广东省深圳市龙岗区南湾学校2022-2023学年上学期九年级期中考试数学试卷(含答案)

这是一份广东省深圳市龙岗区南湾学校2022-2023学年上学期九年级期中考试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了下列方程中，是一元二次方程的是，九年级，如图，△OAB∽△OCD，OA，下列说法正确的个数是等内容，欢迎下载使用。

龙岗区南湾学校2022-2023学年第一学期九年级期中考试数学试卷

一．选择题（每题3分，共30分）
1． 下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．2x＋1＝0 B．x2＋1＝0 C．y2＋x＝1 D．＋x2＝1
2． 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
3． 若x＝1是方程x2－ax－1＝0的一个根，则实数a＝（　　）
A．0 B．－1 C．1 D．2
4． 在不透明布袋中装有除颜色外完全相同的红、白玻璃球，已知白球有60个．同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数可能为（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
5． 如图，已知AD∥BE∥CF，＝，DE＝3，则DF的长为（　　）

A．2 B．4.5 C．3 D．7.5
6． 如图，矩形ABCD中，AB＝2BC，点E在CD上，AE＝AB，则∠ABE的度数为（　　）

A．60° B．70° C．72° D．75°
7． 九年级（5）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，如果设全组共有x名同学，依题意，可列出的方程是（　　）
A．x（x＋1）＝132 B．x（x－1）＝132
C．2x（x＋1）＝132 D．x（x＋1）＝132
8． 如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
9． 下列说法正确的个数是（　　）
①对角线相等的四边形一定是矩形；
②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形；
③已知点C为线段AB的黄金分割点，AB＝4，则AC＝2；
④有一个角是40°的两个等腰三角形相似．
A．4 B．3 C．2 D．1
10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG＝2，AD＝6，则BE的长为（　　）

A． B． C．3 D．3.5
二．填空题（每题3分，共15分）
11．若＝，则＝　 　．
12．高4m的旗杆在水平地面上的影子长6m，此时测得附近一个建筑物的影子长24m，那么该建筑物的高度为　 　m．
13．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD＝90°，CO＝CD，若B（2，0），则点C的坐标为　 　．

14．关于x的一元二次方程(m－5)x2＋2x＋2＝0有实根，则m的最大整数解是 　 　．
15．如图，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝6，AD＝2AB，则BD的长为 　 　．

三．解答题（共55分）
16．（6分）用适当的方法解下列方程：
（1）x2－2x＝3； （2）(x－1)2＝(2－3x)2．

17．（7分）有A，B两个黑布袋，A布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2，B布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字1，－2和2．小明从A布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为x，再从B布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为y，这样就确定点Q的一个坐标为（x，y）．
（1）用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标；
（2）求点Q落在直线y＝x－3上的概率．



18．（7分）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F．
（1）求证：△CDE∽△CBF；
（2）若B为AF的中点，CB＝3，DE＝1，求CD的长．




19．（7分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若△ABC是边长为4的等边三角形，求四边形AODE的面积．

20．（8分）某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．
（1）求该公司销售A产品每次的增长率；
（2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套．为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降2万元，公司平均每月可多售出80套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？




21．（10分）阅读理解：
材料：对于一个关于x的二次三项式ax2＋bx＋c（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法，如下例：
例：求x2＋2x＋5的最小值：
解：令x2＋2x＋5＝y
∴x2＋2x＋（5－y）＝0
∴△＝4－4×（5－y）≥0
∴y≥4，∴x2＋2x＋5的最小值为4．
请利用上述方法解决下列问题：
（1）如图1，在△ABC中，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一边QP在边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．设EQ＝x．
①用含x的代数式表示EF的长为 　 　；
②求矩形EFPQ的面积最大值．
（2）如图2，有一老板打算利用一些篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．若要围成面积为300平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？


22．（10分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF，GH，设AE＝m．
（1）填空：∠AHC　 　∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；
（3）△AGH的面积S有变化吗？如果变化，请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．
（4）请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．


参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．2x＋1＝0 B．x2＋1＝0 C．y2＋x＝1 D．＋x2＝1
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、2x＋1＝0是一元一次方程，故A错误；
B、x2＋1＝0是一元二次方程，故B正确；
C、y2＋x＝1是二元二次方程，故C错误；
D、＋x2＝1是分式方程，故D错误；
故选：B．
2．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
【分析】本题主要依据平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角线相互平分的性质来判断．
【解答】解：A、对角线互相平分是平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质；
B、对角线互相垂直是菱形、正方形具有的性质；
C、对角线相等是矩形和正方形具有的性质；
D、对角线互相垂直且相等是正方形具有的性质．
故选：A．
3．若x＝1是方程x2－ax－1＝0的一个根，则实数a＝（　　）
A．0 B．－1 C．1 D．2
【分析】把x＝1代入方程得到关于a的方程，解方程即可．
【解答】解：∵x＝1是方程x2－ax－1＝0的一个根，
∴1－a－1＝0，∴a＝0．故选：A．
4．在不透明布袋中装有除颜色外完全相同的红、白玻璃球，已知白球有60个．同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数可能为（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
【分析】设红球个数为x个，根据概率公式列出方程，然后求解即可得出答案．
【解答】解：设红球个数为x个，
根据题意得：＝0.25，解得：x＝20，
经检验x＝20是原方程的解，
则袋中红球个数可能为20个．
故选：B．
5．如图，已知AD∥BE∥CF，＝，DE＝3，则DF的长为（　　）

A．2 B．4.5 C．3 D．7.5
【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式求出EF＝4.5，DF＝DE＋EF，即可得出结果．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴＝，即，
解得：EF＝4.5，
∴DF＝DE＋EF＝3＋4.5＝7.5．
故选：D．
6．如图，矩形ABCD中，AB＝2BC，点E在CD上，AE＝AB，则∠ABE的度数为（　　）

A．60° B．70° C．72° D．75°
【分析】根据矩形的性质求出∠AED＝30°，再利用三角形内角和定理即可求出∠ABE的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵AB＝2BC，AE＝AB，
∴AE＝2AD，
∵∠ADE＝90°，
∴∠AED＝30°，
∵AB∥DC，
∴∠BAE＝∠AED＝30°，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°－30°）＝75°．
故选：D．
7．九年级（5）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，如果设全组共有x名同学，依题意，可列出的方程是（　　）
A．x（x＋1）＝132 B．x（x－1）＝132
C．2x（x＋1）＝132 D．x（x＋1）＝132
【分析】如果设全组共有x名同学，那么每名同学要赠送（x－1）本，有x名学生，那么总互共送x（x－1）本，根据全组共互赠了132本图书即可得出方程．
【解答】解：设全组共有x名同学，那么每名同学送出的图书是（x－1）本；
则总共送出的图书为x（x－1）；
又知实际互赠了132本图书，
则x （x－1）＝132．
故选：B．
8．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】根据相似三角形的性质判断即可．
【解答】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，
∴，A正确；
∴，B错误；
∴，C错误；
∴OA：OC＝3：2，D错误；
故选：A．
9．下列说法正确的有（　　）个．
①对角线相等的四边形一定是矩形
②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形
③已知点C为线段AB的黄金分割点，AB＝4，则AC＝2
④有一个角是40°的两个等腰三角形相似
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据矩形的判定方法对A进行判断；根据中点四边形对B进行判断；根据黄金分割对C进行判断；根据相似三角形的判定对D进行判断．
【解答】解：①对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以说法错误；
②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，说法正确；
③已知点C为线段AB的黄金分割点，AB＝4，则AC＝（2）或（6－2）；
④当40°的角在一个三角形中是底角，在另一个三角形中是顶角时，两三角形不相似，所以说法错误．
故正确的有1个，
故选：D．
10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG＝2，AD＝6，则BE的长为（　　）

A． B． C．3 D．3.5
【分析】作EH⊥BD于H，根据折叠的性质得到EG＝EA，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△ABD为等边三角形，得到AB＝BD，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：作EH⊥BD于H，

由折叠的性质可知，EG＝EA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB＝BD＝AD＝6，
设BE＝x，则EG＝AE＝6－x，
在Rt△EHB中，BH＝x，EH＝x，
在Rt△EHG中，EG2＝EH2＋GH2，即（6－x）2＝（x）2＋（4－x）2，
解得，x＝，∴BE＝，故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．若＝，则＝　　．
【分析】由题干可设a＝5k，b＝3k，将它们代入所求式子，计算即可．
【解答】解：设a＝5k，则b＝3k．
＝＝＝．故答案为．
12．高4m的旗杆在水平地面上的影子长6m，此时测得附近一个建筑物的影子长24m，那么该建筑物的高度为　 　m．
【分析】先设建筑物的高为hm，再根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出h的值即可．
【解答】解：设建筑物的高为hm，
则＝，解得h＝16m．
故答案为：16．
13．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD＝90°，CO＝CD，若B（2，0），则点C的坐标为　（2，2）　．

【分析】连接CB，根据位似图形的概念得到点A为OC的中点，AB∥CD，根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】解：连接CB，
∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，
∴点A为OC的中点，AB∥CD，
∵点B为OD的中点，
∵CO＝CD，∠OCD＝90°，
∴CB⊥OD，
∵B（2，0），
∴OB＝2，
∴点C的坐标为（2，2），
故答案为：（2，2）．

14．关于x的一元二次方程（m－5）x2＋2x＋2＝0有实根，则m的最大整数解是 　m＝4　．
【分析】若一元二次方程有实根，则根的判别式Δ＝b2－4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m－5）x2＋2x＋2＝0有实根，
∴Δ＝4－8（m－5）≥0，且m－5≠0，
解得m≤5.5，且m≠5，
则m的最大整数解是m＝4．
故答案为：m＝4．
15．如图，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝6，AD＝2AB，则BD的长为 　 　．
【分析】由AE⊥BC，BE＝EC，推出AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，只要证明∠GDC＝90°，可得CG＝，由此即可解决问题．
【解答】解：如图中，∵AE⊥BC，BE＝EC，
∴AB＝AC，
将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，

∵∠BAD＝∠CAG，
∴∠BAC＝∠DAG，
∵AB＝AC，AD＝AG，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，
∴△ABC∽△ADG，
∵AD＝2AB，
∴DG＝2BC＝8，
∵∠BAE＋∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，
∴∠ADG＋∠ADC＝90°，
∴∠GDC＝90°，
∴CG＝＝10．
∴BD＝CG＝10，
故答案为：10．
三．解答题（共7小题）
16．用适当的方法解下列方程：
（1）x2－2x＝3；
（2）（x－1）2＝（2－3x）2．
【分析】（1）方程移项后，利用因式分解法求出解即可；
（2）方程利用两数平方相等可得两数相等或互为相反数转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：（1）方程移项得：x2－2x－3＝0，
分解因式得：（x－3）（x＋1）＝0，
所以x－3＝0或x＋1＝0，
解得：x1＝－1，x2＝3；
（2）开方得：x－1＝2－3x或x－1＝3x－2，
解得：x1＝，x2＝．
17．有A，B两个黑布袋，A布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2，B布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字1，－2和2．小明从A布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为x，再从B布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为y，这样就确定点Q的一个坐标为（x，y）．
（1）用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标；
（2）求点Q落在直线y＝x－3上的概率．
【分析】（1）根据题意列出树状图，得出点Q的所有可能坐标即可；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征得出落在直线y＝x－3上的所有点，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意画图如下；

点Q的所有可能坐标是：（1，1），（1，－2），（1，2），（2，1），（2，－2），（2，2）；

（2）∵共有6种等情况数，其中点Q落在直线y＝x－3上的有1种，
∴点Q落在直线y＝x－3上的概率为．
18．如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F．
（1）求证：△CDE∽△CBF；
（2）若B为AF的中点，CB＝3，DE＝1，求CD的长．

【分析】（1）先利用矩形的性质得∠D＝∠1＝∠2＋∠3＝90°，然后根据等角的余角相等得到∠2＝∠4，则可判断△CDE∽△CBF；
（2）先∴BF＝AB，设CD＝BF＝x，再利用△CDE∽△CBF，则可根据相似比得到，然后利用比例性质求出x即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠1＝∠2＋∠3＝90°，
∵CF⊥CE
∴∠4＋∠3＝90°
∴∠2＝∠4，
∴△CDE∽△CBF；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB，
∵B为AF的中点
∴BF＝AB，
设CD＝BF＝x
∵△CDE∽△CBF，
∴，
∴，
∵x＞0，
∴x＝，
即CD的长为．

19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若△ABC是边长为4的正三角形，求四边形AODE的面积．

【分析】（1）根据题意可判断出四边形AODE是平行四边形，再由菱形的性质可得出AC⊥BD，即∠AOD＝90°，继而可判断出四边形AODE是矩形；
（2）由菱形的性质和勾股定理求出OB，得出OD，由矩形的性质即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOD＝90°，
∴四边形AODE是矩形；
（2）解：∵△ABC是边长为4的正三角形，
∴AB＝AC＝4，
∠ABC＝60°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AO＝AC＝2，OD＝OB，
∵∠AOB＝90°，
∴OB＝＝2，
∴OD＝OB＝2，
∵四边形AODE是矩形，
∴四边形AODE的面积＝22＝4．
20．某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．
（1）求该公司销售A产品每次的增长率；
（2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套．为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降2万元，公司平均每月可多售出80套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？
【分析】（1）设该公司销售A产品每次的增长率为x，根据2月份及4月份该公司A产品的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出（30＋）套，根据总利润＝每套的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该公司销售A产品每次的增长率为x，
依题意，得：20（1＋x）2＝45，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝－2.5（不合题意，舍去）．
答：该公司销售A产品每次的增长率为50%．
（2）设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出（30＋）套，
依题意，得：（2－y）（30＋）＝70，
整理，得：4y2－5y＋1＝0，
解得：y1＝，y2＝1．
∵尽量减少库存，
∴y＝1．
答：每套A产品需降价1万元．
21．阅读理解：
材料：对于一个关于x的二次三项式ax2＋bx＋c（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法，如下例：
例：求x2＋2x＋5的最小值：
解：令x2＋2x＋5＝y
∴x2＋2x＋（5－y）＝0
∴△＝4－4×（5－y）≥0
∴y≥4，∴x2＋2x＋5的最小值为4．
请利用上述方法解决下列问题：
题一：如图1，在△ABC中，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一边QP在边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．设EQ＝x．
①用含x的代数式表示EF的长为 　EF＝－x＋10　；
②求矩形EFPQ的面积最大值．
题二：如图2，有一老板打算利用一些篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．若要围成面积为300平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？

【分析】（1）①易得四边形EQDH为矩形，则HD＝EQ＝x，所以AH＝AD－HD＝8－x，再证明△AEF∽△ABC，利用相似比得到EF＝－x＋10；
②设矩形EFPQ的面积为S，根据矩形的面积公式得到S＝x•（－x＋10），把它整理为关于x的方程得到5x2－40x＋4S＝0，然后利用判别式的意义得到S的范围，从而得到矩形EFPQ的面积最大值；
（2）设需要用的篱笆是l米，AD＝x米，则AB＝（l－3x）米，利用矩形面积公式列方程得到x（l－3x）＝300，把它看作关于x的一元二次方程，然后利用判别式的意义得到l的范围，从而得到需要用的篱笆最少值．
【解答】（1）解：①∵AD为高，
∴AD⊥BC，
∵四边形EFPQ为矩形，
∴EF∥PQ，∠FEQ＝∠EQP＝90°，
∴四边形EQDH为矩形，
∴HD＝EQ＝x，
∴AH＝AD－HD＝8－x，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴EF＝（8－x）＝－x＋10；
故答案为EF＝－x＋10；
②设矩形EFPQ的面积为S，
S＝x•（－x＋10），
∴5x2－40x＋4S＝0，
∴Δ＝（－40）2－4×4×5S≥0，
∴S≤20，
∴矩形EFPQ的面积最大值为20；
（2）设需要用的篱笆是l米，AD＝x米，则AB＝（l－3x）米，
根据题意得x（l－3x）＝300，
整理得3x2－lx＋300＝0，
∵Δ＝l2－4×3×300≥0，
而l＞0，
∴l≥60，
∴需要用的篱笆最少是60米．
22．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF，GH，设AE＝m．
（1）填空：∠AHC　 　∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；
（3）△AGH的面积S有变化吗？如果变化，请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．
（4）请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．

【分析】（1）由四边形ABCD是边长为4的正方形得AB＝CB＝AD＝DC＝4，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，所以∠BAC＝∠BCA＝45°，∠DAC＝∠DCA＝45°，则∠AHC＝∠ACG＝45°－∠ACH；
（2）先证明∠HAC＝∠CAG，由（1）得∠AHC＝∠ACG，则△AHC∽△ACG，得＝，所以AC2＝AG•AH；
（3）因为S△AGH＝AG•AH＝AC2，AC2＝AB2＋CB2＝42＋42＝32，所以S△AGH＝16，可知△AGH的面积S为定值，这个定值是16；
（4）分三种情况，一是△CGH是等腰三角形，且CH＝HG，先证明△DCH≌△AHG，得AH＝DC＝AD＝4，再证明△HAE∽△HDC，则＝＝，所以m＝AE＝DC＝2；二是△CGH是等腰三角形，且CG＝GH，先证明△BCG≌△AGH，得BC＝AG＝AB＝4，再证明△AEH∽△BEC，则＝＝2，所以BE＝AE，于是AE＋AE＝4，所以m＝AE＝；三是△CGH是等腰三角形，且CG＝CH，先证明Rt△BCG≌Rt△DCH，得BG＝DH，则AG＝AH，再证明△ACG≌△ACH，则∠ACG＝∠ACH＝×45°＝22.5°，可证明∠AHC＝∠ACH＝22.5°，于是AH＝AC＝＝＝4，即可由△HAE∽△HDC得＝，所以m＝AE＝8－4．
【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴AB＝CB＝AD＝DC＝4，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴∠AHC＝∠DAC－∠ACH＝45°－∠ACH，
∵∠ECF＝45°，
∴∠ACG＝45°－∠ACH，
∴∠AHC＝∠ACG，
故答案为：＝.
（2）AC2＝AG•AH，
理由：如图1，∵∠HAC＝180°－∠DAC＝135°，∠CAG＝180°－∠BAC＝135°，
∴∠HAC＝∠CAG，
∵∠AHC＝∠ACG，∴△AHC∽△ACG，
∴＝，∴AC2＝AG•AH．
（3）不变化，
如图1，∵∠GAH＝∠BAD＝90°，
∴S△AGH＝AG•AH＝AC2，
∵AC2＝AB2＋CB2＝42＋42＝32，
∴S△AGH＝×32＝16，
∴△AGH的面积S为定值，这个定值是16．
（4）如图1，△CGH是等腰三角形，且CH＝HG，
∴∠HBC＝∠HCG＝45°，∴∠CHG＝90°，
∴∠DCH＝∠AHG＝90°－∠DHC，
∵∠D＝∠GAH＝90°，
∴△DCH≌△AHG（AAS），
∴AH＝DC＝AD＝4，
∵AE∥DC，∴△HAE∽△HDC，
∴＝＝＝，
∴m＝AE＝DC＝×4＝2；
如图2，△CGH是等腰三角形，且CG＝GH，
∴∠GCH＝∠GHC＝45°，
∴∠CGH＝90°，
∴∠BCG＝∠AGH＝90°－∠BGC，
∵∠B＝∠GAH＝90°，
∴△BCG≌△AGH（AAS），
∴BC＝AG＝AB＝4，
∴AH＝BG＝AG＋AB＝4＋4＝8，
∵AH∥BC，
∴△AEH∽△BEC，
∴＝＝＝2，
∴BE＝AE，∴AE＋AE＝4，
∴m＝AE＝；
如图3，△CGH是等腰三角形，且CG＝CH，
∵∠B＝∠C＝90°，BC＝DC，
∴Rt△BCG≌Rt△DCH（HL），∴BG＝DH，
∴BG－AB＝DH－AD，∴AG＝AH，
∵AC＝AC，∴△ACG≌△ACH（SSS），
∴∠ACG＝∠ACH＝×45°＝22.5°，
∴∠AHC＝∠DAC－∠ACH＝45°－22.5°＝22.5°＝∠ACH，
∴AH＝AC＝＝＝4，
∵△HAE∽△HDC，
∴＝，∴＝，
∴m＝AE＝8－4，
综上所述，m的值为2或或8－4．