2020-2022年四川中考数学3年真题汇编 专题08 反比例函数与几何综合题（学生卷+教师卷）

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专题08 反比例函数与几何综合题
一、单选题
1．（2021·四川自贡·中考真题）如图，，，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（       ）


A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据题意得出OA=8，OC=2，再根据勾股定理计算即可
【详解】
解：由题意可知：AC=AB
∵，
∴OA=8，OC=2
∴AC=AB=10
在Rt△OAB中，
∴B(0，6)
故选：D
【点睛】
本题考查勾股定理、正确写出点的坐标，圆的半径相等、熟练进行勾股定理的计算是关键
2．（2021·四川内江·中考真题）如图，菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，若，则的值为（     ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
连接AC、BD，根据菱形的性质和反比例函数的对称性，即可得出∠BOC=90°，∠BCO=∠BCD=30°，解直角三角形求得，作 BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，证得△OMB∽△CNO，得到，根据反比例函数系数 k的几何意义即可求得结果．
【详解】
解：连接、，

四边形是菱形，
，
菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，
与、与关于原点对称，
、经过点，
，
，
，
作轴于，轴于，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，解直角三角形，三角形相似的判定和性质，反比例函数系数k的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质与菱形的性质．
3．（2021·四川乐山·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象相交于A、两点，线段的中点为点，过点作轴的垂线，垂足为点．直线过原点和点．若直线上存在点，满足，则的值为（       ）

A． B．3或 C．或 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，得，，直线：；根据一次函数性质，得；根据勾股定理，得；连接，，，根据等腰三角形三线合一性质，得，；根据勾股定理逆定理，得；结合圆的性质，得点、B、D、P共圆，直线和AB交于点F，点F为圆心；根据圆周角、圆心角、等腰三角形的性质，得；分或两种情况，根据圆周角、二次根式的性质计算，即可得到答案．
【详解】
根据题意，得，，即，
∵直线过原点和点
∴直线：
∵在直线上
∴
∴
连接，，

∴，线段的中点为点
∴，
过点作轴的垂线，垂足为点
∴
∴，，
∴
∴
∴点、B、D、P共圆，直线和AB交于点F，点F为圆心
∴
∵，
∴
∵，且
∴
∴
∴
∴或
当时，和位于直线两侧，即
∴不符合题意
∴，且
∴，
∴
∴
∴
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆、等腰三角形、反比例函数、一次函数、三角函数、勾股定理、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握圆心角、圆周角、等腰三角形三线合一、三角函数、勾股定理的性质，从而完成求解．
4．（2020·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于、两点，是以点为圆心，半径长的圆上一动点，连结，为的中点．若线段长度的最大值为，则的值为（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
连接BP，证得OQ是△ABP的中位线，当P、C、B三点共线时PB长度最大，PB=2OQ=4，设 B点的坐标为（x，-x），根据点，可利用勾股定理求出B点坐标，代入反比例函数关系式即可求出k的值．
【详解】
解：连接BP，
∵直线与双曲线的图形均关于直线y=x对称，
∴OA=OB，
∵点Q是AP的中点，点O是AB的中点
∴OQ是△ABP的中位线，
当OQ的长度最大时，即PB的长度最大，
∵PB≤PC+BC，当三点共线时PB长度最大，
∴当P、C、B三点共线时PB=2OQ=4，
∵PC=1，
∴BC=3，
设B点的坐标为（x，-x），
则，
解得（舍去）
故B点坐标为，
代入中可得：，
故答案为：A．

【点睛】
本题考查三角形中位线的应用和正比例函数、反比例函数的性质，结合题意作出辅助线是解题的关键．
二、填空题
5．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，△OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y=(x>0)的图象与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）．若AB⊥OM于点B，则k的值为______．

【答案】
【解析】
【分析】
过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，设OC=x，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得点B(x，x)，点A(15-2x，2x-5)，再利用反比例函数的性质列方程，解方程即可求解．
【详解】
解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图：


∵△OMN是边长为10的等边三角形，
∴OM=MN=ON=10，∠MON=∠MNO=∠M=60°，
∴∠OBC=∠MAB=∠NAD=30°，
设OC=x，则OB=2x，BC=x，MB=10-2x，MA=2MB=20-4x，
∴NA=10-MA=4x-10，DN=NA=2x-5，AD=DN=(2x-5)= 2x-5，
∴OD=ON-DN=15-2x，
∴点B(x，x)，点A(15-2x，2x-5)，
∵反比例函数y=(x>0)的图象与边MN、OM分别交于点A、B，
∴x•x=(15-2x)( 2x-5)，
解得x=5(舍去)或x=3，
∴点B(3，)，
∴k= 9．
故答案为：9．
【点睛】
本题是反比例函数的综合题，考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
6．（2022·四川乐山·中考真题）如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y=(k>0)上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE=，则k=______．

【答案】3
【解析】
【分析】
连接OD、DE，利用同底等高的两个三角形面积相等得到S△ADE= S△ABE=，以及S△ADE=S△ADO=，再利用反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可．
【详解】
解：连接OD、DE，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点B、点D到对角线AC的距离相等，
∴S△ADE= S△ABE=，
∵AD⊥x轴，
∴AD∥OE，
∴S△ADE=S△ADO=，
设点D(x，y) ，
∴S△ADO=OA×AD=xy=，
∴k=xy=3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查的是反比例系数k的几何意义，涉及到平行四边形的性质及反比例函数图象上点的坐标特点等相关知识，利用同底等高的两个三角形面积相等得到S△ADE= S△ABE是解题的关键．
7．（2021·四川达州·中考真题）如图，将一把矩形直尺和一块等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，在轴上，点与点重合，点在上，交于点，反比例函数的图像恰好经过点，，若直尺的宽，三角板的斜边，则___________．

【答案】
【解析】
【分析】
利用等腰直角三角形特殊性质可求出，，，设，用含有的代数式表示点、点的坐标，再代入反比例函数关系式即可求出的值，进而确定的值．
【详解】
解：过点作，垂足为，则，

在中，，，
，
又，
，
设，则，
点，，，，
又反比例函数的图象恰好经过点，．
，
解得，，，
故答案为：-12．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，构造直角三角形，利用等腰直角三角形性质确定点、点的坐标是解决问题的关键．
8．（2020·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，已知直线（）与双曲线交于，两点（点在第一象限），直线（）与双曲线交于，两点．当这两条直线互相垂直，且四边形的周长为时，点的坐标为_________．
【答案】或
【解析】
【分析】
首先根据题意求出点A坐标为(，)，从而得出，然后分两种情况：①当点B在第二象限时求出点B坐标为(，)，从而得出，由此可知，再利用平面直角坐标系任意两点之间的距离公式可知：，所以，据此求出，由此进一步通过证明四边形ABCD是菱形加以分析求解即可得出答案；②当点B在第四象限时，方法与前者一样，具体加以分析即可.
【详解】
∵直线()与双曲线交于，两点（点在第一象限），
∴联立二者解析式可得：，由此得出点A坐标为(，)，
∴，
①当点B在第二象限时，如图所示：

∵直线（）与双曲线交于，两点，
∴联立二者解析式可得：，由此得出点B坐标为(，)，
∴，
∵AC⊥BD，
∴，
根据平面直角坐标系任意两点之间的距离公式可知：
，
∴，
解得：，
∴，
根据反比例函数图象的对称性可知：OC=OA，OB=OD，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴，
∴，
解得：或2，
∴A点坐标为(，)或(，)，
②当点B在第四象限时，如图所示：

∵直线（）与双曲线交于，两点，
∴联立二者解析式可得：，由此得出点B坐标为(，)，
∴，
∵AC⊥BD，
∴，
根据平面直角坐标系任意两点之间的距离公式可知：
，
∴，
解得：，
∴，
根据反比例函数图象的对称性可知：OC=OA，OB=OD，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴，
∴，
解得：或2，
∴A点坐标为(，)或(，)，
综上所述，点A坐标为：(，)或(，)，
故答案为：(，)或(，).
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数图象及性质和菱形性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
9．（2020·四川凉山·中考真题）如图，矩形OABC的面积为3，对角线OB与双曲线相交于点D，且，则k的值为__________．

【答案】
【解析】
【分析】
过D作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，设D的坐标是（x，y），根据矩形的性质和平行线分线段成比例定理求出DM＝AB，DN＝BC，代入矩形的面积即可求出答案．
【详解】
过D作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，
设D的坐标是（x，y），
则DM＝y，DN＝x，
∵OB：OD＝5：3，四边形OABC是矩形，
∴∠BAO＝90°，
∵DM⊥OA，
∴DM∥BA，

∴△ODM∽△OBA，
∴，
∴DM＝AB，
同理DN＝BC，
∵四边形OABC的面积为3，
∴AB×BC＝3，
∴DM×DN＝xy＝AB×BC＝×3＝，
即k＝xy＝．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查对矩形的性质，平行线分线段成比例定理，用待定系数法求反比例函数的解析式等知识点的理解和掌握，能推出DM＝AB和DN＝BC是解此题的关键．
10．（2020·四川自贡·中考真题）如图， 直线与轴交于点，与双曲线 在第三象限交于两点，且 ；下列等边三角形，，，……的边，，，……在轴上，顶点……在该双曲线第一象限的分支上，则= ____，前25个等边三角形的周长之和为 _______．

【答案】     ；     60
【解析】
【分析】
设，设直线与轴的交点为H，先求解的坐标，得到∠HAO=30°，用含的代数式表示，联立函数解析式利用根与系数的关系得到关于的方程，从而可得第一空的答案；过分别向轴作垂线，垂足分别为先根据等边三角形的性质与反比例函数的性质求解的边长，依次同法可得后面等边三角形的边长，发现规律，再前25个等边三角形的周长之和即可．
【详解】
解：设，设直线与轴的交点为H，
令 则

令 则
∴H（），又A（0，b），

∴tan∠HAO=，∴∠HAO=30°，
过作轴于 过作轴于，
∴AB=2BM，AC=2CN，∵BM=，，
∴AB=，AC=，
∴，
联立
得到。
∴，由已知可得，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
过分别向轴作垂线，垂足分别为
设
由等边三角形的性质得：

得：
（舍去）
经检验：符合题意，

可得的边长为4，
同理设 ，



解得： （舍去）
经检验：符合题意，

的边长为，
同理可得：的边长为，
的边长为．
∴前25个等边三角形的周长之和为
=

故答案为：
【点睛】
本题考查的是反比例函数的性质，考查一元二次方程的根与系数的关系，等边三角形的性质的应用，锐角三角函数的应用，同时考查与反比例函数相关的规律题，掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题
11．（2022·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点A的坐标为（m，2），点B在x轴上，将△ABO向右平移得到△DEF，使点D恰好在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．


(1)求m的值和点D的坐标；
(2)求DF所在直线的表达式；
(3)若该反比例函数图象与直线DF的另一交点为点G，求S△EFG．
【答案】(1)
(2)直线的解析式为：
(3)
【解析】
【分析】
（1）如图，过作于 利用等腰直角三角形的性质可得从而可得m的值，再由平移的性质可得D的纵坐标，利用反比例函数的性质可得D的坐标；
（2）由 可得等腰直角三角形向右平移了6个单位，则 再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（3）先联立两个函数解析式求解G的坐标，再利用三角形的面积公式进行计算即可．
(1)
解：如图，过作于


为等腰直角三角形，

即
由平移的性质可得：
即
(2)
由
等腰直角三角形向右平移了6个单位，

设为
解得：
∴直线的解析式为：
(3)
如图，延长FD交反比例函数于G，连结
，
解得： 经检验符合题意；





【点睛】
本题考查的是等腰直角三角形的性质，坐标与图形，反比例函数的图象与性质，函数的交点坐标问题，一元二次方程的解法，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练是求解G的坐标是解本题的关键．
12．（2022·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图像与函数（x＞0）的图像相交于点B（1，6），并与x轴交于点A．点C是线段AB上一点，△OAC与△OAB的面积比为2：3


(1)求k和b的值；
(2)若将△OAC绕点O顺时针旋转，使点C的对应点C′落在x轴正半轴上，得到△OA′C′，判断点A′是否在函数（x＞0）的图像上，并说明理由．
【答案】(1)b=5，k=6
(2)不在，理由见详解
【解析】
【分析】
（1）把点B的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式进行求解即可；
（2）由（1）及题意易得点C的坐标，然后根据旋转的性质可知点C′的坐标，则根据等积法可得点A′的纵坐标，进而根据三角函数可得点A′的横坐标，最后问题可求解．
(1)
解：由题意得：
，
∴b=5，k=6；
(2)
解：点A′不在反比例函数图像上，理由如下：
过点A′作A′E⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，如图，


由（1）可知：一次函数解析式为，反比例函数解析式为，
∴点，
∵△OAC与△OAB的面积比为2：3，且它们都以OA为底，
∴△OAC与△OAB的面积比即为点C纵坐标与点B纵坐标之比，
∴点C的纵坐标为，
∴点C的横坐标为，
∴点C坐标为，
∴CF=4，OF=1，   
∴，，
由旋转的性质可得：，
根据等积法可得：，
∴，
∴，
∴，
∴点A′不在反比例函数图像上．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与一次函数的综合、三角函数及旋转的性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合、三角函数及旋转的性质是解题的关键．
13．（2022·四川达州·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接，．

(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【解析】
【分析】
（1）先利用一次函数求出A点的坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式即可；
（2）先求出B、C点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可；
（3）分三种情况，利用坐标平移的特点，即可得出答案．
(1)
解：把代入一次函数，得，
解得，
，
把代入反比例函数，得，
，
反比例函数的表达式为；
(2)
解：令，解得或，
当时，，即，
当时，，
，
；
(3)
解：存在，理由如下：
当OA与OB为邻边时，点先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，则点也先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，即；
当AB与AO为邻边时，点先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点，则点也先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点，即；
当BA与BO为邻边时，点先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，则点也先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，即；
综上，P点坐标为或或．
【点睛】
本题考查了反比例函数与特殊四边形的综合题目，涉及求反比例函数解析式，三角形的面积公式，反比例函数与一次函数的交点问题，平移的性质，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键．
14．（2021·四川乐山·中考真题）如图，直线分别交轴，轴于、两点，交反比例函数的图象于、两点．若，且的面积为4

（1）求的值；
（2）当点的横坐标为时，求的面积．
【答案】（1）-6；（2）8
【解析】
【分析】
（1）过作垂直于轴，垂足为，证明．根据相似三角形的性质可得，，由此可得，．再由反比例函数比例系数k的几何意义即可求得k值．
（2）先求得，，再利用待定系数法求得直线的解析式为．与反比例函数的解析式联立方程组，解方程组求得．再根据即可求解．
【详解】
（1）过作垂直于轴，垂足为，

∴，
∴．
∵，，
∴，，
∴，．
∴，，即．
（2）由（1）知，∴．
∵，∴，∴，．
设直线的解析式为，
将点、代入，得．
解得．
∴直线的解析式为．
联立方程组，解得，，
∴．
∴．
【点睛】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，熟练运用反比例函数比例系数k的几何意义是解决问题的关键．
15．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直角的顶点，在函数图象上，轴，线段的垂直平分线交于点，交的延长线于点，点纵坐标为2，点横坐标为1，．

（1）求点和点的坐标及的值；
（2）连接，求的面积．
【答案】（1），，；（2）
【解析】
【分析】
（1）由点的纵坐标为2，点的横坐标为1，可以用表示出，两点坐标，又轴，为直角三角形，所以可以得到点的纵坐标为2，点的横坐标为1，由此得到点坐标，又由于，可以得到点坐标，因为垂直平分，所以，根据此等式列出关于的方程，即可求解；
（2）由（1）中的值，可以求出，的坐标，利用勾股定理，求出线段的长度，从而得到的长度，先证明，利用相似三角形对应边成比例，求出的长度，即可求出的面积．
【详解】
解：（1）如图，连接BE，

由题意得点的坐标为，，点的坐标为，
又轴，且为直角三角形，
点的坐标为，
又∵，
点的坐标为，
点在线段的垂直平分线上，
，
在中，，
，
或，
当时，点，，三点重合，不能构成三角形，故舍去，
，
，，；
（2）由（1）可得，，，，
设的中点为，
，，
，，
，
，
，
．

【点睛】
本题是一道反比例函数的综合题，考查了反比例函数的图象性质，垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等相关知识，熟知平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解决此题的关键．
16．（2020·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数y＝（k＜0）的图象在第二象限交于A（﹣3，m），B（n，2）两点．
（1）当m＝1时，求一次函数的解析式；
（2）若点E在x轴上，满足∠AEB＝90°，且AE＝2﹣m，求反比例函数的解析式．

【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）将点坐标代入反比例函数解析式中求出，进而得出点坐标，最后用待定系数法求出直线的解析式；
（2）先判断出，进而得出，得出，，即，再求出，进而得出，，即，再判断出，得出，得出，最后用勾股定理求出，即可得出结论．
【详解】
解：（1）当时，点，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
点在反比例函数图象上，
，
，
设直线的解析式为，则，
，
直线的解析式为；
（2）如图，过点作轴于，过点作轴于，过点作于，交于，

则四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
点，在反比例函数的图象上，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
在中，，，根据勾股定理得，，
，
，
，
反比例函数的解析式为．
【点睛】
本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出是解本题的关键．
17．（2021·四川眉山·中考真题）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．直线，且与的外接圆相切，与双曲线在第二象限内的图象交于、两点．
（1）求点，的坐标和的半径；
（2）求直线所对应的函数表达式；
（3）求的面积．

【答案】（1）A（-8，0），B（0，6），5；（2）y=x+；（3）
【解析】
【分析】
（1）令y=0代入，令x=0代入，即可得到A、B的坐标，进而得到圆的半径；
（2）过点A作AG⊥MN于点G，得AG=5，由∠AMG=∠OAB，得，进而即可求解；
（3）联立，可得C的坐标，进而即可求解．
【详解】
解：（1）令y=0代入，得，解得：x=-8，即：A（-8，0），
令x=0代入，得，即：B（0，6），
∴AB=,
∴的半径为：5；
（2）过点A作AG⊥MN于点G，


∵直线，且与的外接圆相切，
∴AG=5，∠AMG=∠OAB，
∴sin∠AMG=sin∠OAB，即：，
∴，解得：AM=，即：OM=+8=，
∴M（-，0），
同理：BN=，ON=6+=，N（0，），
设直线所对应的函数表达式为：y=kx+b，
则，解得：，
∴直线所对应的函数表达式为：y=x+；
（3）联立，得：=，解得：，，
∴C（-3，10），
∴的面积==．
【点睛】
本题主要考查一次函数与反比例函数综合，熟练掌锐角三角函数的定义，圆的切线的性质定理，是解题的关键．
18．（2022·四川眉山·中考真题）已知直线与反比例函数的图象在第一象限交于点．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点，求的值；
(3)在（2）的条件下，设直线与轴、轴分别交于点，，求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【解析】
【分析】
（1）先根据一次函数求出M点坐标，再代入反比例函数计算即可；
（2）先求出A的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式计算即可；
（3）过点作轴于点，过点作轴于点，即可根据A、B坐标证明，得到，，再求出C、D坐标即可得到OC=OD，即可证明．
(1)
∵直线过点，
∴
∴将代入中，得，
∴反比例函数的表达式为
(2)
∵点在的图象上，
∴，
∴
设平移后直线的解析式为，
将代入中，得4=1+b，
解得．
(3)
如图，过点作轴于点，过点作轴于点．

∵在反比例函数的图象上，
∴n=-4，
∴B（-4，-1）
又∵，
∴，，
∴
∴，
∴，
又∵直线与轴、轴分别交于点，，
∴，，
∴
在和中，

∴．
【点睛】
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，熟练根据坐标找线段关系是解题的关键．
19．（2021·四川雅安·中考真题）已知反比例函数的图象经过点．

（1）求该反比例函数的表达式；
（2）如图，在反比例函数的图象上点A的右侧取点C，作CH⊥x轴于H，过点A作y轴的垂线AG交直线于点D．
①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，交于B，垂足分别为为F、E，连结OB，BD，求证：O，B，D三点共线；
②若，求证：．
【答案】（1）反比例函数的表达式为；（2）①证明见详解；②证明见详解．
【解析】
【分析】
（1）根据反比例函数的图象经过点，可得即可；
（2）①利用锐角三角函数值tan∠EBO=，tan∠DBC=相等，可证∠EBO=∠DBC，利用平角定义∠DBC+∠OBC=∠EBO+∠OBC=180°即可；
②设AC与OD交于K，先证四边形ABCD为矩形，可得∠KAD=∠KDA，KA=KC=，由，可得AO=AK，由∠AKO为△AKD的外角，可得∠AKO=2∠ADK，由AD∥OH 性质，可得∠DOH=∠ADK即可．
【详解】
解：（1）∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴该反比例函数的表达式为；
（2）①设点C（），则B（2，），D（），
∴OE=，BE=2，CD=3-，BC=，
∴tan∠EBO=，tan∠DBC=，
∴∠EBO=∠DBC，
∵∠DBC+∠OBC=∠EBO+∠OBC=180°，
∴点O，点B，点D三点共线；
②设AC与OD交于K，
∵AD⊥y轴，CB⊥y轴，
∴AD∥BC∥x轴，
∵AF⊥x轴，DH⊥x轴，
∴AB∥DC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AF⊥x轴，AD∥x轴，
∴AF⊥AD，
∴∠BAD=90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∴∠KAD=∠KDA，KA=KC=，
∵，
∴AO=AK，
∴∠AOD=∠AKO，
又∵∠AKO为△AKD的外角，
∴∠AKO=∠KAD+∠KDA=2∠ADK，
∵AD∥OH ，
∴∠DOH=∠ADK，
∴∠AOD=2∠DOH．

【点睛】
本题考查待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数，平角定义，矩形判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，平行线性质，掌握待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数，平角定义，矩形判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，平行线性质是解题关键．
20．（2020·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═（k≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F．

（1）求双曲线y＝（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）求的面积．
【答案】（1）y＝，y＝3x﹣3；（2）
【解析】
【分析】
（1）作DM⊥y轴于M，通过证得（AAS），求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线y＝（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）解析式联立求得E的坐标，然后根据勾股定理求得DE和DB，进而求得CN的长，即可根据三角形面积公式求得△DEC的面积．
【详解】
解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），
∴OA＝2，OB＝1，
作DM⊥y轴于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠OAB+∠DAM＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠DAM＝∠ABO，
在和中
，
∴（AAS），
∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2，
∴D（2，3），
∵双曲线经过D点，
∴k＝2×3＝6，
∴双曲线为y＝，
设直线DE的解析式为y＝mx+n，
把B（1，0），D（2，3）代入得，
解得，
∴直线DE的解析式为y＝3x﹣3；
（2）连接AC，交BD于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD垂直平分AC，AC＝BD，
解
得或，
经检验：两组解都符合题意，
∴E（﹣1，﹣6），
∵B（1，0），D（2，3），
∴DE＝＝，DB＝＝，
∴CN＝BD＝，
∴
【点睛】
本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，函数的交点坐标的求解，化为一元二次方程的分式方程的解法，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
21．（2022·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．

(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；
(2)过点作直线，交反比例函数图象于另一点，连接，当线段被轴分成长度比为的两部分时，求的长；
(3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设是第三象限内的反比例函数图象上一点，是平面内一点，当四边形是完美筝形时，求，两点的坐标．
【答案】(1)反比例函数的表达式为，点的坐标为
(2)或
(3)，
【解析】
【分析】
(1)首先把点A的坐标代入，即可求得点A的坐标，再把点A的坐标代入，即可求得反比例函数的解析式，再利用方程组，即可求得点B的坐标；
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b，点C的坐标为，直线AC与y轴的交点为点D， 把点A、C的坐标分别代入y=kx+b，可求得点D的坐标为，可求得AD、CD的长，再分两种情况分别计算，即可分别求得；
(3)方法一：如图，过点作，交的另一支于点，过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，交于点，作交于点，设交于点，根据，求得点的坐标，进而求得的解析式，设点D的坐标为(a，b)，根据定义以及在直线上，建立方程组，即可求得点的坐标．
(1)
解：把点A的坐标代入，
得，解得a=1，
故点A的坐标为(1,4)，
把点A的坐标代入，
得k=4，
故反比例函数的表达式为，
，
得，
解得，，
故点A的坐标为(1,4)，点的坐标为；
(2)
解：设直线AC的解析式为y=kx+b，点C的坐标为，直线AC与y轴的交点为点D，
把点A、C的坐标分别代入y=kx+b，得
，
解得，
故点D的坐标为，
，
，
如图：当AD:CD=1:2时，连接BC，

得，得，
得，
解得或(舍去)，
故或(舍去)，
故此时点C的坐标为(-2,-2)，
，
如图：当CD:AD=1:2时，连接BC，

得，得，
得，
解得或(舍去)，
故或(舍去)，
故此时点C的坐标为 ，
，
综上，BC的长为或；
(3)
解：如图，过点作，交的另一支于点，过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，交于点，作交于点，设交于点，如图
∵

设，，则


又


即
解得或（舍去）
则点
设直线的解析式为，将点，

解得
直线的解析式为
设，根据题意，的中点在直线上，则
∵
则
解得或（在直线上，舍去）
．
综上所述，．

【点睛】
本题考查一次函数与反比例函数的综合，利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，平面直角坐标系中两点间距离公式，相似三角形的判定与性质等知识，采用分类讨论的思想和待定系数法求解析式是解决本题的关键．
22．（2021·四川广元·中考真题）如图，直线与双曲线相交于点A、B，已知点A的横坐标为1，

（1）求直线的解析式及点B的坐标；
（2）以线段为斜边在直线的上方作等腰直角三角形．求经过点C的双曲线的解析式．
【答案】（1）y=-0.5x+2；点B坐标为（3，0.5）；（2）过点C的双曲线解析式为．
【解析】
【分析】
（1）把点A横坐标代入反比例函数解析式，可求出点A坐标，代入可求出直线解析式，联立反比例函数与一次函数解析式即可得点B坐标；
（2）设点C坐标为（m，n），过点C的双曲线解析式为，根据点A、B坐标可求出AB的长，根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC=，根据两点间距离个数求出m、n的值即可得点C坐标，代入反比例函数解析式求出k值即可得答案．
【详解】
（1）∵点A在双曲线上，点A的横坐标为1，
∴当x=1时，y=1.5，
∴点A坐标为（1，1.5），
∵直线与双曲线相交于点A、B，
∴k+2=1.5，
解得：k=-0.5，
∴直线的解析式为y=-0.5x+2，
联立反比例函数与一次函数解析式得，
解得：，（舍去），
∴点B坐标为（3，0.5）．
（2）设点C坐标为（m，n），过点C的双曲线解析式为，
∵A（1，1.5），B（3，0.5），
∴AB==，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC==，
∴，
整理得：，
∴，
解得：，
∴或0（舍去），
∴点C坐标为（，2），
把点C坐标代入双曲线解析式得：，
解得：，
∴过点C的双曲线解析式为．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数综合，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标特征是解题关键．
23．（2020·四川眉山·中考真题）已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）点在轴上，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标．
【答案】（1），；（2）8；（3），，，
【解析】
【分析】
（1）首先把，代入中，就可以确定m和 n的值，再把，代入，从而求得一次函数与反比例函数的表达式；
（2）利用两个函数的解析式组成方程组，解方程组就可以得到A，B两点的坐标，求出直线AB与x轴的交点坐标，然后利用面积的分割法求出△AOB的面积；
（3）根据AO=OP，AP=AO，AP=OP三种情况，结合两点间的距离公式得出点的坐标．
【详解】
解：（1）将代入中，得，
反比例函数的表达式为
在的图象上，，即
将、坐标代入得
，解得：．一次函数表达式为：．
（2）设直线与轴交于点，则点为，

．
（3），
设P（x，0）．
当AO=OP=时，点在轴上，
点为或
当AO=AP=时，
，x=-6或0（舍去）
点为，
当OP=AP时，
，；
点为
综上所述，符合条件的点P的坐标是，，，．
【点睛】
考查了一次函数综合题，需要掌握一次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式，等腰三角形的性质，在没有指明等腰三角形的底（或腰）的情况下，一定要分类讨论，以防漏解．
24．（2020·四川广元·中考真题）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在x轴上存在一点C，使为等腰三角形，求此时点C的坐标；
（3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
【答案】（1），；（2），，，；（3）-123
【解析】
【分析】
（1）因为反比例函数过A、B两点，所以可求其解析式和n的值，从而知B点坐标，进而求一次函数解析式；
（2）分三种情况：OA=OC，AO=AC，CA=CO，分别求解即可；
（3）根据图像得出一次函数图像在反比例函数图像上方时x的取值范围即可.
【详解】
解：（1）把A（3，4）代入，
∴m＝12，
∴反比例函数是；
把B（n，-1）代入得n＝−12．
把A（3，4）、B（-12，−1）分别代入y＝kx＋b中：
得，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）∵A（3，4），△AOC为等腰三角形，OA=，
分三种情况：
①当OA=OC时，OC=5，
此时点C的坐标为，；
②当AO=AC时，∵A（3，4），点C和点O关于过A点且垂直于x轴的直线对称，
此时点C的坐标为；
③当CA=CO时，点C在线段OA的垂直平分线上，
过A作AD⊥x轴，垂足为D，
由题意可得：OD=3，AD=4，AO=5，设OC=x，则AC=x，
在△ACD中，
，
解得：x=，
此时点C的坐标为；

综上：点C的坐标为：，，，；
（3）由图得：
当一次函数图像在反比例函数图像上方时，
-123，
即使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是：-123.
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，利用了数形结合及分类讨论的思想.