课后素养落实(七)　二项式定理

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于(　　)

A．(x－1)3 B．(x－2)3

C．x3   D．(x＋1)3

C　[S＝[(x－1)＋1]3＝x3．]

2．已知 的展开式的第4项等于5，则x等于(　　)

A．　　　    B．－     C．7　　　    D．－7

B　[T4＝Cx4＝5，则x＝－．]

3．(x－y)10的展开式中x6y4的系数是(　　)

A．－840   B．840

C．210   D．－210

B　[在通项公式Tk＋1＝C(－y)kx10－k中，令k＝4，得x6y4的系数为C(－)4＝840．]

4．使 (n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　)

A．4　　　    B．5  C．6　　　    D．7

B　[Tr＋1＝C(3x)n－r＝C3n－rx，当Tr＋1是常数项时，n－r＝0，当r＝2，n＝5时成立．]

5．在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有(　　)

A．3项   B．4项

C．5项   D．6项

C　[通项公式Tk＋1＝C()24－k＝Cx，

故当k＝0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项．]

二、填空题

6．在二项式展开式中，第五项为________．

60　[二项式的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(2x)6－r＝C26－rx．令r＝4，则T4＋1＝C22x＝60．]

7．若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为________．

56　[由题意知，C＝C，∴n＝8．

∴Tr＋1＝C·x8－r·＝C·x8－2r，当8－2r＝－2时，r＝5，∴的系数为C＝56．]

8．设二项式 (a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B．若B＝4A，则a的值是________．

2　[Tr＋1＝Cx6－r(－ax－)r＝C(－a)r·，B＝C(－a)4，A＝C(－a)2．∵B＝4A，a>0，

∴a＝2．]

三、解答题

9．化简：S＝1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC(n∈N＋)．

[解]　将S的表达式改写为：S＝C＋(－2)C＋(－2)2C＋(－2)3C＋…＋(－2)nC＝[1＋(－2)]n＝(－1)n．∴S＝(－1)n＝

10．在的展开式中，求：

(1)第3项的二项式系数及系数；

(2)含x2的项．

[解]　(1)第3项的二项式系数为C＝15，

又T3＝C(2)4＝24·Cx，

所以第3项的系数为24C＝240．

(2)Tr＋1＝C(2)6－r＝(－1)r26－rCx3－r，令3－r＝2，得r＝1．

所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2．

1．(3x－2)5的展开式中x2的系数为(　　)

A．296　   B．－296

C．－1 864　   D．－1 376

C　[依题意，所求x2的系数为C×32×(－2)3＋2×(－2)5－1×C×33×(－2)2＝－720－64－1080＝－1 864，故选C．]

2．(多选题)对于二项式 (n∈N＋)，下列四种判断正确的是(　　)

A．存在n∈N＋，展开式中有常数项

B．对任意n∈N＋，展开式中没有常数项

C．对任意n∈N＋，展开式中没有x的一次项

D．存在n∈N＋，展开式中有x的一次项

AD　[二项式的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx4r－n，由通项公式可知，当n＝4r(r∈N＋)和n＝4r－1(r∈N＋)时，展开式中分别存在常数项和一次项．]

3．已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则n＝________，C＋C＋C＝________．

6　32　[C＋2C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，∴n＝6，∴C＋C＋C＝C＋C＋C＝32．]

4．已知(2x－1)(x＋a)6的展开式中含x5项的系数为24，则a＝________．

1或－　[根据题意，(x＋a)6的展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－rar，

其中当r＝1时，有T2＝Cx5a，

当r＝2时，有T3＝Cx4a2，

则(2x－1)(x＋a)6的展开式中含x5项的系数为－Ca＋2 Ca2＝－6a＋30a2，

则有－6a＋30a2＝24，可得5a2－a－4＝0，

所以(a－1)(5a＋4)＝0，所以a＝1或a＝－．]

求的展开式的常数项．

[解]　法一：由二项式定理得＝＝C·＋C··＋C··()2＋C··()3＋C··()4＋C·()5．

其中为常数项的有：

C·中的第3项：CC··；

C··()3中的第2项：CC··()3；展开式的最后一项：C·()5．

综上可知，常数项为CC··＋CC··()3＋C·()5＝．

法二：原式＝

＝·[(x＋)2]5＝·(x＋)10．

求原式中展开式的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5的项的系数，即C·()5，所以所求的常数项为＝．

法三：由二项式定理的原理可知，展开式的常数项为：

()5＋CC()3＋CC ()＝24＋＝．