高中10.3 复数的三角形式及其运算图片课件ppt
展开课后素养落实(八)
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一、选择题
1.复数-i的三角形式是( )
A.cos+isin B.cos+isin
C.cos-isin D.cos+isin
A [-i=cosπ+isinπ
=cos+isin
=cos+isin.]
2.若复数cos θ+isin θ和sin θ+icos θ相等,则θ的值为( )
A. B.或
C.2kπ+(k∈Z) D.kπ+(k∈Z)
D [因为cos θ+isin θ=sin θ+icos θ,
所以cos θ=sin θ,
即tan θ=1,
所以θ=+kπ(k∈Z).]
3.复数sin 4+icos 4的辐角主值为( )
A.4 B.-4 C.2π-4 D.-4
D [sin 4+icos 4=cos+isin.]
4.如果θ∈,那么复数(1+i)(cos θ-isin θ)的三角形式是( )
A.
B.
C.
D.
A [因为1+i=,
cos θ-isin θ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ),
所以(1+i)(cos θ-isin θ)
=
=.]
5.4(cos π+isin π)÷2=( )
A.1+i B.1-i
C.-1+i D.-1-i
C [4(cos π+isin π)÷2=2
=2=-1+i.
故选C.]
二、填空题
6.已知z=cos+isin,则arg z2=________.
π [因为arg z=,所以arg z2=2arg z=2×=.]
7.把复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转,所得到的向量对应的复数是________.
1-i [(1+i)
=
=
==1-i.]
8.设复数z1=1+i,z2=+i,则的辐角主值是________.
[由题知,z1=2,
z2=2,
所以的辐角主值为-=.]
三、解答题
9.设复数z1=+i,复数z2满足|z2|=2,已知z1z的对应点在虚轴的负半轴上,且arg z2∈(0,π),求z2的代数形式.
[解] 因为z1=2,
设z2=2(cos α+isin α),α∈(0,π),
所以z1z=8.
由题设知2α+=2kπ+(k∈Z),所以α=kπ+(k∈Z).又α∈(0,π),所以α=,所以z2=2=-1+i.
10.已知z=-2i,z1-z2=0,arg z2=,若z1,z2在复平面内分别对应点A,B,且|AB|=,求z1和z2.
[解] 由题设知z=1-i,因为|AB|=,即|z1-z2|=,
所以|z1-z2|=|z2-z2|=|(1+i)z2-z2|=|iz2|=|z2|=,又arg z2=,
所以z2==+i,
z1=z2=(1+i)z2=·=2=-+i.
11.若复数z=(a+i)2的辐角主值是,则实数a的值是( )
A.1 B.-1 C.- D.-
B [因为z=(a+i)2=(a2-1)+2ai,arg z=,
所以
所以a=-1,故选B.]
12.设π<θ<,则复数的辐角主值为( )
A.2π-3θ B.3θ-2π
C.3θ D.3θ-π
B [==cos 3θ+isin 3θ.
因为π<θ<,
所以3π<3θ<,
所以π<3θ-2π<,
故选B.]
13.已知复数z满足z2+2z+4=0,且arg z∈,则z的三角形式为________.
z=2 [由z2+2z+4=0,
得z=(-2±2i)=-1±i.
因为arg z∈,
所以z=-1-i应舍去,
所以z=-1+i=2.]
14.2(cos 300°+isin 300°)÷=________.
-+i [2(cos 300°+isin 300°)÷
=2÷
=
=
=-+i.]
15.已知k是实数,ω是非零复数,且满足arg ω=,(1+)2+(1+i)2=1+kω.
(1)求ω;
(2)设z=cos θ+isin θ,θ∈[0,2π),若|z-ω|=1+,求θ的值.
[解] (1)arg ω=,
可设ω=a-ai(a∈R),
将其代入(1+)2+(1+i)2=1+kω,
化简可得2a+2a(1+a)i+2i=ka-kai,
∴
解得
∴ω=-1+i.
(2)|z-ω|=|(cos θ+1)+(sin θ-1)i|
=
=
=.
∵|z-ω|=1+,
∴=1+,
化简得cos=1.
∵0≤θ<2π,≤θ+<2π+,
∴θ+=2π,
即θ=.
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