差价超过万元，但不超过万元．若百货部、服装部和家电部的营业额始终是整数，则节日期间从百货部调整到服装部的售货员共______人．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
18. 本小题分
    如图，，点是的中点
    用尺规完成以下基本作图：作的平分线保留作图痕迹，不写作法；
    在的条件下，设的平分线交于点，连接交于点，若，求证：四边形是菱形．
    证明：点是的中点，
    ．
    ，
    ______．
    ，
    四边形是平行四边形．
    ，
    ______．
    平分，
    ______．
    ，
    ______，
    四边形是菱形．

19. 本小题分
    某校德育处利用班会课对全校学生进行了一次防疫知识测试活动，现从初二、初三两个年级各随机抽取了名学生的测试成绩，得分用表示，共分成组：：，：，：，：，对得分进行整理分析，给出了下面部分信息：
    初二的测试成绩在组中的数据为：，，．
    初三的测试成绩：，，，，，，，，，，，，，，．

______，______；
通过以上数据分析，你认为______填“初二”或“初三”学生对防疫知识的掌握更好？请写出一条理由；
若初二、初三共有名学生，请估计此次测试成绩达到分及以上的学生约有多少人？

20. 本小题分
    如图，直线与轴、轴分别交于、两点，与直线：交于点，且的面积为．
    求直线的解析式；
    直线经过原点，与直线交于点，与直线交于点，若点的横坐标为，求四边形的面积．

21. 本小题分
    小帆根据学习函数的过程与方法，对函数的图象与性质进行探究．已知该函数图象经过点，且与轴的一个交点为．
    求函数的解析式；
    在给定的平面直角坐标系中：
    补全该函数的图象；
    当时，随的增大而______在横线上填增大或减小；
    当时，的最大值是______；
    直线与函数有两个交点，则______．

22. 本小题分
    冰墩墩和雪容融是北京奥运会和冬残奥会吉祥物，冰墩墩是一只熊猫，它的外表给人一种朴实的感觉，雪容融是一个灯笼，它的外表总能给人温暖．钥匙扣、手办两用冰墩墩和雪容融立体挂件在奥林匹克官方旗舰店销售异常火爆．
    开售第一天，旗舰店共花费元从授权生产厂家购进两种挂件各件，其中件雪容融挂件成本比件冰墩墩挂件成本少元，则件雪容融挂件成本和件冰墩墩挂件成本分别是多少元？
    开售第一天，冰墩墩和雪容融挂件很快售罄，售价分别为元和元．第二天，旗舰店又以第一天的成本价从授权生产厂家购进一批两种挂件，其中冰墩墩挂件售价提高了元，销量比第一天减少了件，而雪容融挂件售价不变，销量比第一天增加了件，最终旗舰店第二天销售两种挂件共获利元，求的值．
23. 本小题分
    若一个四位正整数满足前两个数字组成的两位数是后两个数字组成的两位数的倍，则把这个四位数称为“数”．
    如：的前两个数字组成的两位数是：，后两个数字组成的两位数是：，
    ，是“数”；
    的前两个数字组成的两位数是：，后两个数字组成的两位数是：，
    ，是“数”；
    的前两个数字组成的两位数是：，后两个数字组成的两位数是：，
    ，不是“数”．
    判断，是否是“数”？并说明理由；
    记一个“数”各个数位数字之和为，令当能被整除时，求出所有符合条件的“数”．
24. 本小题分
    抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，点是直线上方的抛物线上一动点．
    求抛物线的解析式；
    过点作于点，求的最大值及此时点的坐标．

25. 本小题分
    与均为等边三角形，在边上，连接．
    如图，若，，求的长；
    如图若，在平面内将图中绕点顺时针旋转，连接、，交于点，连接，在运动过程中，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数，
的相反数是；
故选：．
根据互为相反数的定义即可判定选择项．
此题主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故选D．
根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了抛物线与轴的交点：对于二次函数是常数，，决定抛物线与轴的交点个数：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
 

4.【答案】 

【解析】直接利用同底数幂的乘法法则以及幂的乘方和积的乘方运算法则、整式的除法运算法则分别计算得出答案．
解：、，故此选项正确；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及积的乘方运算、幂的乘方运算、整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：原式，
，
，
．
故选：．
先计算出原式得，再根据无理数的估算可得答案．
本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．
 

6.【答案】 

【解析】解：、菱形的四个角不相等，故错误，是假命题，不符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直但不相等，故错误，是假命题，不符合题意；
C、菱形的四条边相等但不互相垂直，故错误，是假命题，不符合题意；
D、菱形是轴对称图形，正确，是真命题，符合题意．
故选：．
利用菱形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形的性质，难度不大．
 

7.【答案】 

【解析】解：设该快递店揽件日平均增长率为，
根据题意，可列方程：，
故选：．
设该快递店揽件日平均增长率为，关系式为：第三天揽件数第一天揽件数揽件日平均增长率，把相关数值代入即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题知，第个图案中有个正方形，
第个图案中有个正方形，
第个图案中有个正方形，
第个图案中有个正方形，
，
第个图案中有个正方形，
第个图案中正方形的个数为，
故选：．
根据图形的变化规律得出第个图形中有个正方形即可．
本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化得出第个图形中有个正方形是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：、若，，则经过一、二、三象限，经过二、四象限，
B、，，则经过一、三、四象限，经过一、三象限，
C、若，，则经过一、二、四象限，经过二、四象限，
D、若，，则经过二、三、四象限，经过一、三象限，
故选：．
根据、的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论．
本题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数的图象有四种情况：
当，，函数的图象经过第一、二、三象限；
当，，函数的图象经过第一、三、四象限；
当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；
当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
平分，四边形是正方形，
，，
，
，
故选：．
根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到的度数，从而可以求得的度数．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是求出的度数．
 

11.【答案】 

【解析】解：解不等式组得：，
不等式组的解集为，
，
，
解分式方程得：，
是负整数且，
是负整数且，
或，
所有满足条件的整数的值之和是，
故选：．
分别通过解一元一次不等式组和方式方程确定的取值范围，再确定所有满足条件的整数，最后求解此题结果．
本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，正确求解分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如，，故符合题意；
的相反数为，不论怎么加括号都得不到这个代数式，故符合题意；
第种：结果与原多项式相等；
第种：；
第种：；
第种：；
第种：；
第种：；
第种：；
第种：；故符合题意；
正确的个数为，
故选：．
根据括号前是“”，添括号后，各项的符号都不改变判断；根据相反数判断；通过例举判断．
本题考查了整式的加减，解题的关键是注意可以添加个括号，也可以添加个括号．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式
，
故答案为：
根据负整数指数幂的意义以及零指数幂的意义即可求出答案．
本题考查负整数指数幂的意义以及零指数幂的意义，本题属于基础题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：中，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，
，
故答案为：．
由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据点，到对称轴的距离大小关系求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：直线与直线相交于点，
关于，的二元一次方程组的解为，
故答案为：．
一个一次函数解析式可以看作是一个二元一次方程，两个一次函数解析式可以组合成一个二元一次方程组，方程组的解就是两函数图象的交点．
此题主要考查了二元一次方程组和一次函数的关系，关键是掌握方程组的解就是两函数图象的交点．
 

16.【答案】 

【解析】解：设百货部、服装部、家电部的营业额分别为万元，万元，万元，
全商场日营业额指每日卖出商品所收到的总金额为万元，
，
所得利润占各自营业额的占比依次为、、，
百货部、服装部、家电部的利润分别为万元，万元，万元，
百货部、服装部、家电部各类商品每万元营业额所需售货员人数依次为人、人、人
百货部、服装部、家电部的售货员分别为人，人，人，
设从百货部和家电部的售货员中调出人和人，
则节日期间百货部、服装部、家电部的售货员分别为人，人，人，
节日期间百货部、服装部、家电部的营业额分别为万元，万元，万元，
即节日期间百货部、服装部、家电部的营业额分别为万元，万元，万元，
节日期间各类商品所得利润与各自营业额的占比依次变为、、，
节日期间百货部、服装部、家电部的利润分别为万元，万元，万元，
每日获得的利润比平时增加，且差价超过万元，但不超过万元，
，
，
，
，
，
百货部、服装部和家电部的营业额始终是整数，
，，，，，都为整数，
为的倍数，为偶数，是的倍数，
的个位数字只能是，
，
，即从百货部的售货员中调出人，
故答案为：．
设百货部、服装部、家电部的营业额分别为万元，万元，万元，则，再表示出百货部、服装部、家电部的利润分别为万元，万元，万元，百货部、服装部、家电部的售货员分别为人，人，人，设从百货部和家电部的售货员中调出人和人，
进而表示出节日期间百货部、服装部、家电部的营业额分别为万元，万元，万元，进而表示出节日期间百货部、服装部、家电部的利润分别为万元，万元，万元，再建立不等式求解出，再判断出为个位数字为的整数，即可得出结论．
此题是应用类问题，主要考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是表示出节日期间百货部、服装部、家电部的营业额分别为万元，万元，万元．
 

17.【答案】解：，
，
开方得：，
解得：，；

，
移项得：，
配方得：，
，
开方得：，
解得：，． 

【解析】移项后开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．
 

18.【答案】       

【解析】解：如图，即为所求；

证明：点是的中点，
．
，
．
，
四边形是平行四边形．
，
．
平分，
．
，
，
四边形是菱形．
故答案为：．
根据角平分线的作法即可解决问题；
根据平行四边形的判定和菱形的判定即可完成证明．
本题考查了作图基本作图，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
 

19.【答案】    初三 

【解析】解：由直方图可知，初二的测试成绩个数据按从小到大的顺序排列，第个数落在组的第二个，
初二的测试成绩在组中的数据为：，，，
中位数，
初的三测试成绩：，，，，，，，，，，，，，，．
按从小到大排列是：，，，，，，，，，，，，，，，
众数；
故答案为：，；

根据以上数据，我认为初三对防疫知识的掌握更好．
理由：两个年级的平均成绩一样，而初三的中位数、最高分、众数均高于初二，说明初三掌握的较好．
故答案为：初三；

人，
答：此次测试成绩达到分及以上的约有人．
根据中位数、众数的定义，可以得到、的值；
根据题目中的数据，可以从中位数、最高分、众数来说明理由，注意本题答案不唯一，符合实际即可；
利用样本估计总体，用乘以样本中测试成绩达到分及以上的所占的百分比即可．
本题考查频数分布直方图、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】解：过作轴于，

直线：，令，则，解得，
，
，
，
的面积为，
，
，
当时，，解得，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为；

连接，

直线与直线：交于点，点的横坐标为，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
联立直线：得，，
直线：，
，
，，
． 

【解析】过作轴于，由直线：得，则，根据的面积为得，可得，利用待定系数法即可求解；
求出点的坐标，利用待定系数法得直线为，联立直线：得，根据即可求解．
本题考查了两直线相交问题，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
 

21.【答案】减小    或 

【解析】解：将点，代入，
得到，或，，
，
，，
；
如图所示：
由图可知，当时，随的增大而减小；
故答案为减小；
当时，由图象可知，当时，有最大值，
此时，
故答案为；
直线与函数有两个交点，由图象可知，
或；
故答案或．
将点，代入即可；
画出函数图象即可求解．
本题考查函数的图象及性质；能够准确画出函数的图象，通过观察图象获取性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：设件雪容融挂件成本是元，则件冰墩墩挂件成本是元，
依题意得：，
解得：，
．
答：件冰墩墩挂件成本是元，件雪容融挂件成本是元．
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：的值为． 

【解析】设件雪容融挂件成本是元，则件冰墩墩挂件成本是元，利用总价单价数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出件雪容融挂件的成本，再将其代入中即可求出件冰墩墩挂件的成本；
利用总利润每件的销售利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 

23.【答案】解：，
是“数”；
，
不是“数”；
设这个四位数从左到右数字依次是，，，，
则，
，
，
．
能被整除，
，
经过排除，可得符合条件的有，，，． 

【解析】根据“数”的定义即可判断；
设这个四位数从左到右依次是，，，，则，，经过排除可得的值．
本题考查了新定义，理解“数”的含义并灵活运用是解题的关键．
 

24.【答案】解：抛物线与轴交于和两点，
，
解得：，
二次函数的解析式为；
二次函数与轴交于点，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
直线经过点，
，
解得：，
直线的解析式为，
过点作轴于点，交直线于点，

设点，则，
，
当时，最大，最大值是．
，，
，
，
轴，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
的最大值为，
此时点的坐标为． 

【解析】应用待定系数法即可求出抛物线解析式，再求出点的坐标，可得直线的解析式；
过点作轴于点，交直线于点，设点，则，应用二次函数最值可得线段的最大值，证明是等腰直角三角形，可得出，即可求得答案．
本题考查了待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质、二次函数最值的应用等，关键是二次函数性质的掌握．
 

25.【答案】解：如图，过点作交的延长线于，

与均为等边三角形，
，，
，
，
，，
，
在中，；
，理由如下：
如图，过点作于，于，在上截取，连接，

与均为等边三角形，
，，，
，
≌，
，，，
，
，
又，，
平分，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
是等边三角形，
，，
，
≌，
，
． 

【解析】由直角三角形的性质可求，的长，由勾股定理可求解；
由“”可证≌，可得，，，由面积法可得，可证平分，由“”可证≌，可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．