高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.1.6 祖暅原理与几何体的体积图文课件ppt

课后素养落实(十四)

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知高为3的三棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1­ABC的体积为(　　)

A．   B．

C．   D．

D　[V＝Sh＝××3＝．]

2．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的(　　)

A．1倍      B．2倍    C．3倍      D．4倍

C　[半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x,2x,3x，则最大球的半径为3x，其体积为π×(3x)3，其余两个球的体积之和为πx3＋π×(2x)3，

∴π×(3x)3÷＝3．]

3．如图，ABC­A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C­AA′B′B的体积是(　　)

A．   B．

C．   D．

C　[VC­AA′B′B＝VABC­A′B′C′－VC­A′B′C′

＝S△ABC·AA′－S△ABC·AA′

＝S△ABC·AA′＝．]

4．将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm．若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为(　　)

A．6 cm      B．6 cm    C．2 cm      D．3 cm

B　[由题设可知两种器皿中的水的体积相同，设圆锥内水面高度为h，圆锥的轴截面为正三角形，

由图可得，＝tan 30°，

∴r＝h．故V圆柱＝6×π×22＝24π(cm3)，V圆锥＝π··h．又V圆柱＝V圆锥，

∴h＝6 cm．]

5．分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是(　　)

A．1∶∶   B．6∶2∶

C．6∶2∶3   D．3∶2∶6

C　[设Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝1，则AB＝2，AC＝，求得斜边上的高CD＝，旋转所得几何体的体积分别为V1＝π()2×1＝π，V2＝π×12×＝π，V3＝π×2＝π．

V1∶V2∶V3＝1∶∶＝6∶2∶3．]

二、填空题

6．一个长方体的三个面的面积分别是 ， ， ，则这个长方体的体积为________．

　[设长方体的棱长分别为a，b，c，则三式相乘可知(abc)2＝6，所以长方体的体积V＝abc＝．]

7．已知三棱锥S­ABC的棱长均为4，则该三棱锥的体积是________．

　[如图，在三棱锥S­ABC中，作高SO，连接AO并延长AO交BC于点D，则AO＝×4×＝．在Rt△SAO中，SO＝

＝，所以V＝×××42＝．]

8．两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为________．

　[设大、小两球半径分别为R，r，则

所以

所以体积和为πR3＋πr3＝．]

三、解答题

9．如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌，如果冰激凌融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．

[解]　因为V半球＝×πR3＝×π×43＝π(cm3)，

V圆锥＝πr2h＝π×42×10＝π(cm3)，

因为V半球<V圆锥，

所以冰激凌融化了，不会溢出杯子．

10．如图所示，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF与平面AC的距离为3，求该多面体的体积．

[解]　法一：如图所示，连接EB，EC．

由题意，得VE­ABCD＝×42×3＝16．

因为AB＝2EF，EF∥AB，所以S△EAB＝2S△BEF．

所以VF­EBC＝VC­EFB＝VC­ABE＝VE­ABC＝×VE­ABCD＝4．

所以V＝VE­ABCD＋VF­EBC＝16＋4＝20．

法二：如图所示，取AB，DC的中点G，H，连接EG，GH，EH，则EG∥FB，EH∥FC，GH∥BC，得棱柱EGH­FBC．

由题意，得VE­AGHD＝S四边形AGHD×3＝×4×4××3＝8，

VEGH­FBC＝3VB­EGH＝3VE­BGH＝3×VE­GBCH＝VE­AGHD＝×8＝12，

所以V＝VE­AGHD＋VEGH­FBC＝8＋12＝20．

11．《算数书》竹筒于上世纪八十年代在湖北省荆州市江陵县张家山出土，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么近似公式V≈L2h中将圆锥体积公式中的π近似取为(　　)

A．      B．    C．      D．

B　[设圆锥的底面半径为r，则圆锥的底面周长L＝2πr，所以r＝，所以V＝πr2h＝π×＝．若≈L2h，则π＝．]

12．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为1尺2寸，盆深1尺8寸．若盆中积水深9寸，则平均降雨量是(注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1尺等于10寸(　　)

A．3寸      B．4寸    C．5寸      D．6寸

A　[作出圆台的轴截面如图所示．

由题意知，BF＝14寸，OC＝6寸，OF＝18寸，OG＝9寸，

即G是OF的中点，

∴GE为梯形OCBF的中位线，

∴GE＝＝10(寸)，

即积水的上底面半径为10寸．

∴盆中积水的体积为π×(100＋36＋10×6)×9＝588π(立方寸)．

又盆口的面积为142π＝196π(平方寸)，

∴平均降雨量是＝3(寸)，

即平均降雨量是3寸．]

13．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，则h＝________．

a　[设圆锥形容器的液面的半径为R，则液体的体积为πR2h，

圆柱形容器内的液体体积为πh．

根据题意，有πR2h＝πh，

解得R＝a．

再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得＝，

所以h＝a．]

14．已知一长方体的底面是边长为1的正方形，长方体的所有顶点都在同一球面上．若球的体积为π，则该长方体的体对角线长为______，体积为______．

4　　[∵球的体积为π，可得πR3＝π，

∴R＝2．

又长方体的体对角线即为球的直径，故长方体的体对角线长为4．

设长方体的高为x，则＝4，

解得x＝．

∴该长方体的体积为．]

15．已知正四面体ABCD的外接球的体积为4π，求正四面体的体积．

[解]　法一：将正四面体ABCD置于正方体中．

正四面体的外接球即正方体的外接球(如图所示)，正方体的体对角线长即球的直径．设外接球的半径为R，

由V球＝R3＝4π，得R＝，

即正方体的体对角线长为2，正方体棱长为2．

所以VA­BCD＝23－4××2××2×2＝．

法二：如图所示，设外接球的半径为R，

由已知得R3＝4π，故R＝．

因为AE为球的直径，故AD⊥DE，AE⊥O1D．

设AD＝a，则O1D＝×a＝a，故AO1＝a，O1E＝2R－AO1＝2－a．

由Rt△AO1D∽Rt△

DO1E，得O1D2＝AO1·O1E，

解得a＝2．

故V＝×a2·AO1＝．