课后素养落实(四)　排列数的应用

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．某种产品的加工需要经过5道工序，其中有两道工序既不能放在最前面，也不能放在最后面，则这种产品的加工排列顺序的方法数为(　　)

A．72   B．36

C．24   D．12

B　[由题意，某种产品的加工需要经过5道工序，其中有2道工序既不能放在最前面，也不能放在最后面，则这2道工序，共有A＝6种不同的排列方法，剩余的3道工序，共有A＝6种不同的排列方法，由分步乘法计数原理，可得加工这种产品的工序排列方法种数为6×6＝36．]

2．某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有(　　)

A．6种   B．9种

C．18种   D．24种

C　[先排体育有A种，再排其他的三科有A种，共有A·A＝18(种)．]

3．从2,4中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　)

A．6　　   B．12

C．18　　   D．24

D　[先从2,4中选一个数字，有2种选法；再从1,3,5中选两个数字并排列，有A种选法；最后将从2,4中选出的一个数字放在十位或百位的位置，有2种放法．综上所述，奇数的个数为2×A×2＝24．]

4．将甲、乙、丙等六位同学排成一排，且甲、乙在丙的两侧，则不同的排法种数为(　　)

A．480　　   B．360

C．120　　   D．240

D　[甲、乙、丙等六位同学进行全排可得有A＝720(种)，甲、乙、丙的排列有A＝6(种)，因为甲、乙在丙的两侧，所以可能为甲丙乙或乙丙甲，所以不同的排法种数共有2×＝240(种)．故选D．]

5．生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排1人，则不同的安排方案共有(　　)

A．24种   B．36种

C．48种   D．72种

B　[分类完成：第1类，若甲在第一道工序，则丙必在第四道工序，其余两道工序无限制，有A种排法；

第2类，若甲不在第一道工序(此时乙一定在第一道工序)，则第四道工序有2种排法，其余两道工序有A种排法，有2A种排法．

由分类加法计数原理，共有A＋2A＝36种不同的安排方案．]

二、填空题

6．我国古代将“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团计划开展“六艺”讲座活动，要求活动当天每艺安排一节，连排6节，且“数”必须排在第3节，“射”和“御”相邻，则不同的安排顺序共有________种．

36　[分析可知“数”排在第3节，且“射”和“御”相邻时，有3A种排法，再将“礼”“乐”“书”安排在剩下的3节，有A种排法，所以不同的安排顺序共有3AA＝36(种)．]

7．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的活动．若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译活动，则选派方案共有________种．

240　[翻译活动是特殊位置优先考虑，有4种选法(除甲、乙外)，其余活动共有A种选法，由分步乘法计数原理知共有4×A＝240种选派方案．]

8．两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．

24　[分3步进行分析，①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A＝2种排法，

②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A＝2种排法，

③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A＝6种排法．

则共有2×2×6＝24种排法．]

三、解答题

9．用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有多少个？

[解]　第1类，个位数字是2，首位可排3,4,5之一，有A种排法，排其余数字有A种排法，所以有AA个数；

第2类，个位数字是4，有AA个数；

第3类，个位数字是0，首位可排2,3,4,5之一，有A种排法，排其余数字有A种排法，所以有AA个数．

由分类加法计数原理，可得共有2AA＋AA＝240个数．

10．有红、蓝、黄、绿四种颜色的球各6个，每种颜色的6个球分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中任取3个标号不同的球，求颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数．

[解]　所标数字互不相邻的方法有135,136,146,246，共4种方法．3个球颜色互不相同有A＝4×3×2×1＝24种，所以这3个球颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数有4×24＝96种．

1．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有(　　)

A．10种   B．12种

C．9种   D．8种

B　[先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A种不同的排法．

再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．

因此共有A·A·1＝12(种)不同的排列方法．]

2．某诗词大会共设有十场比赛，每场比赛都有一首特别设计的开场诗词．若将《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有(　　)

A．144种   B．48种

C．36种   D．72种

C　[将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列有A＝6种排法，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在除最后一个空外的3个空里，有A＝6种排法，则后六场开场诗词的排法有6×6＝36(种)，故选C．]

3．某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法共有________种．

24　[甲、乙作为元素集团，内部有A种排法，“甲、乙”元素集团与“戊”全排列有A种排法．将丙、丁插在3个空中有A种方法．所以由分步乘法计数原理，共有AAA＝24种排法．]

4．六个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法数为________；若三个空车位不连在一起，则停放的方法数为________．

24　96　[把3个空位看作一个元素，与3辆汽车共有4个元素全排列，故停放的方法有A＝4×3×2×1＝24种．不考虑任何限制，共有＝120种不同放车方法，若三个空车位不连在一起，则共有120－24＝96种停放方法．]

用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数．

(1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数；

(2)在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301,423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；

(3)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．

[解]　(1)将所有的三位偶数分为两类：

①若个位数为0，则共有A＝12个；

②若个位数为2或4，则共有2×3×3＝18个．

所以共有30个符合题意的三位偶数．

(2)将这些“凹数”分为三类：

①若十位数字为0，则共有A＝12个；

②若十位数字为1，则共有A＝6个；

③若十位数字为2，则共有A＝2个，

所以共有20个符合题意的“凹数”．

(3)将符合题意的五位数分为三类：

①若两个奇数数字在一、三位置，则共有A·A＝12个；

②若两个奇数数字在二、四位置，则共有A·A·A＝8个；

③若两个奇数数字在三、五位置，则共有A·A·A＝8个．

所以共有28个符合题意的五位数．