2020-2022年四川中考数学3年真题汇编 专题10 二次函数与几何综合题（学生卷+教师卷）

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专题10 二次函数与几何综合题
一、单选题
1．（2022·四川宜宾·中考真题）已知抛物线的图象与x轴交于点、，若以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，设抛物线的解析式为，进而求得顶点的的坐标，结合图形可知当顶点纵坐标小于或等于-3满足题意，即可求解．
【详解】
解：抛物线的图象与x轴交于点、，
设抛物线的解析式为

顶点坐标为，
,以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则圆的半径为3，如图，


解得
故选：A
【点睛】
本题考查了圆的的性质，二次函数图象的性质，求得抛物线的顶点纵坐标的范围是解题的关键．
2．（2022·四川自贡·中考真题）已知A(−3，−2) ，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥−2 ；
②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a=．
其中正确的是（       ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
【答案】D
【解析】
【分析】
根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，可判断①；根据二次函数的增减性判断②；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断④．
【详解】
解：∵点A，B的坐标分别为(-3，-2)和(1，-2)，
∴线段AB与y轴的交点坐标为(0，-2)，
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0，c) ，
∴C≥-2，(顶点在y轴上时取“=”)，故①正确；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；
若点D的横坐标最小值为-5，则此时对称轴为直线x=-3，
根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3，故③正确；
令y=0，则ax2+bx+c=0，
设该方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=，
∴CD2=( x1-x2) 2=( x1+x2) 2-4x1x2，
根据顶点坐标公式，，
∴，即，
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴CD=AB=1-（-3)=4，
∴=42=16，解得a=，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：D．
．   
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在y轴上的情况．
3．（2020·四川南充·中考真题）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共顶点，则实数a的取值范围是（     ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．
【详解】
解：当抛物线经过（1，3）时，a=3，
当抛物线经过（3，1）时，a=，
观察图象可知≤a≤3，
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．（2021·四川乐山·中考真题）如图，已知，，，与、均相切，点是线段与抛物线的交点，则的值为（       ）




A．4 B． C． D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
在Rt△AOB中，由勾股定理求得；再求得直线AC的解析式为；设的半径为m，可得P（m，-m+6）；连接PB、PO、PC，根据求得m=1，即可得点P的坐标为（1，5）；再由抛物线过点P，由此即可求得．
【详解】
在Rt△AOB中，，，
∴；
∵，，
∴OC=6，
∴C（0，6）；
∵，
∴A（6，0）；
设直线AC的解析式为，
∴ ，
解得，
∴直线AC的解析式为；
设的半径为m，
∵与相切，
∴点P的横坐标为m，
∵点P在直线AC上，
∴P（m，-m+6）；
连接PB、PO、PA，


∵与、均相切，
∴△OBP边OB上的高为m，△AOB边AB上的高为m，
∵P（m，-m+6）；
∴△AOP边OA上的高为-m+6，
∵，
∴，
解得m=1，
∴P（1，5）；
∵抛物线过点P，
∴．
故选D．
【点睛】
本题考查了切线的性质定理、勾股定理、待定系数法求解析式，正确求出的半径是解决问题的关键．
二、填空题
5．（2020·四川巴中·中考真题）现有一“祥云”零件剖面图，如图所示，它由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成，且关于y轴对称．其中半圆交y轴于点E，直径，；两支抛物线的顶点分别为点A、点B．与x轴分别交于点C、点D；直线BC的解析式为：．则零件中BD这段曲线的解析式为_________．

【答案】
【解析】
【分析】
记AB与y轴的交点为F，根据图象关于y轴对称且直径AB＝2，OE＝2得出点B（1，1），由点B坐标求出直线BC解析式，据此得出点C坐标，继而得出点D坐标，将点D坐标代入右侧抛物线解析式y＝a（x﹣1）2+1，求出a的值即可得出答案．
【详解】
解：记AB与y轴的交点为F，

∵AB＝2，且半圆关于y轴对称，
∴FA＝FB＝FE＝1，
∵OE＝2，
∴，
则右侧抛物线的顶点B坐标为，
将点代入得，
解得，
∴，
当时，，
解得，
∴，
则，
设右侧抛物线解析式为，
将点代入解析式得，
解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据轴对称图形的性质得出点B坐标及熟练运用待定系数法求函数解析式．
三、解答题
6．（2022·四川广安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．


(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)（-2，-4）
(3)P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），，
【解析】
【分析】
（1）直接将B（0，-4），C（2，0）代入，即可求出解析式；
（2）先求出直线AB关系式为：，直线AB平移后的关系式为：，当其与抛物线只有一个交点时，此时点D距AB最大，此时△ABD的面积最大，由此即可求得D点坐标；
（3）分三种情况讨论，①当∠PAB=90°时，即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：，将A（-4,0）代入得，解得：，此时P点坐标为：（-1,3）；②当∠PBA=90°时，即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：，将B（0，-4）代入得，，此时P点坐标为：（-1,-5）；③当∠APB=90°时，设P点坐标为：，由于PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：，=-1，则此时P点坐标为：，．
(1)
解：将B（0，-4），C（2，0）代入，
得：，
解得：，
∴抛物线的函数解析式为：．
(2)
向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离最大，此时△ABD的面积最大，
∵时，，，
∴A点坐标为：（-4,0），
设直线AB关系式为：，
将A（-4,0），B（0，-4），代入，
得：，
解得：，
∴直线AB关系式为：，
设直线AB平移后的关系式为：，
则方程有两个相等的实数根，
即有两个相等的实数根，
∴，
即的解为：x=-2，
将x=-2代入抛物线解析式得，，
∴点D的坐标为：（-2，-4）时，△ABD的面积最大；
(3)
①当∠PAB=90°时，
即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：，
将A（-4,0）代入得，，
解得：，
∴PA所在直线解析式为：，
∵抛物线对称轴为：x=-1，
∴当x=-1时，，
∴P点坐标为：（-1，3）；
②当∠PBA=90°时，
即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：，
将B（0，-4）代入得，，
∴PA所在直线解析式为：，
∴当x=-1时，，
∴P点坐标为：（-1，-5）；
③当∠APB=90°时，设P点坐标为：，
∴PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：，
∵PA⊥PB，
∴=-1，
解得：，，
∴P点坐标为：，
综上所述，P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），，时，△PAB为直角三角形．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数图象与一次函数、三角形的综合，灵活运用所学知识是解题的关键．
7．（2022·四川雅安·中考真题）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C（0，﹣3）．


(1)求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；
(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值．
【答案】(1)
(2)E的坐标为：或或或
(3)BP的最小值为：
【解析】
【分析】
（1）根据题意可设抛物线为再代入C的坐标可得函数解析式，化为顶点式可得顶点坐标；
（2）如图，由可得抛物线的对称轴为：设 而A（﹣1，0），C（0，-3），再利用勾股定理分别表示 再分三种情况讨论即可；
（3）如图，连结AD，记AD的中点为H，由 则在以H为圆心，HA为半径的圆H上，不与A，D重合，连结BH，交圆H于P，则PB最短，再求解H的坐标，结合勾股定理可得答案．
(1)
解： 二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴设二次函数为：
把C（0，﹣3）代入抛物线可得：
解得：
∴抛物线为：

(2)
如图，由
可得抛物线的对称轴为：


设 而A（﹣1，0），C（0，-3），



当时，，
解得 即
当时，
解得： 即
当时，
整理得：
解得：

综上：E的坐标为：或或或
(3)
如图，连结AD，记AD的中点为H，由
则在以H为圆心，HA为半径的圆H上，不与A，D重合，


连结BH，交圆H于P，则PB最短，





即BP的最小值为：
【点睛】
本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数的性质，勾股定理的应用，二次函数与圆的综合，判断PB最小时，P的位置是解本题的关键．
8．（2022·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点，直线与轴交于点．


(1)求，的值；
(2)经过点的直线分别与线段，直线交于点，，且与的面积相等，求直线的解析式；
(3)是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段和直线上是否分别存在点，，使，，，为顶点的四边形是以为一边的矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在这样的点，点的坐标为或
【解析】
【分析】
（1）将点的坐标代入抛物线可得到关于的方程组，解方程组即可得；
（2）设直线的解析式为，从而可得点的坐标为，利用三角形的面积公式可得的面积为，再利用待定系数法求出直线的解析式，与直线的解析式联立可得点的坐标，从而可得的面积，然后根据与的面积相等建立方程，解方程可得的值，由此即可得出答案；
（3）先求出抛物线与轴的另一个交点坐标为，从而可设点的坐标为，点的坐标为，再分①以为一边的矩形是矩形和②以为一边的矩形是矩形两种情况，利用相似三角形的性质和矩形的性质将用表示出来，然后将点代入抛物线的解析式可求出的值，由此即可得出答案．
(1)
解：∵抛物线经过，两点，
∴，
解得．
(2)
解：由题意，设直线的解析式为，
当时，，即，，
则的面积为，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为，
联立，解得，
则点的坐标为，
所以的面积为，
因为与的面积相等，
所以，
解得或（不符题意，舍去），
经检验，是所列分式方程的解，
所以直线的解析式为．
(3)
解：抛物线的对称轴为直线，
则抛物线与轴的另一个交点坐标为，即为，
，
，
设点的坐标为，点的坐标为，
由题意，分以下两种情况：
①如图，当以为一边的矩形是矩形时，


则，，
，
，
，
在和中，，
，
，即，
解得，
，
矩形的对角线互相平分，
，解得，
将点代入得：，
解得或，
当时，，符合题意，
当时，，不符题意，舍去，
则此时点的坐标为，
②如图，当以为一边的矩形是矩形时，过点作于点，


则，
同理可证：，
，即，
解得，
，
，
矩形的对角线互相平分，
，解得，
将点代入得：，
解得或（不符题意，舍去），
当时，，符合题意，
则此时点的坐标为，
综上，存在这样的点，点的坐标为或．
【点睛】
本题考查了二次函数的几何应用、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、一元二次方程的应用等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论，并找出相似三角形是解题关键．
9．（2021·四川宜宾·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断△BCE的形状，并说明理由；
（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP＋EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=x2+2x+6；（2）直角三角形，见解析；（3）存在，
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法求函数解析式；
（2）分别求出三角形三边的平方，然后运用勾股定理逆定理即可证明；
（3）在CE上截取CF=（即CF等于半径的一半），连接BF交⊙C于点P，连接EP，则BF的长即为所求．
【详解】
解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8），
∴设该抛物线的表达式为y=a（x-2）2+8，
∵与y轴交于点C（0，6），
∴把点C（0，6）代入得：a=，
∴该抛物线的表达式为y=x2+2x+6；
（2）△BCE是直角三角形．理由如下：
∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，
∴当y=0时，（x-2）2+8=0，解得：x1=-2，x2=6，
∴A（-2，0），B（6，0），
∴BC2=62+62=72，CE2=（8-6）2+22=8，BE2=（6-2）2+82=80，
∴BE2=BC2+CE2，
∴∠BCE=90°，
∴△BCE是直角三角形；
（3）如图，在CE上截取CF=（即CF等于半径的一半），连接BF交⊙C于点P，连接EP，
则BF的长即为所求．

连接CP，∵CP为半径，
∴ ，
又∵∠FCP=∠PCE，
∴△FCP∽△PCE，
∴ ，FP=EP，
∴BF=BP+EP，
由“两点之间，线段最短”可得：BF的长即BP+EP为最小值．
∵CF=CE，E（2，8），
∴F（，），
∴BF=
【点睛】
本题考查二次函数综合，待定系数法，二次函数图象和性质，勾股定理及其逆定理，圆的性质，相似三角形的判定和性质等，题目综合性较强，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数图象和性质，圆的性质，相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键．
10．（2021·四川广元·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点的坐标值：
x
…

0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…

（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求的最小值；
（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作轴，垂足为F，的外接圆与相交于点E．试问：线段的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

【答案】（1）；；（2）；（3）是，1．
【解析】
【分析】
（1）依据表格数据，设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求解即可；
（2）利用平移和找对称点的方式，将的长转化为，再利用两点之间线段最短确定的最小值等于CE的长，加1后即能确定的最小值；
（3）设出圆心和D点的坐标，接着表示出E点的坐标，利用圆心到B点的距离等于圆心到D点的距离，求出q和e的关系，得到E点的纵坐标，进而确定EF的长为定值．
【详解】
解：（1）由表格数据可知，顶点坐标为（1,4）
设抛物线解析式为：，
将点（0,3）代入解析式得：3=a+4，
∴，
∴抛物线解析式为：，顶点坐标．
（2）由表格可知，抛物线经过点A（-1,0），C（0,3），
如图3，将A点向上平移一个单位，得到，
则
∴四边形是平行四边形，
∴，
作关于MQ的对称点E，则
∴，
∴，
当P、E、C三点共线时，最短，
设直线CE的解析式为：，
将C、E两点坐标代入解析式可得：，
∴，
∴直线CE的解析式为：，
令，则，
∴当时，P、E、C三点共线，此时最短，
∴的最小值为．
（3）是；
理由：设，
因为A、B两点关于直线x=1对称，
所以圆心位于该直线上，
所以可设的外接圆的圆心为，
作，垂足为点N，则，
由轴，
∴，
∵，且由表格数据可知
∴，
化简得：，
∵点D是第四象限内抛物线上一动点，且抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的长不变，为1．

【点睛】
本题涉及到了动点问题，综合考查了用待定系数法求抛物线解析式、点的平移、勾股定理、平行四边形的判定与性质、最短路径问题、圆的性质等内容，解决本题的关键是理解并掌握相关概念与公式，能将题干信息与图形相结合，挖掘图中隐含信息，本题有一定的计算量，对学生的综合分析与计算能力都有较高的要求，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
11．（2021·四川自贡·中考真题）如图，抛物线（其中）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．

（1）直接写出的度数和线段AB的长（用a表示）；
（2）若点D为的外心，且与的周长之比为，求此抛物线的解析式；
（3）在（2）的前提下，试探究抛物线上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）∠OCA=45°，AB= a+1；（2）；（3）存在，P1（，），P2（1，-2）．
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数解析式可得A（a，0），C（0，-a），B（-1，0），即可得出OA=OB=a，OB=1，即可证明△OCA是等腰直角三角形，可得∠OCA=45°，根据线段的和差关系可表示AB的长；
（2）如图，作△ABC的外接圆⊙D，根据等腰直角三角形的性质可得AC=，利用两点间距离公式可用a表示出BC的长，根据圆周角定理可得∠D=2∠OAC=90°，可得△DBC是等腰直角三角形，即可证明△DBC∽△OCA，根据相似三角形周长之比等于相似比列方程求出a值即可得答案；
（3）如图，过点D作DH⊥AB于H，过点C作AC的垂线，交x轴于F，过点O作OG⊥AC于G，连接AP交CF于E，可得△OCF是等腰直角三角形，利用待定系数法可得直线CF的解析式，根据外心的定义及等腰直角三角形的性质可求出点D坐标，即可得出BH、DH的长，根据，∠BHD=∠ACE=90°可证明△BHD∽△ACE，根据相似三角形的性质可求出CE的长，根据两点间距离公式可得点E坐标，利用待定系数法可得直线AE解析式，联立直线AE与抛物线的解析式求出点P坐标即可得答案．
【详解】
（1）∵抛物线（其中）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．
∴当x=0时，y=-a，
当y=0时，，
解得：，，
∴A（a，0），C（0，-a），B（-1，0），
∴OB=1，OA=OC=a，
∴△OCA是等腰直角三角形，
∴∠OCA=45°，AB=OA+OB=a+1．
（2）如图，作△ABC的外接圆⊙D，
∵点D为的外心，
∴DB=DC，
∵△OCA是等腰直角三角形，OA=a，
∴∠OAC=45°，AC=，
∵∠BDC和∠BAC是所对的圆心角和圆周角，
∴∠BDC=2∠BAC=90°，
∴∠DBC=45°，
∴∠DBC=∠OAC，
∴△DBC∽△OCA，
∵与的周长之比为，
∴，即，
解得：，
经检验：是原方程的根，
∵,
∴a=2，
∴抛物线解析式为：=．

（3）如图，过点D作DH⊥AB于H，过点C作AC的垂线，交x轴于F，过点O作OG⊥AC于G，连接AP交CF于E，
∵a=2，
∴C（0，-2），A（2，0），AC=，
∵∠OCA=45°，
∴∠OCF=45°，
∴△OCF是等腰直角三角形，
∴F（-2，0），
设直线CF的解析式为y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线CF的解析式为，
∵△OCA是等腰直角三角形，OG⊥AC，
∴OG所在直线为AC的垂直平分线，点G为AC中点，
∵点D为的外心，
∴点D在直线OG上，
∵A（2，0），C（0，-2），
∴G（1，-1），
设直线OG的解析式y=mx，
∴m=-1，
∴直线OG的解析式y=-x，
∵点D为△ABC的外心，
∴点D在AB的垂直平分线上，
∴点D的横坐标为=，
把x=代入y=-x得y=-，
∴D（，-），
∴DH=，BH=1+=，
∵，∠BHD=∠ACE=90°，
∴△BHD∽△ACE，
∴，即，
解得：，
∵点E在直线CF上，
∴设点E坐标为（n，-n-2），
∴CE==，
解得：，
∴（，），（，），
设直线AE1的解析式为y=k1x+b1，
∴，
解得：，
∴直线AE1的解析式为，
同理：直线AE2的解析式为，
联立直线AE1解析式与抛物线解析式得，
解得：，（与点A重合，舍去），
∴P1（，），
联立直线AE2解析式与抛物线解析式得，
解得：，（与点A重合，舍去），
∴P2（1，-2）．

综上所述：存在点P，使得，点P坐标为P1（，），P2（1，-2）．
【点睛】
本题考查二次函数的综合，考查了二次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键．
12．（2022·四川南充·中考真题）抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点．


(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，顶点P在抛物线上，如果面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．
(3)如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在延长线上，，连接并延长到点D，使．交x轴于点E，与均为锐角，，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2)（2，），（，）或（，）
(3)（－4，）
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法求解析式即可；
（2）先根据题意判断出三角形BCP面积为平行四边形BCPQ面积的一半，得出当P在直线BC下方的抛物线上时，面积取最大值时满足题意，求出最大面积后得到直线BC下方的P点坐标，再根据△BCP的面积求出BC上方P点坐标即可；
（3）过点N作NH⊥x轴，过D作DP⊥x轴，过M作MQ⊥x轴，根据平行线性质求出MQ=PD，证明△MEQ≌△DEP，得PQ=2PE，设OP=x，用x表示出PB，PE的长度，再根据得出PB=2PE，代入求出x值，进而求得Q点坐标及M点坐标．
(1)
解：∵抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点，
∴，
解得：，
即抛物线解析式为．
(2)
解：由题意知，三角形BCP面积为平行四边形BCPQ面积的一半，
设直线BC下方抛物线上有一点P，过P作平行于BC的直线l，作直线l关于BC对称的直线MN，由图知，直线MN与抛物线必有两个交点，根据平行线间距离处处相等知，当三角形BCP面积取最大值时即直线l与抛物线只有一个交点时，符合题意的P点只有三个，


由B（4,0），C（0，-4）知直线BC解析式为：y=x-4，
过P作PH⊥x轴于H，交BC于E，
则S△BCP=S△PCE+S△PBE
=
=2PE，
设P（m，），则E（m，m-4），
∴S△BCP=
=，
∴当m=2时，△BCP面积取最大值，最大值为，
此时，直线BC下方抛物线上的P点坐标为（2，），
同理，设直线BC上方抛物线上P点横坐标为n，则：
，
解得：n=或n=，
即P（，）或（，），
综上所述，满足题意的P点坐标为（2，），（，）或（，）．
(3)
解：过点N作NH⊥x轴，过D作DP⊥x轴，过M作MQ⊥x轴，垂足分别为H、P、Q，如图所示，


则NH∥PD∥MQ，
∴，，
∴PD=2HN，QM=2HN，
即PD=QM，
∵∠MEQ=∠PED，
∴△MEQ≌△DEP，
∴QE=PE，   
设OP=x，则BP=4-x，PH=BH=，
∴OH=OP+PH=x+=，OQ=2OH=4+x，PQ=4+2x，PE=2+x，
∵，
∴，
即PB=2PE，
∴4-x=2（2+x），
解得：x=0，
即P点为坐标原点，D在y轴上，
∴OQ=4，即Q（－4,0），
∴M（－4, ）．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数与三角形面积最值问题、平行线分线段成比例性质、全等三角形证明等知识点，解题关键是利用平行线分线段成比例定理找出各线段间的关系．
13．（2022·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为．

(1)求点的坐标；
(2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；
(3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)最大为
(3)存在，的坐标为或（3，-16）或
【解析】
【分析】
（1）把点A的坐标代入，求出c的值即可；
（2）过作于点，过点作轴交于点，证明 是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，，运用待定系数法求直线解析式为，设，，则，求得PH，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）分①当AC为平行四边形ANMC的边，②当AC为平行四边形AMNC的边，③当AC为对角线三种情况讨论求解即可．
(1)
（1）∵点在抛物线的图象上，
∴
∴，
∴点的坐标为；
(2)
过作于点，过点作轴交于点，如图：

∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当最大时，最大，
设直线解析式为，
将代入得，
∴，
∴直线解析式为，
设，，则，
∴，
∵，
∴当时，最大为，
∴此时最大为，即点到直线的距离值最大；
(3)
存在．
∵
∴抛物线的对称轴为直线，
设点N的坐标为（-2，m），点M的坐标为（x，）
分三种情况：①当AC为平行四边形ANMC的边时，如图，

∵A（-5，0），C（0，5），
∴，即
解得，x=3.
∴
∴点M的坐标为（3，-16）
②当AC为平行四边形AMNC的边长时，如图，

方法同①可得，，
∴
∴点M的坐标为（-7，-16）；
③当AC为对角线时，如图，

∵A（-5，0），C（0，5），
∴线段AC的中点H的坐标为，即H（）
∴，解得，。
∴
∴点M的坐标为（-3，8）
综上，点的坐标为：或（3，-16）或．
【点睛】
本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．
14．（2022·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，E为边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为，求周长的最小值；
(3)如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，面积为，当为等腰三角形时，求点N的坐标．
【答案】(1)
(2)周长的最小值为
(3)N的坐标为或或
【解析】
【分析】
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）设为D关于直线的对称点，为D关于直线BC的对称点，连接、、，由对称的性质可知当、E、F、在同一直线上时，的周长最小，最小值为的长度，再证明为等腰直角三角形，再由勾股定理求解即可；
（3）连接BM，表示出，可证，再求出直线BC的解析式为，直线AM的解析式为，可得M的坐标，设N的坐标为，过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q，则得，，，根据等腰三角形的性质，分类讨论①时，②时，③时，分别计算即可．
(1)
∵，在上，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为．
(2)
如图，设为D关于直线的对称点，为D关于直线BC的对称点，
连接、、，

由对称的性质可知，，
的周长为，
∴当、E、F、在同一直线上时，的周长最小，最小值为的长度．
令，则，解得，．
∴B的坐标为，
∴，为等腰直角三角形．
∵BC垂直平分，且D的坐标为，
∴．
又∵D、关于x轴对称，
∴，
∴，
∴周长的最小值为．
(3)
∵M到x轴的距离为d，，连接BM，
∴．
又∵，
∴，
∴B、N到AM的距离相等．   
又∵B、N在AM的同侧，
∴．
设直线BC的解析式为，则，
∴
∴直线BC的解析式为，
∴设直线AM的解析式为．
∵，
∴设直线AM的解析式为，
，解得，，
∴M的坐标．
∵点N在射线BC上，
∴设N的坐标为．
∵，，，
过点M作x轴的平行线l，
过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q，

则易得，，，
∵为等腰三角形
①时，，
解得，．   
②时，，
解得，．
③时，，解得．
∵N在第一象限，
∴，
∴t的取值为，，，
∴N的坐标为或或．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质和图象，待定系数法求二次函数解析式，对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，求一次函数的解析式，熟练掌握知识点是解题的关键．
15．（2021·四川南充·中考真题）如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由．
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）四边形OCPQ是平行四边形，理由见详解；（3）（0，）或（0，1）或（0，-1）
【解析】
【分析】
（1）设抛物线，根据待定系数法，即可求解；
（2）先求出直线BC的解析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4），得到PQ =，从而求出线段PQ长度最大值，进而即可得到结论；
（3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，推出，从而得，进而求出E（5，4），设F（0，y），分三种情况讨论，即可求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线，
∴B（4，0），C（0，4），
设抛物线，把C（0，4）代入得：，解得：a=1，
∴抛物线的解析式为：；
（2）∵B（4，0），C（0，4），
∴直线BC的解析式为：y=-x+4，
设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4），
∴PQ=-x+4-()==，
∴当x=2时，线段PQ长度最大=4，
∴此时，PQ=CO，
又∵PQ∥CO，
∴四边形OCPQ是平行四边形；
（3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，
由（2）得：Q（2，-2），
∵D是OC的中点，
∴D（0，2），
∵QN∥y轴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即：，
设E（x，），则，解得：，（舍去），
∴E（5，4），
设F（0，y），则，
，，
①当BF=EF时，，解得：，
②当BF=BE时，，解得：或，
③当EF=BE时，，无解，
综上所述：点F的坐标为：（0，）或（0，1）或（0，-1）．
．
【点睛】
本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握二次函数的性质以及图像上点的坐标特征，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
16．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，其顶点为点D，连结AC．


(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；
(3)在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值．
【答案】(1)，顶点D的坐标为
(2)或
(3)
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法求解二次函数解析式，再化成顶点式即可得出顶点坐标；
（2）先用待定系数法求直线AC解析式为，再过点F作于点G，证，得，设F点的坐标为，则G点的坐标为，所以，即可求出或，从而求得点F坐标；
（3），是平移得得点M的坐标为，则（2）知点与点关于对称轴对称，连结，对称轴于点H，连结、，过点作于点N，交对称轴于点P，则，，．在中，，则在中，，所以，所以为最小值，根据，所以，即可求出．
(1)
解：∵抛物线经过点，，，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：=-(x-1)2+4，
∴顶点D的坐标为；
(2)
解：设直线AC的解析式为：，
把点，代入得：，，
∴直线AC解析式为：，
过点F作于点G，


∵以A、C、E、F四点为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形，
∴，AC=EF，
又∵，
∴
∴，
∴，
设F点的坐标为，
则G点的坐标为，
∴，
∴或，当时，，
∴，
当时，
∴，
∴或；
(3)
解：由题意，得点M的坐标为，
由题意知：点与点关于对称轴对称，
连结，对称轴于点H，连结、，过点作于点N，交对称轴于点P，则，，．


在中，，则在中，
∴，
又∵
∴为最小值，
又∵，
∴，
∴求得的最小值为．
【点睛】
本题考查用待定系数法求函数解析式，二次函数图象性质，平行四边形的性质，解直角三角形，利用轴对称求最小值，本题属二次函数综合题目，掌握二交次函数图象性质和灵活运用是解题的关键．
17．（2021·四川达州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点．


（1）求抛物线的解析式；
（2）将线段绕着点沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为，连接，，求的最小值．
（3）为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的横坐标分别为：2，，或．
【解析】
【分析】
（1）待定系数法求二次函数解析式，设解析式为将，两点代入求得，c的值即可；
（2）胡不归问题，要求的值，将折线化为直线，构造相似三角形将转化为，再利用三角形两边之和大于第三边求得最值；
（3）分2种情形讨论：①AB为矩形的一条边，利用等腰直角三角形三角形的性质可以求得N点的坐标;
②AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,RN=AB,利用两点距离公式求解方程可得N点的坐标．
【详解】
解：（1）∵过，
∴
∴，
∴抛物线的解析式为：
（2）在上取一点，使得，连接，

∵
对称轴．
∴，
，
∴，
∴
∴
∴
当，，三点在同一点直线上时，最小为．
在中，，
∴
即最小值为．
（3）情形①如图，AB为矩形的一条边时，
联立
得


是等腰，
分别过 两点作的垂线，交于点，
过作轴，轴,

,也是等腰直角三角形
设，则，所以
代入，解得,（不符题意，舍）

同理，设，则 ，所以
代入，解得,（不符题意，舍）


② AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,则

，



设 ，则

整理得：
解得：（不符题意，舍），（不符题意，舍），
，

综上所述：点的横坐标分别为：2，，或．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，三角形相似，勾股定理，二次函数与一次函数交点，矩形的性质，等腰直角三角形性质，平面直角坐标系中两点距离计算等知识，能正确做出辅助线，找到相似三角形是解题的关键．
18．（2020·四川宜宾·中考真题）如图，已知二次函数图像的顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图像上，过点F(0，1)作x轴的平行线交二次函数的图像于M，N两点
（1）求二次函数的表达式；
（2）P为平面内一点，当时等边三角形时，求点P的坐标；
（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和和点N，且与直线相切，若存在，求出点E的坐标，并求的半径；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）或；（3）在二次函数图像上存在点E，使得以点E为圆心，半径为的圆，过点F，N且与直线相切．
【解析】
【分析】
（1）由二次函数的顶点是原点，则设二次函数的解析式为，然后将（2，1）代入求得a即可；
（2）将y=1代入解得，可确定M、N的坐标，进而确定MN的长度；再根据是等边三角形确定PM的长，然后解三角形确定PF的长，最后结合F点坐标即可解答；
（3）先假设这样的点存在，设点Q是FN的中点，即 Q(1，1)
【详解】
解：（1）∵二次函数的顶点是原点
∴设二次函数的解析式为，
将（2，1）代入，

解得
所以二次函数的解析式为；
（2）如图：将y=1代入，得，解得


是等边三角形
∴点P在y轴上且PM=4
∴

或；

（3）假设在二次函数的图像上存在点E满足条件
设点Q是FN的中点，即 Q(1，1)
∴点E在FN的垂直平分线上
∴点E是FN的垂直平分线x=1与的图像的交点，即
，
∴

∴点E到直线y=-1的距离为
∴在二次函数图像上存在点E，使得以点E为圆心，半径为的圆，过点F，N且与直线相切．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的解析式、等边三角形、解三角形、垂直平分线等知识，掌握并综合应用所学知识是解答本题的关键．
19．（2020·四川·中考真题）如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；
（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N （2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

【答案】（1）；（2）或；（3）是，3NE+NF为定值4
【解析】
【分析】
（1）先将抛物线解析式变形，可得A和B的坐标，从而得AB=1+3=4，根据三角形ABC的面积为2可得OC的长，确定点C的坐标，根据点C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）设点P的纵坐标为m，当y=m时，﹣x2+x+1=m，解方程可得P和Q两点的坐标，从而得G和H的坐标，再利用正方形的性质可得出关于m的方程，解之即可得出结论；
（3）设点D（n，﹣n2+n+1），利用待定系数法求直线AD和BD的解析式，表示FN和OK的长，直接代入计算可得结论．
【详解】
（1）如图1，y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x2﹣2x﹣3）=a（x﹣3）（x+1），

∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∵△ABC的面积为2，即，
∴OC=1，
∴C（0，1），
将C（0，1）代入y=ax2﹣2ax﹣3a，得：﹣3a=1，
∴a=﹣，
∴该二次函数的解析式为y=﹣x2+x+1；
（2）如图2，设点P的纵坐标为m，当y=m时，﹣x2+x+1=m，

解得：x1=1+，x2=1﹣，
∴点P的坐标为（1﹣，m），点Q的坐标为（1+，m），
∴点G的坐标为（1﹣，0），点H的坐标为（1+，0），
∵矩形PGHQ为正方形，
∴PQ=PG，　
∴1+﹣（1﹣）=m，
解得：m1=﹣6﹣2，m2=﹣6+2，
∴当四边形PGHQ为正方形时，边长为6+2或2﹣6；
（3）如图3，设点D（n，﹣n2+n+1），延长BD交y轴于K，

∵A（﹣1，0），
设AD的解析式为：y=kx+b，
则，解得：，
∴AD的解析式为：y=（﹣）x﹣，
当x=2时，y=﹣n+2﹣n+1=﹣n+3，
∴F（2，3﹣n），
∴FN=3﹣n，
同理得直线BD的解析式为：y=（﹣）x+n+1，
∴K（0，n+1），
∴OK=n+1，
∵N（2，0），B（3，0），
∴，
∵EN∥OK，
∴，
∴OK=3EN，
∴3EN+FN=OK+FN=n+1+3﹣n=4，
∴在点D运动过程中，3NE+NF为定值4．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、待定系数法求一次函数解析式以及平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用正方形的性质，找出关于m的方程；（3）利用AD和BD的解析式确定FN和OK的长，可解决问题．
20．（2021·四川广安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒．

（1）求、的值；
（2）在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？
（3）在线段上方的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）b=2，c=3；（2）t=2，最小值为4；（3）（，）
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作PE⊥x轴，垂足为E，利用S四边形BCPQ=S△ABC-S△APQ表示出四边形BCPQ的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；
（3）画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，证明△PFM≌△QEP，得到MF=PE=t，PF=QE=4-2t，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0），
则，
解得：；
（2）由（1）得：抛物线表达式为y=-x2+2x+3，C（0，3），A（3，0），
∴△OAC是等腰直角三角形，由点P的运动可知：
AP=，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，
∴AE=PE==t，即E（3-t，0），
又Q（-1+t，0），
∴S四边形BCPQ=S△ABC-S△APQ
=
=
∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
AC=，AB=4，
∴0≤t≤3，
∴当t==2时，四边形BCPQ的面积最小，即为=4；

（3）∵点M是线段AC上方的抛物线上的点，
如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，
∵△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90°，
∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°，
∴∠PMF=∠QPE，
在△PFM和△QEP中，
，
∴△PFM≌△QEP（AAS），
∴MF=PE=t，PF=QE=4-2t，
∴EF=4-2t+t=4-t，又OE=3-t，
∴点M的坐标为（3-2t，4-t），
∵点M在抛物线y=-x2+2x+3上，
∴4-t=-（3-2t）2+2（3-2t）+3，
解得：t=或（舍），
∴M点的坐标为（，）．

【点睛】
本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
21．（2021·四川凉山·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，，．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大．求出点P的坐标
（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q．使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在．请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）（，）；（3）（，）或（，）或（，）
【解析】
【分析】
（1）根据OB=OC=3OA，AC=，利用勾股定理求出OA，可得OB和OC，得到A，B，C的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）判断出四边形BACP的面积最大时，△BPC的最大面积，过点P作y轴的平行线交BC于点H，求出直线BC的表达式，设点P（x，-x2-2x+3），利用三角形面积公式S△BPC=，即可求出S△BPC面积最小时点P的坐标；
（3）分类讨论，一是当BP为平行四边形对角线时，二是当BP为平行四边形一边时，利用平移规律即可求出点Q的坐标．
【详解】
解：（1）∵OB=OC=3OA，AC=，
∴，即，
解得：OA=1，OC=OB=3，
∴A（1，0），B（-3，0），C（0，3），代入中，
则，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，四边形PBAC的面积=△BCA的面积+△PBC的面积，
而△ABC的面积是定值，故四边形PBAC的面积最大，只需要△BPC的最大面积即可，
过点P作y轴的平行线交BC于点H，
∵B（-3，0），C（0，3），设直线BC的表达式为y=mx+n，
则，解得：，
∴直线BC的表达式为y=x+3，
设点P（x，-x2-2x+3），则点H（x，x+3），
S△BPC===，
∵，故S有最大值，即四边形PBAC的面积有最大值，
此时x=，代入得，
∴P（，）；

（3）若BP为平行四边形的对角线，
则PQ∥BM，PQ=BM，
则P、Q关于直线x=-1对称，
∴Q（，）；

若BP为平行四边形的边，
如图，QP∥BM，QP=BM，
同上可得：Q（，）；

如图，BQ∥PM，BQ=PM，
∵点Q的纵坐标为，代入中，
解得：或（舍），
∴点Q的坐标为（，）；

如图，BP∥QM，BP=QM，
∵点Q的纵坐标为，代入中，
解得：（舍）或，
∴点Q的坐标为（，）；

综上：点Q的坐标为（，）或（，）或（，）．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的有关性质、一次函数的性质、平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．（2020·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形．
（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．

【答案】（1）（，﹣）；y＝﹣x2+2x+1   （2）（，）；       （3）Q，R或Q（，﹣10），R（）
【解析】
【分析】
（1）由待定系数法求出直线AB的解析式为y＝﹣x+1，求出F点的坐标，由平行四边形的性质得出﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），求出a的值，则可得出答案；
（2）设P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x轴交AC于点P'，则P'（n，﹣n+1），得出PP'＝﹣n2+n，由二次函数的性质可得出答案；
（3）联立直线AC和抛物线解析式求出C（，﹣），设Q（，m），分两种情况：①当AQ为对角线时，②当AR为对角线时，分别求出点Q和R的坐标即可．
【详解】
解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵A（0，1），B（，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1，
∵点F的横坐标为，
∴F点纵坐标为﹣+1＝﹣，
∴F点的坐标为（，﹣），
又∵点A在抛物线上，
∴c＝1，
对称轴为：x＝﹣，
∴b＝﹣2a，
∴解析式化为：y＝ax2﹣2ax+1，
∵四边形DBFE为平行四边形．
∴BD＝EF，
∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1；
（2）设P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x轴交AC于点P'，

则P'（n，﹣n+1），
∴PP'＝﹣n2+n，
S△ABP＝OB•PP'＝﹣n＝﹣，
∴当n＝时，△ABP的面积最大为，此时P（，）．
（3）∵，
∴x＝0或x＝，
∴C（，﹣），
设Q（，m），
①当AQ为对角线时，
∴R（﹣），
∵R在抛物线y＝+4上，
∴m+＝﹣+4，
解得m＝﹣，
∴Q，R；
②当AR为对角线时，
∴R（），
∵R在抛物线y＝+4上，
∴m﹣+4，
解得m＝﹣10，
∴Q（，﹣10），R（）．
综上所述，Q，R；或Q（，﹣10），R（）．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键．
23．（2020·四川广安·中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（一1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．
（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）线段PE最大时点P的坐标为（，）；（3）存在，此时点D的坐标为（，0）或（，0）或（1，0）或（-3，0）
【解析】
【分析】
（1）将点A和点B的坐标代入即可求出结论；
（2）先利用抛物线解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线AC的解析式，设点P的坐标为（x，），易知点E的坐标为（x，）且-1≤x≤2，从而求出PE与x的函数解析式，然后利用二次函数求最值即可；
（3）设点D的坐标为（n，0），点F的坐标为（t，），根据平行四边形的对角线分类讨论，然后根据平行四边形的对角线互相平分和中点公式列出方程，即可分别求解．
【详解】
解：（1）将A（一1，0），B（3，0）两点坐标分别代入抛物线解析式中，得

解得：
∴抛物线的解析式为；
（2）将点C（2，m）代入抛物线解析式中，得
=-3
∴点C的坐标为（2，-3）
设直线AC的解析式为y=kx＋d
将A（一1，0）和点C（2，-3）的坐标分别代入，得

解得：
∴直线AC的解析式为
设点P的坐标为（x，），易知点E的坐标为（x，）且-1≤x≤2
∴PE=－
=
=
∵-1＜0
∴抛物线的开口向下，
∴当时，PE有最大值，最大值为
此时点P的坐标为（，）；
（3）存在，
设点D的坐标为（n，0），点F的坐标为（t，）
若AD和CF为平行四边形的对角线时，
∴AD的中点即为CF的中点
∴
解②，得，
将代入①，解得：n=；
将代入①，解得：n=；
∴此时点D的坐标为（，0）或（，0）；
若AC和DF为平行四边形的对角线时，
∴AC的中点即为DF的中点
∴
解②，得，（此时点F和点C重合，故舍去）
将代入①，解得：n=1；
∴此时点D的坐标为（1，0）；
若AF和CD为平行四边形的对角线时，
∴AF的中点即为CD的中点
∴
解②，得，（此时点F和点C重合，故舍去）
将代入①，解得：n=-3；
∴此时点D的坐标为（-3，0）；
综上：存在，此时点D的坐标为（，0）或（，0）或（1，0）或（-3，0）．

【点睛】
此题考查的是二次函数与几何图形的综合大题，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、利用二次函数求最值和平行四边形的性质是解题关键．
24．（2021·四川巴中·中考真题）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣3)．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2），；（3）或或或
【解析】
【分析】
（1）将、、代入即可求解析式；
（2）过点作轴交直线于点，过作轴交直线于点，由，可得，则求的最大值即可；
（3）分三种情况讨论：当时，过点作轴，过点作轴，与交于点，过点作轴，与交于点，可证明，求出；当时，过点作轴交于点，可证明，求出；当时，线段的中点，设，由，可求或．
【详解】
解：（1）将点、、代入，
得，
解得，
；
（2）如图1，过点作轴交直线于点，过作轴交直线于点，

，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
当时，有最大值，
；
（3），点在上，
如图2，当时，

过点作轴，过点作轴，与交于点，过点作轴，与交于点，
，，
，
，
，即，
，
；
如图3，当时，

过点作轴交于点，
，，
，
，
，即，
，
；
如图4，当时，

线段的中点，，
设，
，
，
或，
或；
综上所述：是直角三角形时，点坐标为或或或．
【点睛】
本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质，通过构造平行线将的最大值问题转化为求的最大值问题是解题的关键．
25．（2020·四川泸州·中考真题）如图，已知抛物线经过，，三点．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段于点E，若．
①求直线的解析式；
②已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧．点R是直线上的动点，若是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）①；②（2，4）或（，）
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）①过点E作EG⊥x轴，垂足为G，设直线BD的表达式为：y=k（x-4），求出直线AC的表达式，和BD联立，求出点E坐标，证明△BDO∽△BEG，得到，根据比例关系求出k值即可；
②根据题意分点R在y轴右侧时，点R在y轴左侧时两种情况，利用等腰直角三角形的性质求解即可.
【详解】
解：（1）∵抛物线经过点，，，代入，
∴，解得：，
∴抛物线表达式为：；
（2）①过点E作EG⊥x轴，垂足为G，
∵B（4，0），
设直线BD的表达式为：y=k（x-4），
设AC表达式为：y=mx+n，将A和C代入，
得：，解得：，
∴直线AC的表达式为：y=2x+4，
联立：，
解得：，
∴E（，），
∴G（，0），
∴BG=，
∵EG⊥x轴，
∴△BDO∽△BEG，
∴,
∵，
∴，
∴，
解得：k=，
∴直线BD的表达式为：；

②由题意：设P（s，），1＜s＜4，
∵△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠PQR=90°，PQ=RQ，
当点R在y轴右侧时，如图，
分别过点P，R作l的垂线，垂足为M和N，
∵∠PQR=90°，
∴∠PQM+∠RQN=90°，
∵∠MPQ+∠PQM=90°，
∴∠RQN=∠MPQ，又PQ=RQ，∠PMQ=∠RNQ=90°，
∴△PMQ≌△QNR，
∴MQ=NR，PM=QN，
∵Q在抛物线对称轴l上，纵坐标为1，
∴Q（1，1），
∴QN=PM=1，MQ=RN，
则点P的横坐标为2，代入抛物线得：y=4，
∴P（2，4）；

当点R在y轴左侧时，
如图，分别过点P，R作l的垂线，垂足为M和N，
同理：△PMQ≌△QNR，
∴NR=QM，NQ=PM，
设R（t，），
∴RN==QM，
NQ=1-t=PM，
∴P（，2-t），代入抛物线，
解得：t=或（舍），
∴点P的坐标为（，），

综上：点P的坐标为（2，4）或（，）.
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数，难度较大，解题时要理解题意，根据等腰直角三角形的性质构造全等三角形.