课后素养落实(六)　组合数的性质及应用

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有(　　)

A．C种　 B．A种

C．AA种   D．CC种

D　[每个被选的人都无顺序差别，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有C种选法；第二步，选男工，有C种选法．故共有CC种不同的选法．]

2．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有(　　)

A．140种    B．84种  C．70种    D．35种

C　[可分两类：第一类，甲型1台、乙型2台，有C·C＝4×10＝40(种)取法，第二类，甲型2台、乙型1台，有C·C＝6×5＝30(种)取法，共有70种不同的取法．]

3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为(　　)

A．14    B．24  C．28    D．48

A　[用间接法得不同选法有C－1＝14种，故选A．]

4．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，则以正方体ABCD­EFGH的顶点为顶点的“鳖臑”的个数为(　　)

A．12    B．24  C．48    D．58

B　[如图，当顶点为A时，三棱锥A­EHG，A­EFG，A­DCG，A­DHG，A­BCG，A­BFG为“鳖臑”，所以8个顶点共8×6＝48个．

但每个“鳖臑”都重复一次，再除以2，所以个数为24．]

5．将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为(　　)

A．120    B．240  C．360    D．720

B　[先选出3个球有C＝120种方法，不妨设为1,2,3号球，则1,2,3号盒中能放的球为2,3,1或3,1,2两种．这3个号码放入标号不一致的盒子中有2种不同的方法，故共有120×2＝240种方法．]

二、填空题

6．若C＝C，则C＝________．

190　[由C＝C可知n＝20．

∴C＝C＝＝190．]

7．某球队有2名队长和10名队员，现选派6人上场参加比赛，如果场上最少有1名队长，那么共有________种不同的选法．

714　[若只有1名队长入选，则选法种数为C·C；若两名队长均入选，则选法种数为C，故不同选法有C·C＋C＝714(种)．]

8．现有6张风景区门票分配给6位游客，若其中A，B风景区门票各2张，C，D风景区门票各1张，则不同的分配方案共有________种．

180　[6位游客选2人去A风景区，有C种，余下4位游客选2人去B风景区，有C种，余下2人去C，D风景区，有A种，所以分配方案共有CCA＝180(种)．]

三、解答题

9．车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，问有多少种选派方法．

[解]　法一：设A，B代表两名老师傅．

A，B都不在内的选派方法有：

C·C＝5(种)；

A，B都在内且当钳工的选派方法有：

C·C·C＝10(种)；

A，B都在内且当车工的选派方法有：

C·C·C＝30(种)；

A，B都在内，一人当钳工，一人当车工的选派方法有：

C·A·C·C＝80(种)；

A，B有一人在内且当钳工的选派方法有：

C·C·C＝20(种)；

A，B有一人在内且当车工的选派方法有：

C·C·C＝40(种)．

所以共有C·C＋C·C·C＋C·C·C＋C·A·C·C＋C·C·C＋C·C·C＝185(种)选派方法．

法二：5名钳工有4名被选上的方法有：

C·C＝75(种)；

5名钳工有3名被选上的方法有：

C·C·C＝100(种)；

5名钳工有2名被选上的方法有：C·C·C＝10(种)．所以一共有75＋100＋10＝185(种)选派方法．

10．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？

(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；

(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；

(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球．

[解]　(1)每个小球都有4种放法，根据分步乘法计数原理，共有46＝4 096种不同放法．

(2)分两类：第1类，6个小球分3,1,1,1放入盒中；第2类，6个小球分2,2,1,1放入盒中，共有C·C·A＋C·C·A＝1 560(种)不同放法．

(3)法一：按3,1,1,1放入有C种方法，按2,2,1,1放入有C种方法，共有C＋C＝10(种)不同放法．

法二：(挡板法)在6个球之间的5个空中插入三个挡板，将6个球分成四份，共有C＝10(种)不同放法．

1．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为(　　)

A．360    B．520  C．600    D．720

C　[分两类：第一类，甲、乙中只有一人参加，则有CCA＝2×10×24＝480种选法．

第二类，甲、乙都参加时，则有C(A－AA)＝10×(24－12)＝120种选法．

所以共有480＋120＝600种选法．]

2．(多选题)将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法，下列结论正确的有(　　)

A．CCCC   B．CA

C．CCA   D．18

BC　[根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，有2种解法：

法一：分2步进行分析：

①先将四个不同的小球分成3组，有C种分组方法；

②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A种放法；

则没有空盒的放法有CA种；故选B．

法二：分2步进行分析：

①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有CC种情况；

②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有A种放法；

则没有空盒的放法有CCA种；故选C．综上，BC正确．]

3．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有________种．

112　[每个宿舍至少2名学生，故甲宿舍安排的人数可以为2人，3人，4人，5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定，所以有C＋C＋C＋C＝112种分配方案．]

4．在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行，它们共能构成________个平行四边形，共有________个交点．

1 260　80　[第一组中每两条与另一组中的每两条直线均能构成一个平行四边形，故共有CC＝1 260(个)．第一组中每条直线与另一组中每条直线均有一个交点，所以共有CC＝80(个)．]

如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4．

(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含点C1的有多少个？

(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个为顶点，可作出多少个四边形？

[解]　(1)法一：可作出三角形C＋C·C＋C·C＝116个．

法二：可作三角形C－C＝116个．

其中以C1为顶点的三角形有C＋C·C＋C＝36个．

(2)可作出四边形C＋C·C＋C·C＝360个．3.2　数学探究活动：生日悖论的解释与模拟(略)