2022-2023学年天津市西青区富力中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年天津市西青区富力中学九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 关于的一元二次方程是一元二次方程，则满足(    )

A.  B.  C.  D. 为任意实数

2. 方程的解是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3. 若是关于的一元二次方程的一个解．则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 方程的根的情况是(    )

A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根

6. 某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排场比赛，则共有多少个班级参赛？(    )

A.  B.  C.  D.

7. 某中学连续三年开展模树活动，已知第一年植树棵，第三年植树棵，假设该校这两年植树模数的年平均增长率相同，设这两年该校植树模数的年平均增长率为；列出方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 设一元二次方程的两个实数为和，则下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线为(    )

A.  B.
C.  D.

10. 二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

11. 对抛物线：而言，下列结论正确的是(    )

A. 与轴有两个交点 B. 开口向上
C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是

12. 函数和是常数，且在同一直角坐标系中的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 将一元二次方程化成的形式，则______．
14. 点、是二次函数的图象上两点，则与的大小关系为______填“”、“”、“”．
15. 若抛物线与轴的两个交点坐标是，，则此抛物线的对称轴是直线______．
16. 抛物线的解析式为，则抛物线的顶点坐标是______ ．
17. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______．
18. 二次函数的最小值是______，最大值是______．

三、解答题（本大题共6小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
20. 本小题分
    二次函数中、满足下表：

求这个二次函数的解析式；
求的值．

21. 本小题分
    已知抛物线顶点坐标为，且经过点，求这条抛物线的解析式．
22. 本小题分
    已知抛物线如图所示．
    试求抛物线的解析式；
    若该抛物线与轴的两个交点分别为，，且它的顶点为，求的面积．

23. 本小题分
    李师傅去年开了一家商店，今年月份开始盈利，月份盈利元，月份的盈利达到元，且从月到月，每月盈利的平均增长率都相同．
    求每月盈利的平均增长率；
    按照这个平均增长率，预计月份这家商店的盈利将达到多少元？
24. 本小题分
    某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件．
    若商场每件降价元，问商场每天可盈利多少元．
    若商场平均每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，每件衬衫应降价多少元．
    要使商场平均每天盈利元，可能吗？请说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
解得．
故选：．
本题根据一元二次方程的定义求解．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
或，
解得：或，
故选：．
由已知等式知这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程，再分别求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的解，此题比较简单，易于掌握．
先把的值代入方程即可得到一个关于的方程，解一元一次方程即可．
【解答】
解：把代入方程得：，
解得．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：方程，整理得：，
配方得：，即，
故选：．
方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，，
，
所以方程没有实数根．
故选D．
把，，代入进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
本题考查了一元二次方程为常数的根的判别式当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了一元二次方程的应用，关键是准确找到描述语，根据等量关系准确的列出方程．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
设共有个班级参赛，根据每个班和其他班比赛场球，且每两班之间都比赛一场，然后根据计划安排场比赛即可列出方程求解．
【解答】
解：设共有个班级参赛，根据题意得：
，
解得：，不合题意，舍去，
则共有个班级参赛．
故选C．  

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，
故选：．
根据第一年植树棵，第三年植树棵，假设该校这两年植树模数的年平均增长率相同，建立一元二次方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：这里，，，
根据根与系数的关系可知：，，
故选A
根据一元二次方程根与系数的关系求则可．设，是关于的一元二次方程为常数的两个实数根，则，．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系．
 

9.【答案】 

【解析】解：将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线为：．
故选：．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：图象开口向下，
，
抛物线与轴的交点在轴正半轴，
，
对称轴在轴左侧，
，
，
故选：．
根据抛物线的开口方向，对称轴位置，与轴的交点判断，，的符号即可．
本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是对二次函数性质的掌握．
 

11.【答案】 

【解析】解：、，抛物线与轴无交点，本选项错误；
B、二次项系数，抛物线开口向下，本选项错误；
C、当时，，抛物线与轴交点坐标为，本选项错误；
D、，抛物线的顶点坐标为，本选项正确．
故选：．
根据的符号，可判断图象与轴的交点情况，根据二次项系数可判断开口方向，令函数式中，可求图象与轴的交点坐标，利用配方法可求图象的顶点坐标．
本题考查了抛物线的性质与解析式的关系．关键是明确抛物线解析式各项系数与性质的联系．
 

12.【答案】 

【解析】解：、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，故选项正确；
B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误；
C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误；
D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的对称轴，故选项错误．
故选：．
可先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
本题考查了一次函数和二次函数的图象和性质，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
 

13.【答案】 

【解析】解：方程化成一般式为，
则，，，
．
故答案为：．
先移项有，然后根据一元二次方程的一般形式即可得到、、的值．
本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中叫二次项系数，叫一次项系数，叫常数项．
 

14.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象的对称轴是，
在对称轴的右面随的增大而增大，
点、是二次函数的图象上两点，
，
．
故答案为：．
本题需先根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴，再根据点、的横坐标的大小即可判断出与的大小关系．
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：与轴的两个交点坐标是和，
抛物线的对称轴为直线，即．
故答案为：．
由抛物线与轴的两个交点，利用对称性确定出对称轴即可．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

16.【答案】 

【解析】解：
抛物线的顶点坐标是
故答案为：．
利用二次函数的顶点式是：，且，，是常数，顶点坐标是进行解答．
本题主要是对抛物线中顶点式的顶点坐标的考查．
 

17.【答案】且 

【解析】解：根据题意得且，
解得且．
故答案为且．
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

18.【答案】   

【解析】解：，
抛物线开口向上，顶点坐标为，
将代入得，
时，函数最小值为，最大值为，
故答案为：，．
由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
 

19.【答案】解：，
，
或，
，；
，
，
，即，
或，
，． 

【解析】利用因式分解法解方程即可；
利用配方法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

20.【答案】解：由题意得，在二次函数图象上

解得：，，
这个二次函数的解析式为．
当时，．
． 

【解析】考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．本题中要求熟练掌握二次函数的基本性质．
找两点的坐标代入抛物线的解析式即可求出、值，进而求得解析式．
把代入中的解析式即可求得的值；
 

21.【答案】解：设抛物线解析式为，
将代入得，
解得，
． 

【解析】设抛物线解析式为顶点式，将代入解析式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求二次函数解析式．
 

22.【答案】解：由图象可知抛物线经过点，和，
则，
解得，
抛物线的解析式为；
，
抛物线的顶点坐标为，
，，
，
的面积． 

【解析】根据图像找到抛物线与坐标轴的交点，把三个点的坐标代入解析式，用待定系数法求函数解析式即可；
利用抛物线解析式求出顶点的坐标，再求出的长度，然后利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与轴的交点问题，关键是求出函数解析式．
 

23.【答案】解：设该商店的每月盈利的平均增长率为，根据题意得：
，
解得：，舍去．
由知，该商店的每月盈利的平均增长率为，则月份盈利为：
元．
答：该商店的每月盈利的平均增长率为．
月份盈利为元． 

【解析】设该商店的月平均增长率为，根据等量关系：月份盈利额增长率月份的盈利额列出方程求解即可．
月份盈利月份盈利增长率．
此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量后来的量，其中增长用，减少用，难度一般．
 

24.【答案】解：因为每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件，所以若商场每件降价元，商场平均每天可多售出件，
每天共盈利元
答：若商场每件降价元，问商场每天可盈利元；

设每件衬衫应降价元，则平均每天可销售件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
要扩大销售量，减少库存，
．
答：每件衬衫应降价元．

不可能，理由如下：
根据题意得：，
整理得：．
，
该方程无实数根，
商城平均每天不可能盈利元． 

【解析】根据“每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件”解答；
设每件衬衫应降价元，则平均每天可销售件，根据总利润单件利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；
根据总利润单件利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出该方程无实数根，进而可得出商城平均每天不可能盈利元．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．