2020-2022年四川中考数学3年真题汇编 专题09 二次函数（学生卷+教师卷）

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专题09 二次函数
一、单选题
1．（2021·四川德阳·中考真题）下列函数中，y随x增大而增大的是（　　）
A．y＝﹣2x B．y＝﹣2x+3
C．y（x＜0） D．y＝﹣x2+4x+3（x＜2）
【答案】D
【解析】
【分析】
一次函数当a＞0时，函数值y总是随自变量x增大而增大，反比例函数当k＞0时，在每一个象限内，y随自变量x增大而增大，二次函数根据对称轴及开口方向判断增减性．
【详解】
解：A．一次函数y=-2x中的a=-2＜0，y随x的增大而减小，故不符合题意．
B．一次函数y=-2x+3中的a=-2＜0，y随自变量x增大而减小，故不符合题意．
C．反比例函数y=（x＜0）中的k=2＞0，在第三象限，y随x的增大而减小，故不符合题意．
D．二次函数y=-x2+4x+3（x＜2），对称轴x==2，开口向下，当x＜2时，y随x的增大而增大，故符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的增减性；熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质是关键．
2．（2022·四川南充·中考真题）已知点在抛物线上，当且时，都有，则m的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可得，抛物线的对称轴为，然后分四种情况进行讨论分析，最后进行综合即可得出结果．
【详解】
解：根据题意可得，抛物线的对称轴为，
①当0 ②当时，恒不成立；
③当时，使恒成立，
∴m，
∴m，
，
④当时，恒不成立；
综上可得：，
故选：A．
【点睛】
题目主要考查二次函数的基本性质，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键．
3．（2021·四川资阳·中考真题）已知A、B两点的坐标分别为、，线段上有一动点，过点M作x轴的平行线交抛物线于、两点．若，则a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据题意画出函数的图象，再结合图象建立不等式组，解不等式组即可得．
【详解】
解：由题意得：线段（除外）位于第四象限，
过点且平行轴的直线在轴的下方，
抛物线的顶点坐标为，此顶点位于第一象限，
，
画出函数图象如下：

结合图象可知，若，则当时，二次函数的函数值；当时，二次函数的函数值，
即，解得，
又，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数与一元一次不等式组，熟练掌握二次函数的图象与性质，以及图象法是解题关键．
4．（2020·四川眉山·中考真题）已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图象与x轴有交点，得出判别式△≥0，从而解得a≥-2，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，可得a≤3，从而得出选项．
【详解】
解：
∵图象与x轴有交点，
∴△=（-2a）2-4（a2-2a-4）≥0
解得a≥-2；
∵抛物线的对称轴为直线
抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，
∴a≤3，
∴实数a的取值范围是-2≤a≤3．
故选：D．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键．
5．（2021·四川泸州·中考真题）直线l过点(0，4)且与y轴垂直，若二次函数（其中x是自变量）的图像与直线l有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是（   ）
A．a＞4 B．a＞0 C．0＜a≤4 D．0＜a＜4
【答案】D
【解析】
【分析】
由直线l：y=4，化简抛物线，令，利用判别式，解出，由对称轴在y轴右侧可求即可．
【详解】
解：∵直线l过点(0，4)且与y轴垂直，
直线l：y=4，
，
∴，
∵二次函数（其中x是自变量）的图像与直线l有两个不同的交点，
∴，
，
∴，
又∵对称轴在y轴右侧，
，
∴，
∴0＜a＜4．
故选择D．
【点睛】
本题考查二次函数与直线的交点问题，抛物线对称轴，一元二次方程两个不等实根，根的判别式，掌握二次函数与直线的交点问题转化为一元二次方程实根问题，根的判别式，抛物线对称轴公式是解题关键．
6．（2020·四川泸州·中考真题）已知二次函数（其中x是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值（       ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的图像经过，，可得到二次函数的对称轴x=，又根据对称轴公式可得x=b，由此可得到b与c的数量关系，然后由该二次函数的图象与x轴有公共点列出不等式解答即可
【详解】
解：∵二次函数的图像经过，，
∴对称轴x=，即x=，
∵对称轴x=b，
∴=b，化简得c=b-1，
∵该二次函数的图象与x轴有公共点，
∴△=
=
=
=
∴b=2，c=1，
∴b+c=3，
故选：C.
【点睛】
本题考查了二次函数图像的性质，包括图像上点的坐标特征、对称轴，利用抛物线与x轴交点的情况列出不等式，求得b，c的值.
7．（2021·四川雅安·中考真题）定义：，若函数，则该函数的最大值为（       ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题目中所给的运算法则，分两种情况进行求解即可．
【详解】
令,
当时，即时，，
令 ，则w与x轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），
∴当时，，
∴（），
∵y随x的增大而增大，
∴当x=2时，；
当时，即时，，
令 ，则w与x轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），
∴当时，或，
∴（或），
∵的对称轴为x=1，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵当x=2时，=3，
∴当时，y<3；
当，y随x的增大而增大，
∴当x=-1时，=0；
∴当时，y<0；
综上，的最大值为3．
故选C．
【点睛】
本题是新定义运算与二次函数相结合的题目，解题时要注意分情况讨论，不要漏解．
8．（2021·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出C点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x,y），求出它关于点C对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．
【详解】
解:当x=0时，y=5，
∴C（0,5）；
设新抛物线上的点的坐标为（x,y），
∵原抛物线与新抛物线关于点C成中心对称，
由，；
∴对应的原抛物线上点的坐标为；
代入原抛物线解析式可得：，
∴新抛物线的解析式为：；
故选：A．
【点睛】
本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等．
9．（2020·四川成都·中考真题）关于二次函数，下列说法正确的是（       ）
A．图象的对称轴在轴的右侧
B．图象与轴的交点坐标为
C．图象与轴的交点坐标为和
D．的最小值为－9
【答案】D
【解析】
【分析】
先把抛物线的解析式化成顶点式，再根据二次函数的性质逐个判断即可．
【详解】
∵
∴抛物线的对称轴为直线：x=-1，在y轴的左侧，故选项A错误；
令x=0，则y=-8，所以图象与轴的交点坐标为，故选项B错误；
令y=0，则，解得x1=2，x2=-4，图象与轴的交点坐标为和，故选项C错误；
∵，a=1＞0，所以函数有最小值-9，故选项D正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的最值，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
10．（2021·四川广元·中考真题）将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（       ）

A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【解析】
【分析】
由二次函数解析式，可求与x轴的两个交点A、B，直线表示的图像可看做是直线的图像平移b个单位长度得到，再结合所给函数图像可知，当平移直线经过B点时，恰与所给图像有三个交点，故将B点坐标代入即可求解；当平移直线经过C点时，恰与所给图像有三个交点，即直线与函数关于x轴对称的函数图像只有一个交点，即联立解析式得到的方程的判别式等于0，即可求解．
【详解】
解：由知，当时，即

解得：

作函数的图像并平移至过点B时，恰与所给图像有三个交点，此时有：


平移图像至过点C时，恰与所给图像有三个交点，即当时，只有一个交点
当的函数图像由的图像关于x轴对称得到
当时对应的解析式为
即，整理得：


综上所述或
故答案是：A．


【点睛】
本题主要考察二次函数翻折变化、交点个数问题、函数图像平移的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识，属于函数综合题，中等难度．解题的关键是数形结合思想的运用，从而找到满足题意的条件．
11．（2020·四川自贡·中考真题）函数与的图象如图所示，则的大致图象为       （   ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据反比例函数过一、三象限可确定出k的符号，根据二次函数图像的对称轴可以确定出a,b的符号，进而求解.
【详解】
解：∵反比函数过一三象限，∴，
由二次函数开口向下可得，
又二次函数的对称轴，
∴，∴同号，∴，
∴
∴一次函数经过第一、二、三象限，
故答案为D．
【点睛】
本题考查了一次函数和二次函数图象的知识，解题的关键是掌握一次和二次函数的图象性质，此类题属于中考常考题型．
12．（2020·四川达州·中考真题）如图，直线与抛物线交于A、B两点，则的图象可能是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题目所给的图像，首先判断中k＞0，其次判断中a＜0，b＜0，c＜0，再根据k、b、的符号判断中b-k＜0，又a＜0，c＜0可判断出图像．
【详解】
解：由题图像得中k＞0，中a＜0，b＜0，c＜0，
∴b-k＜0，
∴函数对称轴x=＜0，交x轴于负半轴，
∴当时，即，
移项得方程，
∵直线与抛物线有两个交点，
∴方程有两个不等的解，即与x轴有两个交点，
根据函数对称轴交x轴负半轴且函数图像与x轴有两个交点，
∴可判断B正确．
故选：B
【点睛】
本题考查二次函数与一次函数的图象与性质，解题的关键是根据图像判断k、a、b、c的正负号，再根据二次函数与一元二次方程的关系判断出正确图像．
13．（2022·四川雅安·中考真题）抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣9，则下列结论中，正确的序号为（　　）
①当x＝2时，y取得最小值﹣9；②若点（3，y1），（4，y2）在其图象上，则y2＞y1；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x﹣5）2﹣5；④函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6．
A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
由二次函数的开口向上，函数有最小值，可判断①，由二次函数的增减性可判断②，由二次函数图象的平移可判断③，由二次函数与x轴的交点坐标可判断④，从而可得答案．
【详解】
解： y＝（x﹣2）2﹣9，图象的开口向上，
∴当x＝2时，y取得最小值﹣9；故①符合题意；
y＝（x﹣2）2﹣9的对称轴为，
而
故②符合题意；
将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x+1）2﹣5，故③不符合题意；
当时，则
解得：
而
故④符合题意；
故选B
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点问题，掌握“二次函数的图象与性质”是解本题的关键．
14．（2022·四川成都·中考真题）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（       ）

A． B．当时，的值随值的增大而增大
C．点的坐标为 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可．
【详解】
解：A、根据图像可知抛物线开口向下，即，故该选项不符合题意；
B、根据图像开口向下，对称轴为，当，随的增大而减小；当，随的增大而增大，故当时，随的增大而增大；当，随的增大而减小，故该选项不符合题意；
C、根据二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，可得对称轴，解得，即，故该选项不符合题意；
D、根据可知，当时，，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的图像与性质，根据图像得到抛物线开口向下，根据对称轴以及抛物线与轴交点得到是解决问题的关键．
15．（2021·四川阿坝·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，B两点，下列说法错误的是（       ）

A． B．图象的对称轴为直线
C．点B的坐标为 D．当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象和性质依次对各选项进行判断即可．
【详解】
解：由图可知二次函数的图象的开向下，所以a<0,故A选项正确；
因为二次函数的解析式为，
所以图象的对称轴为直线，故B选项正确；
因为二次函数的对称轴为直线，A,B两点是抛物线与x轴的交点，
所以A,B两点到对称轴的距离相等，
设B点坐标为（b,0）,则有b-(-1)=(-1)-(-3),
解得b=1,
所以B点坐标为（-1,0）.
故C选项正确；
由图形可知当x-1时,y随x的增大而增大，当-1 故选：D.
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，本题属于基础题型．
16．（2022·四川凉山·中考真题）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（       ）
A．a＞0
B．a＋b＝3
C．抛物线经过点（－1，0）
D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的图像与性质，根据各个选项的描述逐项判定即可得出结论．
【详解】
解：A、根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧可知，该说法正确，故该选项不符合题意；
B、由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3）可知，解得，该说法正确，故该选项不符合题意；
C、由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0），对称轴在y轴的左侧，则抛物线不经过（－1，0），该说法错误，故该选项符合题意；
D、关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1根的情况，可以转化为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≤0）与直线的交点情况，根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），，结合抛物线开口向上，且对称轴在y轴的左侧可知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≤0）与直线的有两个不同的交点，该说法正确，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的图像与性质，涉及到开口方向的判定、二次函数系数之间的关系、方程的根与函数图像交点的关系等知识点，根据题中条件得到抛物线草图是解决问题的关键．
17．（2020·四川宜宾·中考真题）函数的图象与x轴交于点(2，0)，顶点坐标为(-1，n)，其中，以下结论正确的是（   ）   
①；
②函数在处的函数值相等；
③函数的图象与的函数图象总有两个不同的交点；
④函数在内既有最大值又有最小值．
A．①③ B．①②③ C．①④ D．②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意作出函数图像，根据系数与图像的关系即可求解．
【详解】
如图，根据题意作图，
故a＜0，b＜0，c＞0
∴，①正确；
∵对称轴为x=-1
∴函数在处的函数值相等，故②错误；
图中函数的图象与的函数图象无交点，故③错误；
当时，x=-1时，函数有最大值
x=3时，函数有最小值，故④正确；
故选C．

【点睛】
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据题意画出函数大致图像进行求解．
18．（2020·四川遂宁·中考真题）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（　　）

A．b2＞4ac B．abc＞0
C．a﹣c＜0 D．am2+bm≥a﹣b（m为任意实数）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【详解】
解：由图象可得：a＞0，c＞0，△＝b2﹣4ac＞0，﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，b2＞4ac，故A选项不合题意，
∴abc＞0，故B选项不合题意，
当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴﹣a+c＜0，即a﹣c＞0，故C选项符合题意，
当x＝m时，y＝am2+bm+c，
当x＝﹣1时，y有最小值为a﹣b+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
∴am2+bm≥a﹣b，故D选项不合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的图象和性质，结合图形确定a,b,c的符号和它们之间的关系是解题的关键．
19．（2022·四川广元·中考真题）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）．其中正确的结论有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【解析】
【分析】
由图象可知，对称轴为直线，与x轴的一个交点为，然后可得，则有，进而可判断（1）（2）（3），最后根据函数的性质可进行判断（4）（5）．
【详解】
解：由图象及题意得：，对称轴为直线，与x轴的一个交点为，
∴，
∴，即，
∴，故（1）（3）正确；
由图象可知当x=-2时，则有，即，故（2）错误；
∵点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，
∴根据二次函数开口向下，离对称轴的距离越近，其所对应的函数值越大，
∴，故（4）错误；
由图象可知当x=2时，该函数有最大值，最大值为，
∴当x=m时，（m为常数），则有，
∴，即为，故（5）正确；
综上所述：正确的有（1）（3）（5）共3个；
故选C．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
20．（2022·四川广安·中考真题）已知抛物线y=ax2 +bx +c的对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc >0；②2c﹣3b <0；③5a +b+2c=0；④若B（，y1）、C（，y2）、D（，y3）是抛物线上的三点，则y1

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与性质一一判断即可．
【详解】
解：由图像可知，开口向上，图像与y轴负半轴有交点，则，，
对称轴为直线，则，
∴，故①正确；
当时，，
∵，
∴，即
∴，故②正确；
∵对称轴为直线，
∴抛物线与x轴负半轴的交点为（，0），
∴，
∵，
两式相加，则，
∴，故③错误；
∵，，，
∴，
∴根据开口向上，离对称轴越近其对应的函数值越小，则有，故④正确；
∴正确的结论有3个，
故选：C
【点睛】
本题考查了二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象及性质，能够通过函数图象提取信息是解题的关键．
21．（2022·四川内江·中考真题）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1．下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax2+bx+c＞﹣x+c的解集为0＜x＜x1．其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数图象可得出a，b，c的符号即可判断①，当x＝1时，y＜0即可判断②；根据对称轴为，a＞0可判断③；y1＝ax2+bx+c，数形结合即可判断④．
【详解】
解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，

∴a＞0，b＜0，c＞0，
∴abc＜0，
∴①正确．
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②错误．
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
，
，
∴2a﹣c＞0，
∴③正确；
如图：

设y1＝ax2+bx+c，，
由图值，y1＞y2时，x＜0或x＞x1，
故④错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质巧妙借助数学结合思想解决问题是解题的关键．
22．（2022·四川达州·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，与y轴交于，对称轴为直线．以下结论：①；②；③对于任意实数m，都有成立；④若，，在该函数图象上，则；⑤方程（，k为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】
【分析】
根据图象可判断，即可判断①正确；令，解得，根据图得，，即可求出a的范围，即可判断②错误；由代入变形计算即可判断③错误；由抛物线的增减性和对称性即可判断④错误；将所求的方程解的问题转化为抛物线与两直线的交点问题，根据交点的个数，以及抛物线的对称性可知⑤错误．
【详解】
二次函数的部分图象与y轴交于，对称轴为直线，抛物线开头向上，
，
，
，故①正确；
令，
解得，
由图得，，
解得，故②正确；
，
可化为，即，
，
若成立，则，故③错误；
当时，随的增大而减小，
，
，
对称轴为直线，
时与时所对应的值相等，
，故④错误；
（，k为常数）的解，是抛物线与直线y=±k的交点的横坐标，
则（，k为常数）解的个数可能有2个，3个或4个，
根据抛物线的对称性可知，
当有3个或4个交点时，（，k为常数）的所有解的和是4，
当有2个交点时，即k=0时，（，k为常数）的所有解的和是2，
故⑤错误；
综上，正确的个数为2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象和性质，一元二次方程求根公式，根与系数的关系等，熟练掌握知识点，能够运用数形结合的思想是解题的关键．
23．（2021·四川凉山·中考真题）二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）

A． B．函数的最大值为
C．当时， D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线开口方向、抛物线的对称轴位置和抛物线与y轴的交点位置可判断a、b、c的符号，利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），从而分别判断各选项．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴，即b=2a，则b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
则abc＞0，故A正确；
当x=-1时，y取最大值为，故B正确；
由于开口向下，对称轴为直线x=-1，
则点（1，0）关于直线x=-1对称的点为（-3，0），
即抛物线与x轴交于（1，0），（-3，0），
∴当时，，故C正确；
由图像可知：当x=-2时，y＞0，
即，故D错误；
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
24．（2021·四川遂宁·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④（）；⑤若方程＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（     ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据抛物线的开口向下，对称轴方程以及图象与y轴的交点得到a，b，c的取值，于是可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点的个数可对②进行判断；根据对称轴可得，则，根据可得，代入变形可对③进行判断；当时，的值最大，即当时，即>，则可对④进行判断；由于方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，则利用根与系数的关系可对⑤进行判断．
【详解】
解：①∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴b＞0，
∴abc＜0，①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点
∴>0
∴，故②错误；
③∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴，
∴
由图象得，当时，，
∴
∴，故③正确；
④当时，的值最大，
∴当时，>，
∴（），
∵b＞0，
∴（），故④正确；
⑤∵方程|ax2+bx+c|=1有四个根，
∴方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，
∴所有根之和为2×（-）=2×=4，所以⑤错误．
∴正确的结论是③④，
故选：A
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
25．（2021·四川广安·中考真题）二次函数的图象如图所示，有下列结论：①，②，③，④，正确的有（       ）


A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的开口方向，对称轴，与y轴交点可得a，b，c的符号，从而判断①；再根据二次函数的对称性，与x轴的交点可得当x=-2时，y＞0，可判断②；再根据x=-1时，y取最大值可得a-b+c≥ax2+bx+c，从而判断③；最后根据x=1时，y=a+b+c，结合b=2a，可判断④．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x=-1，即，
∴b=2a，则b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
∵抛物线对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点横坐标在0和1之间，
则与x轴的另一个交点在-2和-3之间，
∴当x=-2时，y=4a-2b+c＞0，故②错误；
∵x=-1时，y=ax2+bx+c的最大值是a-b+c，
∴a-b+c≥ax2+bx+c，
∴a-b≥ax2+bx，即a-b≥x（ax+b），故③正确；
∵当x=1时，y=a+b+c＜0，b=2a，
∴a+2a+c=3a+c＜0，故④正确；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
26．（2021·四川巴中·中考真题）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，则下列结论：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝0；④7a+c＜0．其中正确的有（　　）
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
1.875
3
m
1.875
0
…

A．①④ B．②③ C．③④ D．②④
【答案】B
【解析】
【分析】
由表格可以得到二次函数图象经过点点（-3，1.875）和点（1，1.875），这两点关于对称轴对称，由此得到对称轴直线，设出二次函数顶点式，代入两点，求解出二次函数解析式，得到a，b，c的值，依次代入到①②③④中进行判断即可解决．
【详解】
解：由表格可以得到，二次函数图象经过点和点，
点与点是关于二次函数对称轴对称的，
二次函数的对称轴为直线，
设二次函数解析式为，
代入点，得，
，
解得，
二次函数的解析式为：，
，
，
①是错误的，
，
②是正确的，
方程为，
即为，
，，
③是正确的，
，
④是错误的，
②③是正确的，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数系数特征和二次函数解析式求法，利用待定系数法求解函数解析式是通法，由表格提炼出对称轴的信息，是解题的突破口，此题，也可以通过二次函数系数特征来解决．
27．（2020·四川凉山·中考真题）二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线的对称轴公式即可对②进行判断；由抛物线的开口方向可判断a，结合抛物线的对称轴可判断b，根据抛物线与y轴的交点可判断c，进而可判断①；由图象可得：当x=3时，y＞0，即9a+3b+c＞0，结合②的结论可判断③；由于当x=1时，二次函数y取最小值a+b+c，即（m为实数），进一步即可对④进行判断，从而可得答案．
【详解】
解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴是直线x=1，∴，
∴b＜0，，故②正确；
∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，
∴，故①正确；
∵当x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0，
∵，∴，
整理即得：，故③正确；
∵当x=1时，二次函数y取最小值a+b+c，
∴（m为实数），即（m为实数），故④正确．
综上，正确结论的个数有4个．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与其系数间的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
28．（2020·四川南充·中考真题）关于二次函数的三个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则或．其中正确的结论是（     ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可求次函数y=ax2-4ax-5的对称轴为直线，由对称性可判断①；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式，可求解，可判断②；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式组，可求解，可判断③；即可求解．
【详解】
解：∵抛物线的对称轴为，
∴x1=2+m与x2=2-m关于直线x=2对称，
∴对任意实数m，都有x1=2+m与x2=2-m对应的函数值相等；
故①正确；
当x=3时，y=-3a-5，当x=4时，y=-5，
若a＞0时，当3≤x≤4时，-3a-5＜y≤-5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，
∴，
若a＜0时，当3≤x≤4时，-5≤y＜-3a-5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，
∴，
故②正确；
若a＞0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，
∴△＞0，25a-20a-5≥0，
∴，
∴；
若a＜0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，
∴△＞0，25a-20a-5≤0，
∴
∴a＜，
综上所述：当a＜或a≥1时，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6．
故③正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与x轴的交点等知识，理解题意列出不等式（组）是本题的关键．
29．（2020·四川·中考真题）已知不等式ax+b0的解集为x2，则下列结论正确的个数是（　　）
（1）2a+b＝0；
（2）当ca时，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点；
（3）当c0时，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝ax+b的上方；
（4）如果b3且2a﹣mb﹣m＝0，则m的取值范围是﹣m0．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
由不等式的解集得出a＜0，﹣=2，即b=﹣2a，从而得出2a+b=0，即可判断（1）；根据△=4a（a﹣c）＞0即可判断（2）；求得抛物线的顶点为（1，a﹣c）即可判断（3）；求得0＜﹣＜3，得出不等式组的解集为﹣＜m＜0即可判断（4）．
【详解】
（1）∵不等式ax+b＞0的解集为x＜2，
∴a＜0，﹣=2，即b=﹣2a，
∴2a+b=0，故结论正确；
（2）函数y=ax2+bx+c中，令y=0，则ax2+bx+c=0，
∵b=﹣2a，
∴△=b2﹣4ac=（﹣2a）2﹣4ac=4a（a﹣c），
∵a＜0，c＞a，
∴△=4a（a﹣c）＞0，
∴当c＞a时，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，故结论错误；
（3）∵b=﹣2a，
∴﹣=1，==c﹣a，
∴抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（1，c﹣a），
当x=1时，直线y=ax+b=a+b=a﹣2a=﹣a＞0
当c＞0时，c﹣a＞﹣a＞0，
∴抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=ax+b的上方，故结论正确；
（4）∵b=﹣2a，
∴由2a﹣mb﹣m=0，得到﹣b﹣mb﹣m=0，
∴b=﹣，
如果b＜3，则0＜﹣＜3，
∴﹣＜m＜0，故结论正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，由题意得到b=﹣2a是解题的关键．
30．（2020·四川绵阳·中考真题）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（　　）

A．4米 B．5米 C．2米 D．7米
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的小孔所在抛物线的解析式，将x=﹣10代入可求解．
【详解】
解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=，

设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+，
∵BC=10，
∴点B（﹣5，0），
∴0=a×（﹣5）2+，
∴a=-，
∴大孔所在抛物线解析式为y=-x2+，设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=m（x﹣b）2，
∵EF=14，
∴点E的横坐标为-7，
∴点E坐标为（-7，-），       
∴-=m（x﹣b）2，
∴x1=+b，x2=-+b，
∴MN=4，
∴|+b-（-+b）|=4
∴m=-，
∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=-（x﹣b）2，
∵大孔水面宽度为20米，
∴当x=-10时，y=-，
∴-=-（x﹣b）2，
∴x1=+b，x2=-+b，
∴单个小孔的水面宽度=|（+b）-（-+b）|=5（米），
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
二、填空题
31．（2022·四川广安·中考真题）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米．

【答案】##
【解析】
【分析】
根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案．
【详解】
解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2），


通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（3，0）代入得，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为：；
当水面下降，水面宽为8米时，有
把代入解析式，得；
∴水面下降米；
故答案为：；
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
32．（2022·四川南充·中考真题）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______________m时，水柱落点距O点．

【答案】8
【解析】
【分析】
由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0；喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y=ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h．
【详解】
解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，
将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0①，
喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，
将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②，
联立可求出，，
设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，
∴此时的解析式为，
将（4，0）代入可得，
解得h=8．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．
33．（2022·四川成都·中考真题）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间（秒）之间满足函数关系，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是_________；当时，的取值范围是_________．

【答案】         
【解析】
【分析】
根据题意，得-45+3m+n=0，，确定m，n的值，从而确定函数的解析式，根据定义计算确定即可．
【详解】
根据题意，得-45+3m+n=0，，
∴ ，
∴ ，
解得m=50，m=10，
当m=50时，n=-105；当m=10时，n=15；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴n＞0，
∴，
∵对称轴为t==1，a=-5＜0，
∴时，h随t的增大而增大，
当t=1时，h最大，且（米）；当t=0时，h最最小，且（米）；
∴w=，
∴w的取值范围是，
故答案为：．
当时，的取值范围是
∵对称轴为t==1，a=-5＜0，
∴时，h随t的增大而减小，
当t=2时，h=15米，且（米）；当t=3时，h最最小，且（米）；
∴w=，w=，
∴w的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了待定系数法确定抛物线的解析式，函数的最值，增减性，对称性，新定义计算，熟练掌握函数的最值，增减性，理解新定义的意义是解的关键．
34．（2021·四川巴中·中考真题）y与x之间的函数关系可记为y＝f（x）．例如：函数y＝x2可记为f（x）＝x2．若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），则f（x）是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数．例如：f（x）＝x2是偶函数，f（x）是奇函数．若f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，则实数a＝__________．
【答案】5
【解析】
【分析】
由f（x）=ax2+（a-5）x+1是偶函数，得a（-x）2+（a-5）•（-x）+1=ax2+（a-5）x+1，解得a=5．
【详解】
解：∵f（x）=ax2+（a-5）x+1是偶函数，
∴对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），即a（-x）2+（a-5）•（-x）+1=ax2+（a-5）x+1，
∴（10-2a）x=0，可知10-2a=0，
∴a=5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查新定义：偶函数与奇函数，解题的关键是理解偶函数定义，列出a（-x）2+（a-5）•（-x）+1=ax2+（a-5）x+1．
35．（2020·四川乐山·中考真题）我们用符号表示不大于的最大整数．例如：，．那么：
（1）当时，的取值范围是______；
（2）当时，函数的图象始终在函数的图象下方．则实数的范围是______．
【答案】          或
【解析】
【分析】
（1）首先利用的整数定义根据不等式确定其整数取值范围，继而利用取整函数定义精确求解x取值范围．
（2）本题可根据题意构造新函数，采取自变量分类讨论的方式判别新函数的正负，继而根据函数性质反求参数．
【详解】
（1）因为表示整数，故当时，的可能取值为0,1,2．
当取0时， ；当取1时， ；当=2时，．
故综上当时，x的取值范围为：．
（2）令，，，
由题意可知：，．
①当时，=，，在该区间函数单调递增，故当时， ，得．
②当时，=0， 不符合题意．
③当时，=1， ，在该区间内函数单调递减，故当取值趋近于2时，，得，
当时，，因为 ，故，符合题意．
故综上：或．
【点睛】
本题考查函数的新定义取整函数，需要有较强的题意理解能力，分类讨论方法在此类型题目极为常见，根据不同区间函数单调性求解参数为常规题型，需要利用转化思想将非常规题型转化为常见题型．
36．（2021·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，若抛物线与x轴只有一个交点，则_______．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据抛物线与x轴只有一个交点可知方程=0根的判别式△=0，解方程求出k值即可得答案．
【详解】
∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴方程=0根的判别式△=0，即22-4k=0，
解得：k=1，
故答案为：1
【点睛】
本题考查二次函数与x轴的交点问题，对于二次函数（k≠0），当判别式△＞0时，抛物线与x轴有两个交点；当k=0时，抛物线与x轴有一个交点；当x＜0时，抛物线与x轴没有交点；熟练掌握相关知识是解题关键．
37．（2021·四川德阳·中考真题）已知函数y的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为 _____．

【答案】17
【解析】
【分析】
根据题意可知，当直线经过点（1，12）时，直线y=kx-3与该图象有公共点；当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3，可得出k的最大值是15，最小值是2，即可得它们的和为17．
【详解】
解：当直线经过点（1，12）时，12=k-3，解得k=15；
当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3，
整理得x2-（10+k）x+36=0，
∴10+k=±12，解得k=2或k=-22（舍去），
∴k的最大值是15，最小值是2，
∴k的最大值与最小值的和为15+2=17．
故答案为：17．
【点睛】
本题考查分段函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，结合图象求出k的最大值和最小值是解题的关键．
38．（2022·四川遂宁·中考真题）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m=a-b+c，则m的取值范围是______．

【答案】
【解析】
【分析】
由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置及抛物线经过（1，0）可得a，b，c的等量关系，然后将x=-1代入解析式求解．
【详解】
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴-＜0，
∴b＞0，
∵抛物线经过（0，-2），
∴c=-2，
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c=0，
∴a+b=2，b=2-a，
∴y=ax2+（2-a）x-2，
当x=-1时，y=a+a-2-2=2a-4，
∵b=2-a＞0，
∴0＜a＜2，
∴-4＜2a-4＜0，
故答案为：-4＜m＜0．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
39．（2020·四川广安·中考真题）已知二次函数y=a（x-3）2+c（a，c为常数，a＜0），当自变量x分别取，0，4时，所对应的函数值分别为，，，则，，的大小关系为________（用“＜”连接）．
【答案】＜＜
【解析】
【分析】
根据题意可得该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x=3，从而得出当x＜3时，y随x的增大而增大，点（4，）关于对称轴直线x=3的对称点为（2，），然后比较横坐标的大小即可得出结论．
【详解】
解：∵二次函数y=a（x-3）2+c（a，c为常数，a＜0），
∴该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x=3
∴当x＜3时，y随x的增大而增大，点（4，）关于对称轴直线x=3的对称点为（2，）
∵0＜2＜＜3
∴＜＜
故答案为：＜＜．
【点睛】
此题考查的是二次函数图象的性质，掌握抛物线对称轴两侧的增减性的判断方法是解题关键．
40．（2020·四川·中考真题）若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知等式表示出y2，代入s中利用二次函数最值即可确定出s范围．
【详解】
解：由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，
∴x≤3，
代入得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8，
当x＝3时，s＝（3﹣4）2+8＝9，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，关键是根据题意进行代入消元，然后利用二次函数的性质进行求解即可．
41．（2021·四川南充·中考真题）关于抛物线，给出下列结论：①当时，抛物线与直线没有交点；②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则．其中正确结论的序号是________．
【答案】②③
【解析】
【分析】
先联立方程组，得到，根据判别式即可得到结论；②先求出a＜1，分两种情况：当0＜a＜1时，当a＜0时，进行讨论即可；③求出抛物线的顶点坐标为：，进而即可求解．
【详解】
解：联立，得，
∴∆=，当时，∆有可能≥0，
∴抛物线与直线有可能有交点，故①错误；
抛物线的对称轴为：直线x=，
若抛物线与x轴有两个交点，则∆=，解得：a＜1，
∵当0＜a＜1时，则＞1，此时，x＜，y随x的增大而减小，
又∵x=0时，y=1＞0，x=1时，y=a-1＜0，
∴抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，
∵当a＜0时，则＜0，此时，x＞，y随x的增大而减小，
又∵x=0时，y=1＞0，x=1时，y=a-1＜0，
∴抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，
综上所述：若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，故②正确；
抛物线的顶点坐标为：，
∵，
∴抛物线的顶点所在直线解析式为：x+y=1，即：y=-x+1，
∵抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），
∴，解得：，故③正确．
故答案是：②③．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数与二次方程的联系，熟练应用判别式判断一元二次方程根的情况，是解题的关键．
42．（2020·四川内江·中考真题）已知抛物线（如图）和直线．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为和．若，取和中较大者为M；若，记．①当时，M的最大值为4；②当时，使的x的取值范围是；③当时，使的x的值是，；④当时，M随x的增大而增大．上述结论正确的是____（填写所有正确结论的序号）

【答案】②④
【解析】
【分析】
根据题目中的较大者M的定义逐个分析即可．
【详解】
解：对于①：当时，，，显然只要，则M的值为，故①错误；
对于②：当时，在同一直角坐标系内画出的图像，如下图所示，其中红色部分即表示M，联立的函数表达式，即，求得交点横坐标为和，观察图形可知的x的取值范围是，故②正确；

对于③：当时，在同一直角坐标系内画出的图像，如下图所示，其中红色部分即表示M，

联立的函数表达式，即，求得其交点的横坐标为和，
故M=3时分类讨论：当时，解得或，当时，解得，故③错误；
对于④：当时，函数，此时图像一直在图像上方，如下图所示，故此时M=，故M随x的增大而增大，故④正确．

故答案为：②④．
【点睛】
本题考查了二次函数与一次函数的图像性质及交点坐标，本题的关键是要能理解M的含义，学会用数形结合的方法分析问题．
三、解答题
43．（2022·四川遂宁·中考真题）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如，都是“黎点”．
(1)求双曲线上的“黎点”；
(2)若抛物线（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当时，求c的取值范围．
【答案】(1)上的“黎点”为，
(2)
【解析】
【分析】
（1）设双曲线上的“黎点”为，构建方程求解即可；
（2）抛物线（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程有且只有一个解，，可得结论．
(1)
设双曲线上的“黎点”为，
则有，解得，
∴上的“黎点”为，．
(2)
∵抛物线上有且只有一个“黎点”，
∴方程有且只有一个解，
即，，，
∴．
∵，
∴．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上的点特征，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．
44．（2021·四川乐山·中考真题）已知关于的一元二次方程．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】
（1）根据△＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根求解m的取值范围即可；
（2）根据二次函数图象与x轴的交点的横坐标就是当y=0时对应一元二次函数的解，故将x=1代入方程中求出m值，再代入一元二次方程中解方程即可求解．
【详解】
解：（1）由题知，
∴．
（2）由图知的一个根为1，
∴，∴，
即一元二次方程为，
解得，，
∴一元二次方程的解为，．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式、解一元一次方程、解一元二次方程，会解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键．
45．（2022·四川自贡·中考真题）已知二次函数．

(1)若，且函数图象经过，两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与轴交点及顶点的坐标；
(2)在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值时自变量的取值范围；
(3)若且，一元二次方程 两根之差等于，函数图象经过，两点，试比较的大小 ．
【答案】(1)，；；
(2)见详解；；
(3)．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法可求出抛物线的解析式，可得所求点的坐标；
（2）由题意画出图象，结合图象写出的取值范围；
（3）根据题意分别求出，，将点P点Q的坐标代入分别求出，利用作差法比较大小即可．
(1)
解：∵，且函数图象经过，两点，
∴，
∴二次函数的解析式为，
∵当时，则，
解得，，
∴抛物线与轴交点的坐标为，，
∵，
∴抛物线的顶点的坐标为．
(2)
解：函数的大致图象，如图①所示：

当时，则，
解得，，
由图象可知：当时，函数值．
(3)
解：∵且，
∴，，，且一元二次方程必有一根为，
∵一元二次方程 两根之差等于，且
∴方程的另一个根为，
∴抛物线的对称轴为直线：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴
∵，，
∴，
，
∴，
∵b＞c,
∴-1-c＞c,
∴,
∴，
∴．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，数形结合的思想，求出b与c的关系是解题的关键．
46．（2022·四川凉山·中考真题）在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求点P的坐标；
(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【解析】
【分析】
（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）先求出抛物线的对称轴，再设点的坐标为，则，根据旋转的性质可得，从而可得，将点代入抛物线的解析式求出的值，由此即可得；
（3）先根据点坐标的平移规律求出点，作点关于轴的对称点，连接，从而可得与轴的交点即为所求的点，再利用待定系数法求出直线的解析式，由此即可得出答案．
(1)
解：将点代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为．
(2)
解：抛物线的对称轴为直线，其顶点的坐标为，
设点的坐标为，则，
由旋转的性质得：，
，即，
将点代入得：，
解得或（舍去），
当时，，
所以点的坐标为．


(3)
解：抛物线的顶点的坐标为，
则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点，
这时点落在点的位置，且，
，即，恰好在对称轴直线上，
如图，作点关于轴的对称点，连接，


则，
由两点之间线段最短可知，与轴的交点即为所求的点，此时的值最小，即的值最小，
由轴对称的性质得：，
设直线的解析式为，
将点代入得：，
解得，
则直线的解析式为，
当时，，
故在轴上存在点，使得的值最小，此时点的坐标为．
【点睛】
本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、旋转的性质、点坐标的平移规律等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象与性质是解题关键．
47．（2022·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧），点关于轴的对称点为．

(1)当时，求，两点的坐标；
(2)连接，，，，若的面积与的面积相等，求的值；
(3)试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为
(2)或
(3)是，
【解析】
【分析】
(1)解方程组，整理得到，解方程即可得到答案．
(2)分k＜0和k＞0，两种情形求解．
(3) 设直线A的解析式为y=px+q，根据题意求得p，q的值，结合方程组的意义，确定与y轴的交点即可．
(1)
根据题意，得，
整理得到，
解方程，得，
当x=-3时，y=-9；当x=1时，y= -1；
∵点在点的左侧，
∴点的坐标为（-3，-9），点的坐标为（1，-1）．
(2)
∵A，B是抛物线图像上的点，
设A（m，），B（n，），则（-n，），
当k＞0时，

根据题意，得，
整理得到，
∴m，n是的两个根，
∴，
设直线y=kx-3与y轴的交点为D，则点D（0，-3）
∴，，
∴==，
∴3==，
∴，
∵n≠0，
∴，，
∴，
解得k=或k= -(舍去)，
故k=；
当k＜0时，

根据题意，得，
整理得到，
∴m，n是的两个根，
∴，
设直线y=kx-3与y轴的交点为D，则点D（0，-3）
∴，，
∴==，
∴3==-，
∴-，
∵n≠0，
∴，，
∴，
解得k=-或k=(舍去)，
故k=-；
综上所述，k的值为或．
(3)
直线A一定过定点（0，3）．理由如下：
∵A，B是抛物线图像上的点，
∴设A（m，），B（n，），则（-n，），
根据题意，得，
整理得到，
∴m，n是的两个根，
∴，
设直线A的解析式为y=px+q，根据题意，得
，
解得，
∴直线A的解析式为y=（n-m）x-mn，
∵mn=-3，
∴-mn=3，
∴直线A的解析式为y=（n-m）x+3，
故直线A一定过定点（0，3）．
【点睛】
本题考查了抛物线与一次函数的交点问题，待定系数法，一元二次方程根与系数关系定理，对称性，熟练掌握抛物线与一次函数的交点，及其根与系数关系定理是解题的关键．
48．（2021·四川乐山·中考真题）已知二次函数的图象开口向上，且经过点，．
（1）求的值（用含的代数式表示）；
（2）若二次函数在时，的最大值为1，求的值；
（3）将线段向右平移2个单位得到线段．若线段与抛物线仅有一个交点，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法将点A、B的坐标代入即可
（2）根据抛物线图像分析得在范围内，的最大值只可能在或处取得，进行分类讨论①若时，②若，③，计算即可
（3）先利用待定系数法写出直线AB的解析式，再写出平移后的解析式，若线段与抛物线仅有一个交点，即方程在的范围内仅有一个根，只需当对应的函数值小于或等于0，且对应的函数值大于或等于即可．
【详解】
（1）∵抛物线过点，，
∴，
∴，
∴．
（2）由（1）可得，
在范围内，的最大值只可能在或处取得．
当时，，当时，．
①若时，即时，得，
∴，得．
②若，即时，得，此时，舍去．
③，即时，得，
∴，，舍去．
∴综上知，的值为．
（3）设直线的解析式为，
∵直线过点，，
∴，∴，
∴．
将线段向右平移2个单位得到线段，
∴的解析式满足，即．
又∵抛物线的解析式为，
∴．
又∵线段与抛物线在范围内仅有一个交点，
即方程在的范围内仅有一个根，
整理得在的范围内仅有一个根，
即抛物线在的范围内与轴仅有一个交点．
只需当对应的函数值小于或等于0，且对应的函数值大于或等于即可．
即时，，得，
当时，，得，          
综上的取值范围为．
【点睛】
本题考查一次函数解析式、二次函数解析式、二次函数的最值、图像与x轴的交点与方程的根的情况、熟练掌握二次函数的图像知识是解题的关键
49．（2020·四川攀枝花·中考真题）如图，开口向下的抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一点．

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）设四边形的面积为，求的最大值．
【答案】（1）；（2）8
【解析】
【分析】
（1）设二次函数表达式为，再将点C代入，求出a值即可；
（2）连接OP，设点P坐标为（m，），m＞0，利用S四边形CABP=S△OAC+S△OCP+S△OPB得出S关于m的表达式，再求最值即可.
【详解】
解：（1）∵A（-1，0），B（2，0），C（0，4），
设抛物线表达式为：，
将C代入得：，
解得：a=-2，
∴该抛物线的解析式为：；
（2）连接OP，设点P坐标为（m，），m＞0，
∵A（-1，0），B（2，0），C（0，4），
可得：OA=1，OC=4，OB=2，
∴S=S四边形CABP=S△OAC+S△OCP+S△OPB
=
=
当m=1时，S最大，且为8.

【点睛】
本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是能将四边形CABP的面积表示出来.