四川省成都市第七中学2022-2023学年上学期八年级期中数学试卷 (含答案)

这是一份四川省成都市第七中学2022-2023学年上学期八年级期中数学试卷 (含答案)，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省成都七中八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．在实数：3.14159，，1.010010001…，π，中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．以下不能构成直角三角形的是（　　）
A．a＝1，c＝，b＝2 B．∠A+∠C＝∠B
C．a：b：c＝2：3：4 D．∠A：∠B：∠C＝1：3：2
4．当a满足（　　）时，二次根式有意义．
A．a≥3 B．a＞3 C．a≥﹣3 D．a＞﹣3
5．点P在第三象限，点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，则P点的坐标是（　　）
A．（3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（4，3） D．（﹣4，﹣3）
6．如图，已知圆柱底面的周长为6dm，圆柱高为4dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　）

A．10dm B．15dm C．20dm D．25dm
7．满足﹣＜x＜的整数x的个数是（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
8．已知点P（2，﹣4）与点Q（6，﹣4）关于某条直线对称，则这条直线是（　　）
A．x轴
B．y轴
C．过点（4，0）且垂直于x轴的直线
D．过点（0，﹣4）且平行于x轴的直线
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．的平方根是 　 　，|3.14﹣π|＝　 　．
10．若一直角三角形的两边长为4、5，则第三边的长为　 　．
11．已知，则ab的立方根为 　 　．
12．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若AB＝10，AC＝6，BD＝5，则点D到AB的距离是 　 　．

13．如图是一足球场的半场平面示意图，已知球员A的位置为（﹣2，0），球员B的位置为（1，1），则球员C的位置为 　 　．

三、解答题（共48分）
14．计算：
（1）+|﹣1|；
（2）5；
（3）；
（4）．
15．解方程：
（1）（x﹣1）2﹣9＝0；
（2）2（2x﹣1）3+16＝0．
16．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，若A（﹣x，﹣3y+9），B（2x﹣1，2y﹣5），C（z+4，z），已知A、B两点的横坐标及纵坐标都互为相反数，点C在第四象限角平分线上．
（1）求A、B、C点的坐标；
（2）求出△ABC的面积．

17．如图1，图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑竿DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB＝50cm，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm．

（1）若EC＝36cm时，B，D相距48cm，试判定BD与DE的位置关系，并说明理由；
（2）当∠DCF＝45°，CF＝AC时，求CD的长．
18．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝6，P为射线BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置，使点B落在点E处．
（1）若P为BC上一点．
①如图1，当点E落在边CD上时，求CE的长；
②如图2，连接CE，若CE∥AP，则BP与BC有何数量关系？请说明理由；
（2）如果点P在BC的延长线上，当△PEC为直角三角形时，求PB的长．


一、填空题（每小题4分，共20分）
19．比较：　 　4．
20．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 　 　．

21．在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，木块的主视图是边长为0.4米的正三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是 　 　米．

22．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（2，0），点M为x轴上方一动点，且MA＝2，以点M为直角顶点构造等腰直角三角形BMP，当线段AP取最大值时，AP＝　 　，点M的坐标为 　 　．

23．如图，已知四边形ABCD中，AB＝AD＝2，CB＝CD＝，∠DAB＝90°，若线段DE平分四边形ABCD的面积，则DE＝　 　．

二、解答题（共30分）
24．如图，数轴上点A表示的数为2，点B表示的数为4，BC＝1，且∠ABC＝90°．以点A为圆心，AC为半径作半圆，与数轴相交于点D和点E，点D表示的数记为x，点E表示的数记为y，
（1）x＝　 　，y＝　 　；
（2）若，求a2+4a+5的值．

25．如图，A的坐标为（0，2），B（t，0）为x轴上一动点，连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，连接BC得到等腰直角三角形ABC，P为BC的中点．
（1）当t＝3时，求点C和点P的坐标；
（2）在（1）的条件下，当点M在y轴上，△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）点B从（3，0）沿着x轴移动到（﹣4，0）时，直接写出点P运动路径长．


26．如图△ABC与△ACD为正三角形，点O为射线CA上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与直线CD相交于点F．
（1）如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，求证：△AEC≌△AFD；
（2）如图②，当点O在CA的延长线上时，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE，CF，CO三条线段之间的数量关系，并说明理由；
（3）点O在线段AC上，若AB＝8，BO＝7，当CF＝1时，请直接写出BE的长．




参考答案
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．在实数：3.14159，，1.010010001…，π，中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：无理数有：1.010010001…，π共2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母不能带根号，逐一判断即可解答．
解：A、＝，不是最简二次根式，故本选项不符合题；
B、＝，不是最简二次根式，故本选项不符合题；
C、是最简二次根式，故本选项符合题；
D、＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题；
故选：C．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
3．以下不能构成直角三角形的是（　　）
A．a＝1，c＝，b＝2 B．∠A+∠C＝∠B
C．a：b：c＝2：3：4 D．∠A：∠B：∠C＝1：3：2
【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，对各选项进行逐一分析即可．
解：A、∵a2+c2＝1+3＝4＝b2，故能构成直角三角形；
B、∵∠A+∠C＝∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，故能构成直角三角形；
C、设a＝2k，则b＝3k，c＝4k，
∵a2+b2＝4k2+9k2＝13k2，c2＝16k2，
∴a2+b2≠c2，故不能构成直角三角形；
D、∵∠A：∠B：∠C＝1：3：2，
∴∠B＝×180°＝90°，故能构成直角三角形．
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形内角和定理等知识，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
4．当a满足（　　）时，二次根式有意义．
A．a≥3 B．a＞3 C．a≥﹣3 D．a＞﹣3
【分析】二次根式中的被开方数必须是非负数．
解：由题意得，a+3≥0，
解得a≥﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
5．点P在第三象限，点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，则P点的坐标是（　　）
A．（3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（4，3） D．（﹣4，﹣3）
【分析】根据点P到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，然后再根据第三象限点的坐标特征（﹣，﹣）即可解答．
解：点P在第三象限，点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，则P点的坐标是（﹣4，﹣3），
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握点P到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
6．如图，已知圆柱底面的周长为6dm，圆柱高为4dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　）

A．10dm B．15dm C．20dm D．25dm
【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．
∵圆柱底面的周长为6dm，圆柱高为4dm，
∴AB＝4dm，BC＝BC′＝3dm，
∴AC2＝42+32＝25，
∴AC＝5，
∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝10dm．
故选：A．

【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
7．满足﹣＜x＜的整数x的个数是（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【分析】估算出﹣和的值的范围，即可解答．
解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴﹣3＜﹣＜﹣2，
∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴满足﹣＜x＜的整数x有﹣2，﹣1，0，1，2，3，共有6个，
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．
8．已知点P（2，﹣4）与点Q（6，﹣4）关于某条直线对称，则这条直线是（　　）
A．x轴
B．y轴
C．过点（4，0）且垂直于x轴的直线
D．过点（0，﹣4）且平行于x轴的直线
【分析】根据轴对称的性质解决问题即可．
解：点P（2，﹣4）与点Q（6，﹣4）的位置关系是关于直线x＝4对称，
故选：C．
【点评】本题考查轴对称，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．的平方根是 　±2　，|3.14﹣π|＝　π﹣3.14　．
【分析】直接利用平方根的定义以及绝对值的性质分别得出答案．
解：＝8的平方根是±2，
|3.14﹣π|＝π﹣3.14．
故答案为：±2；π﹣3.14．
【点评】此题主要考查了平方根的定义以及绝对值的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
10．若一直角三角形的两边长为4、5，则第三边的长为　和3　．
【分析】考虑两种情况：4和5都是直角边或5是斜边．根据勾股定理进行求解．
解：当4和5都是直角边时，则第三边是＝；
当5是斜边时，则第三边是3．
故答案为：和3．
【点评】考查了勾股定理，此类题注意考虑两种情况，熟练运用勾股定理进行计算．
11．已知，则ab的立方根为 　﹣2　．
【分析】根据算术平方根的非负性、绝对值的非负性、立方根的定义是解决本题的关键．
解：∵，|b﹣4|≥0，
∴当，则a+2＝0，b﹣4＝0．
∴a＝﹣2，b＝4．
∴ab＝﹣8．
∴ab的立方根是＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查算术平方根的非负性、绝对值的非负性、立方根，熟练掌握算术平方根的非负性、绝对值的非负性、立方根的定义是解决本题的关键．
12．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若AB＝10，AC＝6，BD＝5，则点D到AB的距离是 　3　．

【分析】首先利用勾股定理求出BC的长，从而得出CD的长，再利用角平分线的性质可得答案．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC＝＝＝8，
∵BD＝5，
∴CD＝3，

过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，
∴CD＝DE＝3，
∴点D到AB的距离是3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
13．如图是一足球场的半场平面示意图，已知球员A的位置为（﹣2，0），球员B的位置为（1，1），则球员C的位置为 　（﹣1，2）　．

【分析】直接利用A点坐标即可得出原点位置进而得出答案
解：建立平面直角坐标系如图所示，

球员C的位置为（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
【点评】本题考查了坐标确定位置，熟记平面直角坐标系的概念并准确确定出原点的位置是解题的关键．
三、解答题（共48分）
14．计算：
（1）+|﹣1|；
（2）5；
（3）；
（4）．
【分析】（1）先算乘方和去绝对值，然后算除法，最后算加减法即可；
（2）先化简，然后合并同类项即可；
（3）先化简括号内的式子，然后计算括号外的乘法；
（4）根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类二次根式即可．
解：（1）+|﹣1|
＝4÷﹣8+﹣1
＝4×﹣8+﹣1
＝9﹣8+﹣1
＝；
（2）5
＝5﹣﹣4
＝0；
（3）
＝（5+﹣4）×2
＝2×2
＝12；
（4）
＝3﹣4+3﹣2+1
＝3﹣2．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
15．解方程：
（1）（x﹣1）2﹣9＝0；
（2）2（2x﹣1）3+16＝0．
【分析】（1）首先移项，然后利用平方根的定义即可求解；
（2）首先移项，然后利用立方根的定义首先求出2x﹣1，然后即可求解．
解：（1）（x﹣1）2﹣9＝0，
∴（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝±3，
∴x＝4或﹣2；
（2）2（2x﹣1）3+16＝0，
∴2（2x﹣1）3＝﹣16，
∴（2x﹣1）3＝﹣8，
2x﹣1＝﹣2，
∴x＝﹣．
【点评】此题主要考查了平方根、立方根的定义，求一个数的立方根或平方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方或平方．
16．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，若A（﹣x，﹣3y+9），B（2x﹣1，2y﹣5），C（z+4，z），已知A、B两点的横坐标及纵坐标都互为相反数，点C在第四象限角平分线上．
（1）求A、B、C点的坐标；
（2）求出△ABC的面积．

【分析】（1）根据A、B两点的横坐标及纵坐标都互为相反数，点C在第四象限角平分线上列出方程或方程组即可解答；
（2）△ABC的面积等于长方形的面积减去三个直角三角形的面积．
解：（1）∵A、B两点的横坐标及纵坐标都互为相反数，点C在第四象限角平分线上，
∴2x﹣1＝x，﹣3y+9＝﹣2y+5，z+4＝﹣z，
解得x＝1，y＝4，z＝﹣2，
∴﹣x＝﹣1，﹣3y+9＝﹣3，2x﹣1＝1，2y﹣5＝3，z+4＝2，z＝﹣2，
∴A（﹣1，﹣3），B（1，3），C（2，﹣2）；
（2）△ABC的面积为：3×＝8．
【点评】本题考查了坐标与图形性质以及三角形的面积，解题的关键是根据题意列出方程解答．
17．如图1，图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑竿DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB＝50cm，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm．

（1）若EC＝36cm时，B，D相距48cm，试判定BD与DE的位置关系，并说明理由；
（2）当∠DCF＝45°，CF＝AC时，求CD的长．
【分析】（1）连接BD，根据题意可得CD＝14cm，然后利用勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形，即可解答；
（2）过点F作FH⊥CD，垂足为H，根据题意可得CF＝20cm，然后在Rt△CFH中，利用锐角三角函数的定义求出CH，FH的长，再在Rt△DFH中，利用勾股定理求出DH的长，进行计算即可解答．
解：（1）BD⊥DE，
理由：连接BD，

∵EC＝36cm，DE＝50cm，
∴CD＝DE﹣EC＝14cm，
∵BC＝50cm，BD＝48cm，
∴CD2+BD2＝142+482＝2500，BC2＝502＝2500，
∴CD2+BD2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BDC＝90°，
∴BD⊥DE；
（2）过点F作FH⊥CD，垂足为H，

∵BC＝AB＝50cm，
∴AC＝AB+BC＝100（cm），
∵CF＝AC，
∴CF＝×100＝20（cm），
在Rt△CFH中，∠DCF＝45°，
∴FH＝CF•sin45°＝20×＝10（cm），
CH＝CF•cos45°＝20×＝10（cm），
∵DF＝30cm，
∴DH＝＝＝10（cm），
∴CD＝CH+DH＝（10+10）cm，
∴CD的长为（10+10）cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
18．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝6，P为射线BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置，使点B落在点E处．
（1）若P为BC上一点．
①如图1，当点E落在边CD上时，求CE的长；
②如图2，连接CE，若CE∥AP，则BP与BC有何数量关系？请说明理由；
（2）如果点P在BC的延长线上，当△PEC为直角三角形时，求PB的长．


【分析】（1）①以点A为圆心，AB为半径交CD于点E，利用勾股定理求出DE的长即可；
②根据平行线的性质和翻折的性质可证EP＝CP，BP＝PE，从而BP＝PC；
（2）由△PEC是直角三角形，当∠EPC＝90°时，则四边形ABPE是正方形，得PB＝AB＝10；当∠ECP＝90°时，设BP＝x，则PC＝x﹣6，在Rt△ECP中，利用勾股定理列方程即可求解，当∠PEC＝90°时，点P在线段BC上，不符合题意，舍去．
解：（1）①如图：以点A为圆心，AB为半径交CD于点E，

∵AE＝AB＝10，AD＝6，∠D＝90°，
∴DE＝＝＝8，
∴CE＝DC﹣DE＝10﹣8＝2；

②BC＝2BP，理由如下：
∵将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置，
∴∠APB＝∠APE，PE＝BP，
∵CE∥AP，
∴∠CEP＝∠APE，∠ECP＝∠APB，
∴∠PEC＝∠ECP，
∴EP＝CP，
∴BP＝BC，
∴BC＝2BP；

（2）∵△PEC是直角三角形，

当∠EPC＝90°时，
∵∠EPC＝∠AEP＝∠B＝90°，且EP＝BP，
∴四边形ABPE是正方形，
∴PB＝AB＝10；
当∠ECP＝90°时，
则∠ECP＝∠B＝90°，
∴EC∥AB，
∵DC∥AB，
∴点E、D、C三点共线，

由翻折知AE＝AB＝10，根据勾股定理得DE＝8，
∴EC＝18，
设BP＝x，则PC＝x﹣6，
在Rt△ECP中，由勾股定理得：182+（x﹣6）2＝x2，
解得x＝30，
∴PB＝30；
当∠PEC＝90°时，点P在线段BC上，不符合题意，舍去，
综上：BP＝10或30．



【点评】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
一、填空题（每小题4分，共20分）
19．比较：　＞　4．
【分析】比较两数的大小，可以比较两数差与0的大小，差大于0，被减数大于减数，反之，则被减数小于减数．
解：﹣2﹣4
＝﹣6
＝﹣，
显然＞0，
∴﹣2＞4．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数的大小比较方法．
20．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 　2　．

【分析】由数轴上a的位置确定a的取值范围，然后化简求值．
解：由图象可得2＜a＜4，
∴a﹣2＞0，a﹣4＜0，
∴＝a﹣2﹣（a﹣4）＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查数轴与二次根式及绝对值，解题关键是熟练掌握绝对值与二次根式的化简方法．
21．在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，木块的主视图是边长为0.4米的正三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是 　2.6　米．

【分析】将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短，用勾股定理计算解答即可．
解：如图，将木块展开，得到右图的长方形，
右图长方形的AB相当于是2+0.4+0.4﹣0.4＝2.4，
宽仍然为1米．
于是最短路径为：＝2.6米．
故答案为：2.6．

【点评】本题主要考查两点之间线段最短，勾股定理，有一定的难度，将木块表面展开，正确得到蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程的等价距离是关键．
22．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（2，0），点M为x轴上方一动点，且MA＝2，以点M为直角顶点构造等腰直角三角形BMP，当线段AP取最大值时，AP＝　3+3　，点M的坐标为 　（﹣1﹣，）或（﹣1﹣，﹣）　．

【分析】如图，以M为直角顶点，MA为直角边构造等腰直角三角形AMN，连接BN，然后证明根△NMB≌△AMP（SAS），接着得到当N，A，B三点共线时，BN最大，即AP最大，最好利用等腰直角三角形的性质解答即可．
【解答】解；如图，以M为直角顶点，MA为直角边构造等腰直角三角形AMN，连接BN，
由题意AM＝NM，BM＝BP，∠BMP＝∠AMN＝90°，
∴∠PMA＝∠NMB，
∴△NMB≌△AMP（SAS），
∴AP＝BN，
当N，A，B三点共线时，BN最大，即AP最大，
此时∠MAB＝135°，
如图2，过M作MT⊥x轴，垂足为T，
∵MA＝2，
∴AN＝2，
∴MT＝AT＝AN＝，
∴AP的最大值＝AN+BA＝3+3，
∴M（﹣1﹣，），
当M在x轴下方时，同上，此时M'（﹣1﹣，﹣），
故答案为：AP的长度最大值为：3+2，
M的坐标为：（﹣1﹣，）或（﹣1﹣，﹣）．


【点评】此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，利用了等量代换及转化的思想，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
23．如图，已知四边形ABCD中，AB＝AD＝2，CB＝CD＝，∠DAB＝90°，若线段DE平分四边形ABCD的面积，则DE＝　　．

【分析】连接BD交AC于点O，过D点作DM⊥BC于点M，利用勾股定理求出BD＝2，根据线段垂直平分线的判定证明AC垂直平分BD，那么DO＝BO＝，利用勾股定理求出OC＝2，再利用面积法可求出DE的长．
解：连接BD交AC于点O，过D点作DM⊥BC于点M，

∵AB＝AD＝2，∠DAB＝90°，
∴BD＝＝2，S△ABD＝AB•AD＝×2×2＝2，
又∵CB＝CD＝，
∴A，C在BD的垂直平分线上，即AC垂直平分BD，
∴AO＝DO＝BO＝，
∴CO＝＝2，
∴S△BCD＝BD•OC＝×2×2＝4，
∴四边形ABCD的面积＝2+4＝6，
∵S△BCD＝BC•DM＝4，
∴DM＝＝＝，
∴BM＝＝＝，
∵线段DE平分四边形ABCD的面积，
∴S△CDE＝3，S△BDE＝1，
∴BE：CE＝1：3，
∴BE＝，
∴EM＝BM﹣BE＝﹣＝，
∴DE＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的判定，三角形的面积，证明AC垂直平分BD是解题的关键．
二、解答题（共30分）
24．如图，数轴上点A表示的数为2，点B表示的数为4，BC＝1，且∠ABC＝90°．以点A为圆心，AC为半径作半圆，与数轴相交于点D和点E，点D表示的数记为x，点E表示的数记为y，
（1）x＝　2+　，y＝　2﹣　；
（2）若，求a2+4a+5的值．

【分析】（1）根据勾股定理可求出AC的长度，从而可求出x与y的值；
（2）先求出a的值，然后根据完全平方公式即可求出答案．
解：（1）由题意可知：AB＝2，BC＝1，
由勾股定理可知：AC＝，
∴AD＝x﹣2＝，AE＝2﹣y，
∴x＝2+，y＝2﹣．
故答案为：2+，2﹣；
（2）由题意可知：a＝，
∴原式＝a2+4a+4+1
＝（a+2）2+1
＝5+1
＝6．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用勾股定理以及整式的运算法则，本题属于中等题型．
25．如图，A的坐标为（0，2），B（t，0）为x轴上一动点，连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，连接BC得到等腰直角三角形ABC，P为BC的中点．
（1）当t＝3时，求点C和点P的坐标；
（2）在（1）的条件下，当点M在y轴上，△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）点B从（3，0）沿着x轴移动到（﹣4，0）时，直接写出点P运动路径长．


【分析】（1）过点C作CD⊥y轴于点D，根据AAS得出△OAB≌△DCA，进而利用全等三角形的性质和坐标解答即可；
（2）分三种情况，分别求出点M的坐标即可；
（3）由题意得出，当点B（3，0）沿x轴移动到（﹣4，0）时，点P沿直线y＝x从点（2.5，2.5）移动到（﹣1，﹣1），根据两点间的距离公式解答即可．
解：（1）如图1所示，过点C作CD⊥y轴于点D，∠ADC＝90°，

将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，连接BC得到等腰直角三角形ABC，
∴AB＝CA，∠CAB＝90°，
∴∠DAC+∠OAB＝90°，
∵∠OBA+∠OAB＝90°，
∴∠DAC＝∠OBA，
在△OAB与△DCA中，
，
∴△OAB≌△DCA（AAS），
∴OB＝AD，OA＝DC，
∵A点坐标为（0，2），B点坐标为（t，0），
∴OA＝2，OB＝t，
∴CD＝OA＝2，OA+AD＝OD＝2+OB＝t+2，
∴C点坐标为（2，t+2），
∵点P为BC中点，
∴P点坐标为（，），
当t＝3时，t+2＝5，
∴C点坐标为（2，5），
当t＝3时，＝2.5，
∴P点坐标为（2.5，2.5）；
（2）∵A（0，2），B（3，0），
∴OA＝2，OB＝3，
∴AB＝＝＝，
当△ABM为等腰三角形时，可分三种情况：
①若AB＝AM＝，
∴OM＝2+或﹣2，
∴M（0，2+）或（0，2﹣）；
②若AB＝BM，
∴OA＝OM＝2，
∴M（0，﹣2）；
③若AM＝MB，如图2，

设OM＝a，则AM＝a+2，
∵OM2+OB2＝BM2＝MA2，
∴a2+32＝（2+a）2，
解得a＝，
∴M（0，﹣），
综上所述M点的坐标为（0，2+）或（0，2﹣）或（0，﹣2）或（0，﹣）；
（3）由（1）可知，P点坐标为（，），
∴点P在直线y＝x上，
当B点在（3，0）时，即t＝3，P（2.5，2.5），
当B点在（﹣4，0）时，即t＝﹣4，P（﹣1，﹣1），
∴当点B（3，0）沿x轴移动到（﹣4，0）时，点P沿直线y＝x从点（2.5，2.5）移动到（﹣1，﹣1），
∴P点运动路径长为：＝，
故点B从（3，0）沿x轴移动到（﹣4，0）时，点P运动路径长为：．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质以及两点间的距离公式．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
26．如图△ABC与△ACD为正三角形，点O为射线CA上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与直线CD相交于点F．
（1）如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，求证：△AEC≌△AFD；
（2）如图②，当点O在CA的延长线上时，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE，CF，CO三条线段之间的数量关系，并说明理由；
（3）点O在线段AC上，若AB＝8，BO＝7，当CF＝1时，请直接写出BE的长．


【分析】（1）由等边三角形的性质可得AB＝AC＝BC＝AD＝CD，∠BAC＝∠BCA＝∠ADC＝∠DAC＝60°，由旋转的性质可得AE＝AF，∠EAF＝60°，由“SAS”可证△AEC≌△AFD；
（2）过点O作OH∥BC，交CF于H，可证△COH是等边三角形，可得OC＝CH＝OH，由“SAS”可证△OHF≌△OCE，可得CE＝FH，即可得CE+CO＝CF；
（3）分四种情形画出图形分别求解即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图①中，
∵△ABC与△ACD为正三角形，
∴AB＝AC＝BC＝AD＝CD，∠BAC＝∠BCA＝∠ADC＝∠DAC＝60°，
∵将射线OM绕点O逆时针旋转60°，
∴AE＝AF，∠EAF＝60°，
∴∠BAC＝∠CAD＝∠EAF＝60°，
∴∠EAC＝∠DAF，
∵AC＝AD，AE＝AF，
∴△AEC≌△AFD（SAS）；

（2）解：CE+CO＝CF，理由如下：
如图②，过点O作OH∥BC，交CF于H，

∴∠HOC＝∠BCA＝60°，∠OHC＝∠HCE＝60°，
∴△COH是等边三角形，
∴OC＝CH＝OH，
∵∠EOF＝∠COH＝∠CHO＝∠BCA＝60°，
∴∠COE＝∠FOH，∠OCE＝∠OHF＝120°，
∵OH＝OC，
∴△OHF≌△OCE（SAS），
∴CE＝FH，
∵CF＝CH+FH，
∴CF＝CO+CE；

（3）解：作BH⊥AC于H．∵AB＝8，AH＝CH＝4，
∴BH＝AH＝4，
如图③﹣1中，当点O在线段AH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时．

∵OB＝7，
∴OH＝＝＝1，
∴OC＝OH+CH＝4+1＝5，
过点O作ON∥AB，交BC于N，
∴△ONC是等边三角形，
∴ON＝OC＝CN＝5，∠NOC＝∠EOF＝60°＝∠ONC＝∠OCF，
∴∠NOE＝∠COF，
∵ON＝OC，∠ONC＝∠OCF，
∴△ONE≌△OCF（SAS），
∴CF＝NE，
∴CO＝CE+CF，
∵OC＝5，CF＝1，
∴CE＝OC﹣CF＝5﹣1＝4，
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣4＝4；
如图③﹣2中，当点O在线段AH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时．

同法可证：CE﹣CF＝OC，
∴CE＝5+1＝6，
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣6＝2；
如图③﹣3中，当点O在线段CH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时．

同法可证：OC＝CE+CF，
∵OC＝CH﹣OH＝4﹣1＝3，CF＝1，
∴CE＝OC﹣CF＝3﹣1＝2，
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣2＝6；
如图③﹣4中，当点O在线段CH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时．

同法可知：CE﹣CF＝OC，
而OC＝CH﹣OH＝4﹣1＝3，
∴CE＝OC+CF＝3+1＝4，
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣4＝4；
综上所述，满足条件的BE的值为4或2或6．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．