2020-2022年江苏中考数学3年真题汇编 专题11 二次函数（学生卷+教师卷）

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专题11 二次函数
一、单选题
1．（2022·江苏泰州·中考真题）已知点在下列某一函数图像上，且那么这个函数是(     )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先假设选取各函数，代入自变量求出y1、y2、y3的值，比较大小即可得出答案．
【详解】
解：A．把点代入y=3x，解得y1=-9，y2=-3，y3=3，所以y10，
解得：m>3，
故答案为：m>3．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
15．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是_________．

【答案】4
【解析】
【分析】
将代入中可求出x，结合图形可知，即可求出OH．
【详解】
解：当时，，解得：或，
结合图形可知：，
故答案为：4
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用：投球问题，解题的关键是结合函数图形确定x的值．
16．（2021·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，已知点，且实数m，n满足，则点P到原点O的距离的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知得到点P的坐标为(，)，求得PO=，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，则，
∴点P的坐标为(，)，
∴PO=，
∵，
∴当时，有最小值，
且最小值为，
∴PO的最小值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了点的坐标，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．
17．（2021·江苏泰州·中考真题）在函数中,当x＞1时,y随x的增大而 ___．（填“增大”或“减小”）
【答案】增大
【解析】
【分析】
根据其顶点式函数可知,抛物线开口向上,对称轴为 ,在对称轴右侧y随x的增大而增大,可得到答案．
【详解】
由题意可知: 函数,开口向上,在对称轴右侧y随x的增大而增大,又∵对称轴为,
∴当时,y随的增大而增大,
故答案为:增大．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的对称轴及增减性,掌握当二次函数开口向上时,在对称轴的右侧y随x的增大而增大,在对称轴的左侧y随x的增大而减小是解题的关键．
18．（2021·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数的图象交于A、B两点，且，P为的中点，设点P的坐标为，写出y关于x的函数表达式为：________．

【答案】
【解析】
【分析】
过点A作AN⊥y轴，过点B作BM垂直y轴，则BM∥AN，，设A(-a，a2)，则B(3a，9a2)，求出C(0，3a2)，从而得P(，)，进而即可得到答案．
【详解】
解：过点A作AN⊥y轴，过点B作BM垂直y轴，则BM∥AN，
∴，
∵，
∴，
设A(-a，a2)，则B(3a，9a2)，
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
则，解得：，
∴直线AB的解析式为：y=2ax+3a2，
∴C(0，3a2)，
∵P为的中点，
∴P(，)，
∴，即：，
故答案是：．

【点睛】
本特纳主要考查二次函数与一次函数的综合，相似三角形的判定和性质，掌握函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．
19．（2021·江苏连云港·中考真题）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．
【答案】1264
【解析】
【分析】
根据题意，总利润=快餐的总利润＋快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润×对应总数量，分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可．
【详解】
解：设种快餐的总利润为，种快餐的总利润为，两种快餐的总利润为，设快餐的份数为份，则B种快餐的份数为份．
据题意：

∴
∵
∴当的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元
故答案为：1264
【点睛】
本题考查的是二次函数的应用，正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关键点．
20．（2020·江苏南京·中考真题）下列关于二次函数（为常数）的结论，①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图像上，其中所有正确的结论序号是__________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】
①两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；②求出当时，y的值即可得；③根据二次函数的增减性即可得；④先求出二次函数的顶点坐标，再代入函数进行验证即可得．
【详解】
当时，将二次函数的图象先向右平移m个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象；当时，将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象
该函数的图象与函数的图象形状相同，结论①正确
对于
当时，
即该函数的图象一定经过点，结论②正确
由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小
则结论③错误
的顶点坐标为
对于二次函数
当时，
即该函数的图象的顶点在函数的图象上，结论④正确
综上，所有正确的结论序号是①②④
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
21．（2020·江苏连云港·中考真题）加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为________．
【答案】3.75
【解析】
【分析】
根据二次函数的对称轴公式直接计算即可．
【详解】
解：∵的对称轴为（min），
故：最佳加工时间为3.75min，
故答案为：3.75．
【点睛】
此题主要考查了二次函数性质的应用，涉及求顶点坐标、对称轴方程等，记住抛物线顶点公式是解题关键．
22．（2020·江苏无锡·中考真题）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为轴：__________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象和性质，对称轴为轴，即b=0，写出满足条件的函数解析式即可.
【详解】
解：设函数的表达式为y=ax2+bx+c，
∵图象的对称轴为y轴，
∴对称轴为x==0，
∴b=0，
∴满足条件的函数可以是：.（答案不唯一）
故答案是：y=x2（答案不唯一）
【点睛】
本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
23．（2020·江苏无锡·中考真题）二次函数的图像过点，且与轴交于点，点在该抛物线的对称轴上，若是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】
先求出点B的坐标和抛物线的对称轴，然后分两种情况讨论：当∠ABM=90°时，如图1，过点M作MF⊥y轴于点F，易证△BFM∽△AOB，然后根据相似三角形的性质可求得BF的长，进而可得点M坐标；当∠BAM=90°时，辅助线的作法如图2，同样根据△BAE∽△AMH求出AH的长，继而可得点M坐标．
【详解】
解：对，当x=0时，y=3，∴点B坐标为（0，3），
抛物线的对称轴是直线：，
当∠ABM=90°时，如图1，过点M作MF⊥y轴于点F，则，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
又∠MFB=∠BOA=90°，
∴△BFM∽△AOB，
∴，即，解得：BF=3，
∴OF=6，
∴点M的坐标是（，6）；

当∠BAM=90°时，如图2，过点A作EH⊥x轴，过点M作MH⊥EH于点H，过点B作BE⊥EH于点E，则，
同上面的方法可得△BAE∽△AMH，
∴，即，解得：AH=9，
∴点M的坐标是（，﹣9）；

综上，点M的坐标是或．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了抛物线与y轴的交点和对称轴、直角三角形的性质以及相似三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，正确分类、熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
24．（2020·江苏淮安·中考真题）二次函数图象的顶点坐标是_______________．
【答案】（1，﹣2）
【解析】
【详解】
解：∵=，
∴顶点的坐标是（1，﹣2）．
故答案为（1，﹣2）．
三、解答题
25．（2022·江苏无锡·中考真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．

(1)若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【答案】(1)x的值为2m；
(2)当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2
【解析】
【分析】
（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36，列一元二次方程，解方程即可求解；
（2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．
(1)
解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，
∴CD=2x，
∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x，
依题意得：3x(8-x)=36，
解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)，
此时x的值为2m；
；
(2)
解：设矩形养殖场的总面积为S，
由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，
∵墙的长度为10，
∴0＜3x＜10，
∴0＜x＜，
∵-3