高中人教B版 (2019)第十一章 立体几何初步11.3 空间中的平行关系11.3.2 直线与平面平行课堂教学ppt课件

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11.3.2　直线与平面平行学 习 任 务核 心 素 养1．掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题．(重点)2．利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题．(难点)1．通过空间直线与平面位置关系的学习，培养直观想象的数学核心素养．2．借助直线与平面平行的判定与性质的学习，提升数学抽象、逻辑推理的数学核心素养．前面我们已经通过一些常见几何体直观认识了直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交，其中后两种位置关系又统称为直线在平面外，根据平面的基本事实2，如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，它是我们判断一条直线是否在平面内的重要依据．如果一条直线与平面的公共点个数不是两个，若有且只有一个，则直线与平面相交，若没有公共点，则直线与平面平行．思考：(1)直接判定一条直线与一个平面有没有公共点，是否很容易做到？为什么？(2)假设直线m在平面α内，将直线m平移出平面α，平移后的直线记为l，试判断直线l与平面α的位置关系，并说明理由．知识点1　直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝Aa∥α图形表示1．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一平面的位置关系为(　　)A．平行　　　　　　 B．相交C．直线在平面内   D．平行或直线在平面内D　[由题知，这条直线可能在另一平面内，也可能与另一平面平行．]知识点2　直线与平面平行的判定定理判定定理符号表示图形表示如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行如果l⊄α，m⊂α，l∥m，则l∥α2．下列条件中能确定直线a与平面α平行的是(　　)A．a⊄α，b⊂α，a∥bB．b⊂α，a∥bC．b⊂α，c⊂α，a∥b，a∥cD．b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BDA　[由直线与平面平行的判定定理知选A．]知识点3　直线与平面平行的性质定理性质定理符号表示图形表示如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的交线平行如果l∥α，l⊂β，α∩β＝m，则l∥m3．下列说法正确的是(　　)A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a∥直线bB．若直线a∥平面α，直线a与直线b相交，则直线b与平面α相交C．若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面αD．若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点D　[A中直线a与直线b也可能异面、相交，所以不正确；B中，直线b也可能与平面α平行，所以不正确；C中，直线b也可能在平面α内，所以不正确；根据直线与平面平行的定义知D正确．] 类型1　直线与平面平行的判定【例1】　如图，在三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH．[思路探究]　要证明BD∥平面FGH，需在平面FGH内找到一条直线平行于BD，进而转化为线线平行的证明．[证明]　在三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，连接CD、FG．设CD∩FG＝O，则O为CD的中点．又H为BC的中点，所以OH∥BD．又OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH．应用判定定理证明线面平行的步骤上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：(1)空间直线平行关系的传递性法．2三角形中位线法.3平行四边形法.4成比例线段法.提醒：线面平行判定定理应用的误区1条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”.2不能利用题目条件顺利地找到两平行直线.1．(多选题)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是(　　)BCD　[A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB．因为QD∩平面MNQ＝Q，所以QD与平面MNQ相交，所以直线AB与平面MNQ相交．B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ．又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ．C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，所以AB∥MQ．又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ．D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，所以AB∥NQ．又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ．故选BCD．] 类型2　直线与平面平行的性质定理的应用【例2】　(1)如图，在四棱锥P­ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD．若CM∶MA＝1∶4，则CN∶NP＝__________，MN与平面PAB的位置关系是__________．(2)如图，已知AB与CD是异面直线，且AB∥平面α，CD∥平面α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝G，BC∩α＝H．求证：四边形EFGH是平行四边形．(1)1∶4　MN∥面PAB　[由MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAD∩平面PAC＝PA，∴MN∥PA．∴CN∶NP＝CM∶MA＝1∶4．又PA⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB．](2)[证明]　因为AB∥平面α，AB⊂平面ABC，平面ABC∩平面α＝EH，所以AB∥EH．因为AB∥平面α，AB⊂平面ABD，平面ABD∩平面α＝FG，所以AB∥FG．所以EH∥FG．同理由CD∥平面α可证EF∥GH，所以四边形EFGH是平行四边形．1．例2(2)中异面直线AB与CD垂直，其他条件不变，判断四边形EFGH的形状．[解]　(1)由例2(2)知AB∥EH，CD∥EF，又AB⊥CD，所以EH⊥EF．又四边形EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是矩形．2．例2(2)中若添加条件AB＝CD，能否得出四边形EFGH为菱形？[解]　由例2(2)知AB∥EH，则＝．又CD∥EF，则＝．因为AB＝CD，所以要得到EH＝EF，需CE＝AE．由题意知CE＝AE不一定成立，所以由AB＝CD不能得出EFGH为菱形．利用直线与平面平行的性质定理解题的步骤是怎样的？[提示]　 类型3　线面平行判定定理与性质定理的综合运用1．如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)是否都和平面α平行？[提示]　平行．2．若直线l∥平面α，则l平行于平面α内的所有直线吗？[提示]　不是．3．若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？这些平面与α的交线与直线a有什么关系？[提示]　若a∥α，则过a且与α相交的平面有无数个．这些平面与α的交线与直线a之间相互平行．【例3】　如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，点P∈BB1(P不与B，B1重合)，PA∩A1B＝M，PC∩BC1＝N．求证：MN∥平面ABCD．[证明]　连接AC，A1C1．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四边形ACC1A1是平行四边形，所以AC∥A1C1，因为AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1．因为AC⊂平面PAC，平面A1BC1∩平面PAC＝MN，所以AC∥MN．因为MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以MN∥平面ABCD．利用线面平行的判定定理和性质定理的关键及思考方向关键：是过直线作平面与已知平面相交．思考方向：若条件中含有线线平行，可考虑线面平行的判定定理的条件；若条件中含有线面平行，可考虑线面平行的性质定理得线线平行．2．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．[证明]　直线l∥平面PAC，证明如下：因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC．又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC．而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l．因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以l∥平面PAC．1．M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有(　　)A．l∥α   B．l⊂αC．l与α相交   D．以上都有可能C　[由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．]2．已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是(　　)A．相交   B．平行C．异面   D．相交或异面B　[由直线与平面平行的性质定理知l∥m．]3．在长方体ABCD­A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(平面AA1C1C、平面ABC1D1、平面ADC1B1、平面BB1D1D、平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有(　　)A．2个      B．3个    C．4个      D．5个B　[如图所示，结合图形可知AA1∥平面BCC1B1，AA1∥平面DCC1D1，AA1∥平面BB1D1D．]4．如图所示，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若＝，则MN与平面BDC的位置关系是________．平行　[因为在△ABD中＝，所以MN∥BD，又因为MN⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，所以MN∥平面BCD．]5．正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，C，E三点的平面的位置关系是________．平行　[如图所示，连接BD交AC于点O．在正方体中容易得到点O为BD的中点．又因为E为DD1的中点，所以OE∥BD1．又因为OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE．]回顾本节知识，自我完成以下问题：1．判定直线l和平面α平行时，必须具备哪三个条件？[提示]　①直线l在平面α外，即l⊄α；②直线m在平面α内，即m⊂α；③两直线l，m平行，即l∥m．这三个条件缺一不可．2．应用线面平行的性质定理时，必须具备哪三个条件？[提示]　①直线l平行于平面α，即l∥α，②直线l在平面β内，即l⊂β，③两平面α与β相交，即α∩β＝m．这三个条件缺一不可．