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2020-2022年浙江中考数学3年真题汇编 专题02 整式乘法与因式分解（学生卷+教师卷）
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这是一份2020-2022年浙江中考数学3年真题汇编 专题02 整式乘法与因式分解（学生卷+教师卷），文件包含专题02整式乘法与因式分解-三年2020-2022中考数学真题分项汇编浙江专用解析版docx、专题02整式乘法与因式分解-三年2020-2022中考数学真题分项汇编浙江专用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
专题02 整式乘法与因式分解
一、单选题(共23小题)
1．（2021·浙江衢州））下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平方差公式的定义判断即可；
【详解】
、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；
、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；
、原式，能利用平方差公式进行因式分解，符合题意；
、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意，
故选：．
【点睛】
本题主要考查了平方差公式的应用，准确判断是解题的关键．
2．（2022·浙江嘉兴）计算a2·a（ ）
A．a B．3a C．2a2 D．a3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法法则进行运算即可．
【详解】
解：
故选D
【点睛】
本题考查的是同底数幂的乘法，掌握“同底数幂的乘法，底数不变，指数相加”是解本题的关键．
3．（2022·浙江湖州）下列各式的运算，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方分别计算，对各项进行判断即可．
【详解】
解：A、a2和a3不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B、原计算错误，故该选项不符合题意；
C、a3和a不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
D、正确，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方，掌握相关运算法则是解题的关键．
4．（2021·浙江台州）已知（a＋b）2＝49，a2＋b2＝25，则ab＝（ ）
A．24 B．48 C．12 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用完全平方公式计算即可．
【详解】
解：∵，，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查整体法求代数式的值，掌握完全平方公式是解题的关键．
5．（2020·浙江台州）计算2a2·3a4的结果是（ ）
A．5a6 B．5a8 C．6a6 D．6a8
【答案】C
【解析】
【分析】
按照单项式与单项式相乘的运算法则求解即可.
【详解】
解：由题意知：2a2·3a4=6a2+4=6a6.
故答案为：C.
【点睛】
本题考查了单项式与单项式的乘法，其运算法则为：数字与数字相乘，字母为同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
6．（2022·浙江温州）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简乘方，再利用单项式乘单项式的法则进行计算即可．
【详解】
解：，
故选：D．
【点睛】
本题考查单项式乘单项式，掌握单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是解题的关键．
7．（2021·浙江杭州）因式分解：（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平方差公式因式分解即可．
【详解】
解：，
故选：A．
【点睛】
本题考查利用平方差公式进行因式分解，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
8．（2022·浙江绍兴）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据多项式除以单项式、同底数幂的乘法、完全平方公式、幂的乘方法则逐项判断即可．
【详解】
解：A、，原式计算正确；
B、，原式计算错误；
C、，原式计算错误；
D、，原式计算错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查了多项式除以单项式、同底数幂的乘法、完全平方公式和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
9．（2021·浙江台州）下列运算中，正确的是（ ）
A．a2＋a＝a3 B．（ab）2＝ab2 C．a5÷a2＝a3 D．a5・a2＝a10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据合并同类项、积的乘方、同底数幂相除、同底数幂相乘的法则分别计算即可．
【详解】
解：A．与a不是同类项，不能合并，故该项错误；
B．，故该项错误；
C．，该项正确；
D．，该项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查整式的运算，掌握合并同类项、积的乘方、同底数幂相除、同底数幂相乘的法则是解题的关键．
10．（2022·浙江台州）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘除法法则以及积的乘方法则，幂的乘方法则，逐一判断选项即可．
【详解】
解：A． ，正确，该选项符合题意；
B． ，原计算错误，该选项不符合题意；
C． ，原计算错误，该选项不符合题意；
D． ，原计算错误，该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查同底数幂的乘除法以及积的乘方、幂的乘方，熟练掌握上述运算法则是解题的关键．
11．（2012·浙江温州）把多项式a²－4a分解因式，结果正确的是【 】
A．a (a-4) B．(a+2)(a-2) C．a(a+2)( a-2) D．(a－2 ) ²－4
【答案】A
【解析】
【详解】
直接提取公因式a即可：a2－4a=a（a－4）．故选A
12．（2022·浙江宁波）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据合并同类项判断A选项；根据同底数幂的除法判断B选项；根据幂的乘方判断C选项；根据同底数幂的乘法判断D选项．
【详解】
解：A选项，a3与a不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B选项，原式=a4，故该选项不符合题意；
C选项，原式=a6，故该选项不符合题意；
D选项，原式=a4，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握am•an=am+n是解题的关键．
13．（2021·浙江台州）将x克含糖10的糖水与y克含糖30的糖水混合，混合后的糖水含糖（ ）
A．20 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出两份糖水中糖的重量，再除以混合之后的糖水总重，即可求解．
【详解】
解：混合之后糖的含量：，
故选：D．
【点睛】
本题考查列代数式，理解题意是解题的关键．
14．（2021·浙江宁波）计算 的结果是（ ）
A．a2 B．-a2 C．a4 D．-a4
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】
解：，
故选D．
【点睛】
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
15．（2022·浙江金华）计算的结果是（ ）
A．a B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法法则计算判断即可．
【详解】
∵ =，
故选D．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
16．（2022·浙江丽水）计算的正确结果是（ ）
A． B．a C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法法则进行运算，即可判定．
【详解】
解：，
故选：C．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握和运用同底数幂的乘法法则是解决本题的关键．
17．（2021·浙江衢州）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据幂的乘方，合并同类项，同底数的乘法，同底数幂的除法计算即可．
【详解】
解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了幂的乘方、合并同类项、同底数的乘法、同底数幂的除法的计算法则，熟练掌握以上运算法则是解决本题的关键．
18．（2021·浙江温州）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】D
【解析】
【分析】
分两部分求水费，一部分是前面17立方米的水费，另一部分是剩下的3立方米的水费，最后相加即可．
【详解】
解：∵20立方米中，前17立方米单价为a元，后面3立方米单价为（a+1.2）元，
∴应缴水费为17a+3（a+1.2）=20a+3.6（元），
故选：D．
【点睛】
本题考查的是阶梯水费的问题，解决本题的关键是理解其收费方式，能求出不同段的水费，本题较基础，重点考查了学生对该种计费方式的理解与计算方法等．
19．（2020·浙江宁波）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．（a3）2＝a5 C．a6÷a3＝a3 D．a2+a3＝a5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除及合并同类项法则逐一判断即可得．
【详解】
解：A、a3•a2＝a5，故此选项错误；
B、（a3）2＝a6，故此选项错误；
C、a6÷a3＝a3，正确；
D、a2+a3，不是同类项，不能合并，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除及合并同类项法则．
20．（2020·浙江衢州）计算（a2）3，正确结果是（ ）
A．a5 B．a6
C．a8 D．a9
【答案】B
【解析】
【详解】
由幂的乘方与积的乘方法则可知，（a2）3=a2×3=a6．
故选B．
21（2020·浙江杭州）（1+y）（1﹣y）＝（ ）
A．1+y2 B．﹣1﹣y2 C．1﹣y2 D．﹣1+y2
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用平方差公式计算得出答案．
【详解】
（1+y）（1﹣y）＝1﹣y2．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了平方差公式，熟练掌握公式的结构特征是解答此题的关键．
22．（2021·浙江金华）某超出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（ ）
A．先打九五折，再打九五折 B．先提价，再打六折
C．先提价，再降价 D．先提价，再降价
【答案】B
【解析】
【分析】
设原件为x元，根据调价方案逐一计算后，比较大小判断即可．
【详解】
设原件为x元，
∵先打九五折，再打九五折，
∴调价后的价格为0.95x×0.95=0.9025x元，
∵先提价，再打六折，
∴调价后的价格为1.5x×0.6=0.90x元，
∵先提价，再降价，
∴调价后的价格为1.3x×0.7=0.91x元，
∵先提价，再降价，
∴调价后的价格为1.25x×0.75=0.9375x元，
∵0.90x＜0.9025x＜0.91x＜0.9375x
故选B
【点睛】
本题考查了代数式，打折，有理数大小比较，准确列出符合题意的代数式，并能进行有理数大小的比较是解题的关键．
23．（2022年浙江宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．正方形纸片的面积 B．四边形的面积 C．的面积 D．的面积
【答案】C
【解析】
【分析】
设正方形纸片边长为x，小正方形EFGH边长为y，得到长方形的宽为x-y，用x、y表达出阴影部分的面积并化简，即得到关于x、y的已知条件，分别用x、y列出各选项中面积的表达式，判断根据已知条件能否求出，找到正确选项．
【详解】
根据题意可知，四边形EFGH是正方形，设正方形纸片边长为x，正方形EFGH边长为y，则长方形的宽为x-y，
所以图中阴影部分的面积=S正方形EFGH+2S△AEH+2S△DHG
=
=2xy，
所以根据题意，已知条件为xy的值，
A.正方形纸片的面积=x2，根据条件无法求出，不符合题意；
B.四边形EFGH的面积=y2， 根据条件无法求出，不符合题意；
C.的面积=，根据条件可以求出，符合题意；
D.的面积=，根据条件无法求出，不符合题意；
故选 C．
【点睛】
本题考查整式与图形的结合，熟练掌握正方形、长方形、三角形等各种形状的面积公式，能正确用字母列出各种图形的面积表达式是解题的关键．
二、填空题(共17小题)
24．（2022年浙江嘉兴）分解因式：m2－1＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】
利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】
解：m2－1＝
故答案为：
【点睛】
本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握“平方差公式的特点”是解本题的关键．
25．（2022年浙江台州仙居县九年级学期期中考模拟（一模）数学试题）因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平方差公式直接进行因式分解即可．
【详解】
解：
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查利用公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解决问题的关键．
26．（浙江台州2021年）因式分解：xyy2＝_____．
【答案】y(x-y)
【解析】
【分析】
根据提取公因式法，即可分解因式．
【详解】
解：原式= y(x-y)，
故答案是：y(x-y)．
【点睛】
本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法分解因式，是解题的关键．
27．（浙江温州2021年）分解因式：______．
【答案】##
【解析】
【分析】
原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【详解】
解：
=2（m2-9）
=2（m+3）（m-3）．
故答案为：2（m+3）（m-3）．
【点睛】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
28．（云南玉溪峨山县2020-2021学年八年级上学期期末数学试题）分解因式： ＝ ______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用提公因式法即可分解．
【详解】
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解．
29．（山西长治潞城区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题）分解因式：___________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用提公因式法进行因式分解．
【详解】
解：
故答案为：．
【点睛】
本题考查提公因式法因式分解，掌握提取公因式的技巧正确计算是解题关键．
30．（2020年云南德宏州盈江县九年级学业水平考试模拟监测数学试题）分解因式：= ___________ ．
【答案】
【解析】
【分析】
根据完全平方公式因式分解即可．
【详解】
解：=
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是因式分解，掌握利用完全平方公式因式分解是解决此题的关键．
31．（2020年浙江湖州）化简：＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】
先将分母因式分解，再根据分式的基本性质约分即可．
【详解】
＝
＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了分式的除法以及利用完全平方公式因式分解，解答本题的关键是掌握分式的基本性质以及因式分解的方法．
32．（2011年江苏连云港）分解因式：x2－9＝______．
【答案】(x＋3)(x－3)
【解析】
【详解】
解：x2-9=（x+3）（x-3），
故答案为：（x+3）（x-3）.
33．（2011年初中毕业升学考试（湖北咸宁卷）数学）分解因式：_____．
【答案】
【解析】
【分析】
直接根据平方差公式进行因式分解即可.
【详解】
，
故填
【点睛】
本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式.
34．（2022·浙江丽水）分解因式：_____．
【答案】a（a-2）
【解析】
【分析】
观察原式，找到公因式，提出即可得出答案．
【详解】
解：.
故答案为．
【点睛】
此题考查提公因式法，解题关键在于因式是否还能分解．
35．（2022·浙江宁波）分解因式：x2-2x+1=__________．
【答案】（x-1）2
【解析】
【详解】
由完全平方公式可得：
故答案为．
【点睛】
错因分析 容易题.失分原因是：①因式分解的方法掌握不熟练；②因式分解不彻底.
36．（2021·浙江宁波）分解因式：x2﹣3x＝_____．
【答案】x（x﹣3）##（x-3）x
【解析】
【分析】
利用提取公因式法计算即可．
【详解】
解：原式=x（x﹣3），
故答案为：x（x﹣3）．
【点睛】
本题考查提取公因式法因式分解，掌握公因式的定义，理解因式分解的基本方法是解题关键．
37．（2020年浙江杭州）设M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若M＝1，N＝2，则P＝_____．
【答案】﹣
【解析】
【分析】
根据完全平方公式得到（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4，两式相减即可求解．
【详解】
解：∵M＝x+y，N＝x﹣y，M＝1，N＝2，
∴（x+y）2＝1，（x﹣y）2＝4，
∴x2+2xy+y2＝1，＝x2﹣2xy+y2＝4，
两式相减得4xy＝﹣3，
解得xy＝﹣，
则P＝﹣．
故答案为：﹣．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．
38．（浙江衢州2020年）定义a※b=a（b+1），例如2※3=2×（3+1）=2×4=8．则（x﹣1）※x的结果为_____．
【答案】x2﹣1
【解析】
【分析】
根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可．
【详解】
解：根据题意得：
（x﹣1）※x=（x﹣1）（x+1）=x2﹣1．
故答案为：x2﹣1．
【点睛】
本题考查了平方差公式，实数的运算，理解题目中的运算方法是解题关键．
39．（浙江嘉兴2021年）观察下列等式：，，，…按此规律，则第个等式为__________________．
【答案】．
【解析】
【分析】
第一个底数是从1开始连续的自然数的平方，减去从0开始连续的自然数的平方，与从1开始连续的奇数相同，由此规律得出答案即可．
【详解】
解：∵，
，
，
…
∴第个等式为：
故答案是：．
【点睛】
本题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的关键．
40．（2022年浙江丽水）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形，已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.，且．
（1）若a，b是整数，则的长是___________；
（2）若代数式的值为零，则的值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
（1）根据图象表示出PQ即可；
（2）根据分解因式可得，继而求得，根据这四个矩形的面积都是5，可得，再进行变形化简即可求解．
【详解】
（1）①和②能够重合，③和④能够重合，，
，
故答案为：；
（2），
，
或，即（负舍）或
这四个矩形的面积都是5，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了代数式及其分式的化简求值，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的根据．
三、解答题(共12小题)
41．（2022年浙江宁波）计算
(1)计算：．
(2)解不等式组：
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据平方差公式和单项式乘多项式展开，合并同类项即可得出答案；
（2）分别解这两个不等式，根据不等式解集的规律即可得出答案．
(1)
解：原式
；
(2)
解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以原不等式组的解是．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，解一元一次不等式组，掌握同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．
42．（2022年浙江丽水）先化简，再求值：，其中．
【答案】；2
【解析】
【分析】
先利用平方差公式，单项式与多项式乘法化简，然后代入即可求解．
【详解】
当时，
原式．
【点睛】
本题考查了整式的化简求值，正确地把代数式化简是解题的关键．
43．（2020·浙江温州）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）2；（2）
【解析】
【分析】
（1）原式分别根据算术平方根的性质、绝对值的代数意义、非零数的零次幂的运算法则对各项进行化简后再进行加减运算即可；
（2）原式运用完全平方公式和单项式乘以多项式把括号展开后再合并同类项即可得到结果．
【详解】
（1）
=2-2+1+1
=2；
（2）
=
=
【点睛】
此题主要考查了实数的混合运算以及整式的混合运算，熟练运用运算法则是解答此题的关键．
44．（2021·浙江温州）（1）计算：．
（2）化简：．
【答案】（1）-6；（2）．
【解析】
【分析】
（1）直接利用有理数乘法法则以及绝对值的性质、二次根式的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算法则计算再合并即可得出答案．
【详解】
解：（1）
；
（2）
．
【点睛】
此题主要考查了实数运算、整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
45．（2020年浙江绍兴）（1）计算：﹣4cos45°+（﹣1）2020．
（2）化简：（x+y）2﹣x（x+2y）．
【答案】（1）1；（2）y2．
【解析】
【分析】
（1）先利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质化简，然后再计算即可；
（2）利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算法则进行计算即可．
【详解】
解：（1）原式＝2﹣4×+1
＝2﹣2+1
＝1；
（2）（x+y）2﹣x（x+2y）
＝x2+2xy+y2﹣x2﹣2xy
＝y2．
【点睛】
本题考查了实数的运算、特殊角的三角函数以及整式的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
46．（2021·浙江湖州）计算：．
【答案】
【解析】
【分析】
利用单项式乘多项式、平方差公式直接求解即可．
【详解】
解：原式
．
【点睛】
本题考查整式的乘法，掌握单项式乘多项式法则和平方差公式是解题的关键．
47．（浙江宁波2021年）（1）计算：．
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（１）根据平方差公式和完全平方公式进行多项式乘法，再将结果合并同类项即可；
（２）先解出①，得到，再解出②，得到，由大小小大中间取得到解集．
【详解】
解：（1）原式
．
（2）解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以原不等式组的解是．
【点睛】
本题主要考查了整式的混合运算和解不等式组，关键在于平方差公式、完全平方公式以及不等式基本性质的应用，特别注意不等式的基本性质3，不等号的方向要改变．
48．（2020·浙江嘉兴）（1）计算：（2020）0﹣+|﹣3|；
（2）化简：（a+2）（a﹣2）﹣a（a+1）．
【答案】（1）2；（2）﹣4﹣a
【解析】
【分析】
（1）直接利用零指数幂的性质和二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用平方差公式以及单项式乘以多项式计算得出答案．
【详解】
解：（1）（2020）0﹣+|﹣3|
＝1﹣2+3
＝2；
（2）（a+2）（a﹣2）﹣a（a+1）
＝a2﹣4﹣a2﹣a
＝﹣4﹣a．
【点睛】
本题主要考查了实数的运算，准确运用零指数幂、二次根式的性质和绝对值的性质是解题的关键．
49．（2020年浙江宁波）（1）计算：（a+1）2+a（2﹣a）．
（2）解不等式：3x﹣5＜2（2+3x）．
【答案】（1）4a+1；（2）x＞﹣3
【解析】
【分析】
（1）先根据完全平方公式计算前一项，再计算单项式乘以多项式，最后相加减即可；
（2）去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可．
【详解】
解：（1）
＝
＝；
（2）3x﹣5＜2（2+3x）
去括号得：3x﹣5＜4+6x，
移项得：3x﹣6x＜4+5，
合并同类项：﹣3x＜9，
系数化1得：x＞﹣3．
【点睛】
本题考查整式的混合运算、解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则和解一元一次不等式的步骤．
50．（浙江金华2021年）已知，求的值．
【答案】1
【解析】
【分析】
直接利用完全平方差公式展开及平方差公式展开后，合并同类项化简，再将代入进去计算．
【详解】
解：原式
当时，原式．
故答案是：1．
【点睛】
本题考查了代数式的化简求值，解题的关键是：先利用完全平方差公式，平方差公式，合并同类项运算法则化简，然后代值计算．
51．（浙江舟山2020年）比较x2+1与2x的大小．
（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：
①当x＝1时，x2+1 2x；
②当x＝0时，x2+1 2x；
③当x＝﹣2时，x2+1 2x．
（2）归纳：若x取任意实数，x2+1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．
【答案】（1）①=；②>；③>；（2）x2+1≥2x，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；
（2）根据完全平方公式，可得答案．
【详解】
解：（1）①当x＝1时，x2+1＝2x；
②当x＝0时，x2+1＞2x；
③当x＝﹣2时，x2+1＞2x．
故答案为：＝；＞；＞．
（2）x2+1≥2x．
证明：∵x2+1﹣2x＝（x﹣1）2≥0，
∴x2+1≥2x．
【点睛】
本题考查了求代数式的值，有理数的大小比较，两个整式大小比较及证明，公式法因式分解、不完全归纳法，解题关键是理解根据“A-B”的符号比较“A、B”的大小．
52．（2022年浙江金华）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
(2)当时，该小正方形的面积是多少？
【答案】(1)
(2)36
【解析】
【分析】
（1）分别算出直角三角形较长的直角边和较短的直角边，再用较长的直角边减去较短的直角边即可得到小正方形面积；
（2）根据（1）所得的小正方形边长，可以写出小正方形的面积代数式，再将a的值代入即可．
(1)
解：∵直角三角形较短的直角边，
较长的直角边，
∴小正方形的边长；
(2)
解：，
当时，．
【点睛】
本题考查割补思想，属性结合思想，以及整式的运算，能够熟练掌握割补思想是解决本题的关键．
53．（2022年浙江嘉兴）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．
(1)尝试：
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1225＝ ；
……
(2)归纳：与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由．
(3)运用：若与100a的差为2525，求a的值．
【答案】(1)③；
(2)相等，证明见解析；
(3)
【解析】
【分析】
（1）③仔细观察①②的提示，再用含有相同规律的代数式表示即可；
（2）由再计算100a(a＋1)＋25，从而可得答案；
（3）由与100a的差为2525，列方程，整理可得再利用平方根的含义解方程即可．
(1)
解：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1225＝；
(2)
解：相等，理由如下：
100a(a＋1)＋25=
(3)
与100a的差为2525，
整理得： 即
解得：
1≤a≤9，
【点睛】
本题考查的是数字的规律探究，完全平方公式的应用，单项式乘以多项式，利用平方根的含义解方程，理解题意，列出运算式或方程是解本题的关键．
专题02 整式乘法与因式分解
一、单选题(共23小题)
1．（2021·浙江衢州））下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平方差公式的定义判断即可；
【详解】
、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；
、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；
、原式，能利用平方差公式进行因式分解，符合题意；
、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意，
故选：．
【点睛】
本题主要考查了平方差公式的应用，准确判断是解题的关键．
2．（2022·浙江嘉兴）计算a2·a（ ）
A．a B．3a C．2a2 D．a3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法法则进行运算即可．
【详解】
解：
故选D
【点睛】
本题考查的是同底数幂的乘法，掌握“同底数幂的乘法，底数不变，指数相加”是解本题的关键．
3．（2022·浙江湖州）下列各式的运算，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方分别计算，对各项进行判断即可．
【详解】
解：A、a2和a3不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B、原计算错误，故该选项不符合题意；
C、a3和a不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
D、正确，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方，掌握相关运算法则是解题的关键．
4．（2021·浙江台州）已知（a＋b）2＝49，a2＋b2＝25，则ab＝（ ）
A．24 B．48 C．12 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用完全平方公式计算即可．
【详解】
解：∵，，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查整体法求代数式的值，掌握完全平方公式是解题的关键．
5．（2020·浙江台州）计算2a2·3a4的结果是（ ）
A．5a6 B．5a8 C．6a6 D．6a8
【答案】C
【解析】
【分析】
按照单项式与单项式相乘的运算法则求解即可.
【详解】
解：由题意知：2a2·3a4=6a2+4=6a6.
故答案为：C.
【点睛】
本题考查了单项式与单项式的乘法，其运算法则为：数字与数字相乘，字母为同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
6．（2022·浙江温州）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简乘方，再利用单项式乘单项式的法则进行计算即可．
【详解】
解：，
故选：D．
【点睛】
本题考查单项式乘单项式，掌握单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是解题的关键．
7．（2021·浙江杭州）因式分解：（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平方差公式因式分解即可．
【详解】
解：，
故选：A．
【点睛】
本题考查利用平方差公式进行因式分解，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
8．（2022·浙江绍兴）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据多项式除以单项式、同底数幂的乘法、完全平方公式、幂的乘方法则逐项判断即可．
【详解】
解：A、，原式计算正确；
B、，原式计算错误；
C、，原式计算错误；
D、，原式计算错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查了多项式除以单项式、同底数幂的乘法、完全平方公式和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
9．（2021·浙江台州）下列运算中，正确的是（ ）
A．a2＋a＝a3 B．（ab）2＝ab2 C．a5÷a2＝a3 D．a5・a2＝a10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据合并同类项、积的乘方、同底数幂相除、同底数幂相乘的法则分别计算即可．
【详解】
解：A．与a不是同类项，不能合并，故该项错误；
B．，故该项错误；
C．，该项正确；
D．，该项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查整式的运算，掌握合并同类项、积的乘方、同底数幂相除、同底数幂相乘的法则是解题的关键．
10．（2022·浙江台州）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘除法法则以及积的乘方法则，幂的乘方法则，逐一判断选项即可．
【详解】
解：A． ，正确，该选项符合题意；
B． ，原计算错误，该选项不符合题意；
C． ，原计算错误，该选项不符合题意；
D． ，原计算错误，该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查同底数幂的乘除法以及积的乘方、幂的乘方，熟练掌握上述运算法则是解题的关键．
11．（2012·浙江温州）把多项式a²－4a分解因式，结果正确的是【 】
A．a (a-4) B．(a+2)(a-2) C．a(a+2)( a-2) D．(a－2 ) ²－4
【答案】A
【解析】
【详解】
直接提取公因式a即可：a2－4a=a（a－4）．故选A
12．（2022·浙江宁波）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据合并同类项判断A选项；根据同底数幂的除法判断B选项；根据幂的乘方判断C选项；根据同底数幂的乘法判断D选项．
【详解】
解：A选项，a3与a不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B选项，原式=a4，故该选项不符合题意；
C选项，原式=a6，故该选项不符合题意；
D选项，原式=a4，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握am•an=am+n是解题的关键．
13．（2021·浙江台州）将x克含糖10的糖水与y克含糖30的糖水混合，混合后的糖水含糖（ ）
A．20 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出两份糖水中糖的重量，再除以混合之后的糖水总重，即可求解．
【详解】
解：混合之后糖的含量：，
故选：D．
【点睛】
本题考查列代数式，理解题意是解题的关键．
14．（2021·浙江宁波）计算 的结果是（ ）
A．a2 B．-a2 C．a4 D．-a4
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】
解：，
故选D．
【点睛】
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
15．（2022·浙江金华）计算的结果是（ ）
A．a B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法法则计算判断即可．
【详解】
∵ =，
故选D．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
16．（2022·浙江丽水）计算的正确结果是（ ）
A． B．a C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法法则进行运算，即可判定．
【详解】
解：，
故选：C．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握和运用同底数幂的乘法法则是解决本题的关键．
17．（2021·浙江衢州）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据幂的乘方，合并同类项，同底数的乘法，同底数幂的除法计算即可．
【详解】
解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了幂的乘方、合并同类项、同底数的乘法、同底数幂的除法的计算法则，熟练掌握以上运算法则是解决本题的关键．
18．（2021·浙江温州）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】D
【解析】
【分析】
分两部分求水费，一部分是前面17立方米的水费，另一部分是剩下的3立方米的水费，最后相加即可．
【详解】
解：∵20立方米中，前17立方米单价为a元，后面3立方米单价为（a+1.2）元，
∴应缴水费为17a+3（a+1.2）=20a+3.6（元），
故选：D．
【点睛】
本题考查的是阶梯水费的问题，解决本题的关键是理解其收费方式，能求出不同段的水费，本题较基础，重点考查了学生对该种计费方式的理解与计算方法等．
19．（2020·浙江宁波）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．（a3）2＝a5 C．a6÷a3＝a3 D．a2+a3＝a5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除及合并同类项法则逐一判断即可得．
【详解】
解：A、a3•a2＝a5，故此选项错误；
B、（a3）2＝a6，故此选项错误；
C、a6÷a3＝a3，正确；
D、a2+a3，不是同类项，不能合并，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除及合并同类项法则．
20．（2020·浙江衢州）计算（a2）3，正确结果是（ ）
A．a5 B．a6
C．a8 D．a9
【答案】B
【解析】
【详解】
由幂的乘方与积的乘方法则可知，（a2）3=a2×3=a6．
故选B．
21（2020·浙江杭州）（1+y）（1﹣y）＝（ ）
A．1+y2 B．﹣1﹣y2 C．1﹣y2 D．﹣1+y2
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用平方差公式计算得出答案．
【详解】
（1+y）（1﹣y）＝1﹣y2．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了平方差公式，熟练掌握公式的结构特征是解答此题的关键．
22．（2021·浙江金华）某超出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（ ）
A．先打九五折，再打九五折 B．先提价，再打六折
C．先提价，再降价 D．先提价，再降价
【答案】B
【解析】
【分析】
设原件为x元，根据调价方案逐一计算后，比较大小判断即可．
【详解】
设原件为x元，
∵先打九五折，再打九五折，
∴调价后的价格为0.95x×0.95=0.9025x元，
∵先提价，再打六折，
∴调价后的价格为1.5x×0.6=0.90x元，
∵先提价，再降价，
∴调价后的价格为1.3x×0.7=0.91x元，
∵先提价，再降价，
∴调价后的价格为1.25x×0.75=0.9375x元，
∵0.90x＜0.9025x＜0.91x＜0.9375x
故选B
【点睛】
本题考查了代数式，打折，有理数大小比较，准确列出符合题意的代数式，并能进行有理数大小的比较是解题的关键．
23．（2022年浙江宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．正方形纸片的面积 B．四边形的面积 C．的面积 D．的面积
【答案】C
【解析】
【分析】
设正方形纸片边长为x，小正方形EFGH边长为y，得到长方形的宽为x-y，用x、y表达出阴影部分的面积并化简，即得到关于x、y的已知条件，分别用x、y列出各选项中面积的表达式，判断根据已知条件能否求出，找到正确选项．
【详解】
根据题意可知，四边形EFGH是正方形，设正方形纸片边长为x，正方形EFGH边长为y，则长方形的宽为x-y，
所以图中阴影部分的面积=S正方形EFGH+2S△AEH+2S△DHG
=
=2xy，
所以根据题意，已知条件为xy的值，
A.正方形纸片的面积=x2，根据条件无法求出，不符合题意；
B.四边形EFGH的面积=y2， 根据条件无法求出，不符合题意；
C.的面积=，根据条件可以求出，符合题意；
D.的面积=，根据条件无法求出，不符合题意；
故选 C．
【点睛】
本题考查整式与图形的结合，熟练掌握正方形、长方形、三角形等各种形状的面积公式，能正确用字母列出各种图形的面积表达式是解题的关键．
二、填空题(共17小题)
24．（2022年浙江嘉兴）分解因式：m2－1＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】
利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】
解：m2－1＝
故答案为：
【点睛】
本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握“平方差公式的特点”是解本题的关键．
25．（2022年浙江台州仙居县九年级学期期中考模拟（一模）数学试题）因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平方差公式直接进行因式分解即可．
【详解】
解：
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查利用公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解决问题的关键．
26．（浙江台州2021年）因式分解：xyy2＝_____．
【答案】y(x-y)
【解析】
【分析】
根据提取公因式法，即可分解因式．
【详解】
解：原式= y(x-y)，
故答案是：y(x-y)．
【点睛】
本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法分解因式，是解题的关键．
27．（浙江温州2021年）分解因式：______．
【答案】##
【解析】
【分析】
原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【详解】
解：
=2（m2-9）
=2（m+3）（m-3）．
故答案为：2（m+3）（m-3）．
【点睛】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
28．（云南玉溪峨山县2020-2021学年八年级上学期期末数学试题）分解因式： ＝ ______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用提公因式法即可分解．
【详解】
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解．
29．（山西长治潞城区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题）分解因式：___________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用提公因式法进行因式分解．
【详解】
解：
故答案为：．
【点睛】
本题考查提公因式法因式分解，掌握提取公因式的技巧正确计算是解题关键．
30．（2020年云南德宏州盈江县九年级学业水平考试模拟监测数学试题）分解因式：= ___________ ．
【答案】
【解析】
【分析】
根据完全平方公式因式分解即可．
【详解】
解：=
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是因式分解，掌握利用完全平方公式因式分解是解决此题的关键．
31．（2020年浙江湖州）化简：＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】
先将分母因式分解，再根据分式的基本性质约分即可．
【详解】
＝
＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了分式的除法以及利用完全平方公式因式分解，解答本题的关键是掌握分式的基本性质以及因式分解的方法．
32．（2011年江苏连云港）分解因式：x2－9＝______．
【答案】(x＋3)(x－3)
【解析】
【详解】
解：x2-9=（x+3）（x-3），
故答案为：（x+3）（x-3）.
33．（2011年初中毕业升学考试（湖北咸宁卷）数学）分解因式：_____．
【答案】
【解析】
【分析】
直接根据平方差公式进行因式分解即可.
【详解】
，
故填
【点睛】
本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式.
34．（2022·浙江丽水）分解因式：_____．
【答案】a（a-2）
【解析】
【分析】
观察原式，找到公因式，提出即可得出答案．
【详解】
解：.
故答案为．
【点睛】
此题考查提公因式法，解题关键在于因式是否还能分解．
35．（2022·浙江宁波）分解因式：x2-2x+1=__________．
【答案】（x-1）2
【解析】
【详解】
由完全平方公式可得：
故答案为．
【点睛】
错因分析 容易题.失分原因是：①因式分解的方法掌握不熟练；②因式分解不彻底.
36．（2021·浙江宁波）分解因式：x2﹣3x＝_____．
【答案】x（x﹣3）##（x-3）x
【解析】
【分析】
利用提取公因式法计算即可．
【详解】
解：原式=x（x﹣3），
故答案为：x（x﹣3）．
【点睛】
本题考查提取公因式法因式分解，掌握公因式的定义，理解因式分解的基本方法是解题关键．
37．（2020年浙江杭州）设M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若M＝1，N＝2，则P＝_____．
【答案】﹣
【解析】
【分析】
根据完全平方公式得到（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4，两式相减即可求解．
【详解】
解：∵M＝x+y，N＝x﹣y，M＝1，N＝2，
∴（x+y）2＝1，（x﹣y）2＝4，
∴x2+2xy+y2＝1，＝x2﹣2xy+y2＝4，
两式相减得4xy＝﹣3，
解得xy＝﹣，
则P＝﹣．
故答案为：﹣．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．
38．（浙江衢州2020年）定义a※b=a（b+1），例如2※3=2×（3+1）=2×4=8．则（x﹣1）※x的结果为_____．
【答案】x2﹣1
【解析】
【分析】
根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可．
【详解】
解：根据题意得：
（x﹣1）※x=（x﹣1）（x+1）=x2﹣1．
故答案为：x2﹣1．
【点睛】
本题考查了平方差公式，实数的运算，理解题目中的运算方法是解题关键．
39．（浙江嘉兴2021年）观察下列等式：，，，…按此规律，则第个等式为__________________．
【答案】．
【解析】
【分析】
第一个底数是从1开始连续的自然数的平方，减去从0开始连续的自然数的平方，与从1开始连续的奇数相同，由此规律得出答案即可．
【详解】
解：∵，
，
，
…
∴第个等式为：
故答案是：．
【点睛】
本题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的关键．
40．（2022年浙江丽水）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形，已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.，且．
（1）若a，b是整数，则的长是___________；
（2）若代数式的值为零，则的值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
（1）根据图象表示出PQ即可；
（2）根据分解因式可得，继而求得，根据这四个矩形的面积都是5，可得，再进行变形化简即可求解．
【详解】
（1）①和②能够重合，③和④能够重合，，
，
故答案为：；
（2），
，
或，即（负舍）或
这四个矩形的面积都是5，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了代数式及其分式的化简求值，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的根据．
三、解答题(共12小题)
41．（2022年浙江宁波）计算
(1)计算：．
(2)解不等式组：
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据平方差公式和单项式乘多项式展开，合并同类项即可得出答案；
（2）分别解这两个不等式，根据不等式解集的规律即可得出答案．
(1)
解：原式
；
(2)
解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以原不等式组的解是．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，解一元一次不等式组，掌握同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．
42．（2022年浙江丽水）先化简，再求值：，其中．
【答案】；2
【解析】
【分析】
先利用平方差公式，单项式与多项式乘法化简，然后代入即可求解．
【详解】
当时，
原式．
【点睛】
本题考查了整式的化简求值，正确地把代数式化简是解题的关键．
43．（2020·浙江温州）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）2；（2）
【解析】
【分析】
（1）原式分别根据算术平方根的性质、绝对值的代数意义、非零数的零次幂的运算法则对各项进行化简后再进行加减运算即可；
（2）原式运用完全平方公式和单项式乘以多项式把括号展开后再合并同类项即可得到结果．
【详解】
（1）
=2-2+1+1
=2；
（2）
=
=
【点睛】
此题主要考查了实数的混合运算以及整式的混合运算，熟练运用运算法则是解答此题的关键．
44．（2021·浙江温州）（1）计算：．
（2）化简：．
【答案】（1）-6；（2）．
【解析】
【分析】
（1）直接利用有理数乘法法则以及绝对值的性质、二次根式的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算法则计算再合并即可得出答案．
【详解】
解：（1）
；
（2）
．
【点睛】
此题主要考查了实数运算、整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
45．（2020年浙江绍兴）（1）计算：﹣4cos45°+（﹣1）2020．
（2）化简：（x+y）2﹣x（x+2y）．
【答案】（1）1；（2）y2．
【解析】
【分析】
（1）先利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质化简，然后再计算即可；
（2）利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算法则进行计算即可．
【详解】
解：（1）原式＝2﹣4×+1
＝2﹣2+1
＝1；
（2）（x+y）2﹣x（x+2y）
＝x2+2xy+y2﹣x2﹣2xy
＝y2．
【点睛】
本题考查了实数的运算、特殊角的三角函数以及整式的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
46．（2021·浙江湖州）计算：．
【答案】
【解析】
【分析】
利用单项式乘多项式、平方差公式直接求解即可．
【详解】
解：原式
．
【点睛】
本题考查整式的乘法，掌握单项式乘多项式法则和平方差公式是解题的关键．
47．（浙江宁波2021年）（1）计算：．
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（１）根据平方差公式和完全平方公式进行多项式乘法，再将结果合并同类项即可；
（２）先解出①，得到，再解出②，得到，由大小小大中间取得到解集．
【详解】
解：（1）原式
．
（2）解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以原不等式组的解是．
【点睛】
本题主要考查了整式的混合运算和解不等式组，关键在于平方差公式、完全平方公式以及不等式基本性质的应用，特别注意不等式的基本性质3，不等号的方向要改变．
48．（2020·浙江嘉兴）（1）计算：（2020）0﹣+|﹣3|；
（2）化简：（a+2）（a﹣2）﹣a（a+1）．
【答案】（1）2；（2）﹣4﹣a
【解析】
【分析】
（1）直接利用零指数幂的性质和二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用平方差公式以及单项式乘以多项式计算得出答案．
【详解】
解：（1）（2020）0﹣+|﹣3|
＝1﹣2+3
＝2；
（2）（a+2）（a﹣2）﹣a（a+1）
＝a2﹣4﹣a2﹣a
＝﹣4﹣a．
【点睛】
本题主要考查了实数的运算，准确运用零指数幂、二次根式的性质和绝对值的性质是解题的关键．
49．（2020年浙江宁波）（1）计算：（a+1）2+a（2﹣a）．
（2）解不等式：3x﹣5＜2（2+3x）．
【答案】（1）4a+1；（2）x＞﹣3
【解析】
【分析】
（1）先根据完全平方公式计算前一项，再计算单项式乘以多项式，最后相加减即可；
（2）去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可．
【详解】
解：（1）
＝
＝；
（2）3x﹣5＜2（2+3x）
去括号得：3x﹣5＜4+6x，
移项得：3x﹣6x＜4+5，
合并同类项：﹣3x＜9，
系数化1得：x＞﹣3．
【点睛】
本题考查整式的混合运算、解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则和解一元一次不等式的步骤．
50．（浙江金华2021年）已知，求的值．
【答案】1
【解析】
【分析】
直接利用完全平方差公式展开及平方差公式展开后，合并同类项化简，再将代入进去计算．
【详解】
解：原式
当时，原式．
故答案是：1．
【点睛】
本题考查了代数式的化简求值，解题的关键是：先利用完全平方差公式，平方差公式，合并同类项运算法则化简，然后代值计算．
51．（浙江舟山2020年）比较x2+1与2x的大小．
（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：
①当x＝1时，x2+1 2x；
②当x＝0时，x2+1 2x；
③当x＝﹣2时，x2+1 2x．
（2）归纳：若x取任意实数，x2+1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．
【答案】（1）①=；②>；③>；（2）x2+1≥2x，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；
（2）根据完全平方公式，可得答案．
【详解】
解：（1）①当x＝1时，x2+1＝2x；
②当x＝0时，x2+1＞2x；
③当x＝﹣2时，x2+1＞2x．
故答案为：＝；＞；＞．
（2）x2+1≥2x．
证明：∵x2+1﹣2x＝（x﹣1）2≥0，
∴x2+1≥2x．
【点睛】
本题考查了求代数式的值，有理数的大小比较，两个整式大小比较及证明，公式法因式分解、不完全归纳法，解题关键是理解根据“A-B”的符号比较“A、B”的大小．
52．（2022年浙江金华）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
(2)当时，该小正方形的面积是多少？
【答案】(1)
(2)36
【解析】
【分析】
（1）分别算出直角三角形较长的直角边和较短的直角边，再用较长的直角边减去较短的直角边即可得到小正方形面积；
（2）根据（1）所得的小正方形边长，可以写出小正方形的面积代数式，再将a的值代入即可．
(1)
解：∵直角三角形较短的直角边，
较长的直角边，
∴小正方形的边长；
(2)
解：，
当时，．
【点睛】
本题考查割补思想，属性结合思想，以及整式的运算，能够熟练掌握割补思想是解决本题的关键．
53．（2022年浙江嘉兴）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．
(1)尝试：
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1225＝ ；
……
(2)归纳：与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由．
(3)运用：若与100a的差为2525，求a的值．
【答案】(1)③；
(2)相等，证明见解析；
(3)
【解析】
【分析】
（1）③仔细观察①②的提示，再用含有相同规律的代数式表示即可；
（2）由再计算100a(a＋1)＋25，从而可得答案；
（3）由与100a的差为2525，列方程，整理可得再利用平方根的含义解方程即可．
(1)
解：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1225＝；
(2)
解：相等，理由如下：
100a(a＋1)＋25=
(3)
与100a的差为2525，
整理得： 即
解得：
1≤a≤9，
【点睛】
本题考查的是数字的规律探究，完全平方公式的应用，单项式乘以多项式，利用平方根的含义解方程，理解题意，列出运算式或方程是解本题的关键．
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