高中数学11.4.2 平面与平面垂直课文课件ppt

课后素养落实(二十)

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．过两点与已知平面垂直的平面有(　　)

A．一个　　　　　　　 B．无数个

C．一个或无数个   D．可能不存在

C　[当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直；当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．]

2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是(　　)

A．m⊥n，m∥α，n∥β   B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂α

C．m∥n，n⊥β，m⊂α   D．m∥n，m⊥α，n⊥β

C　[因为n⊥β，m∥n，所以m⊥β，又m⊂α，由面面垂直的判定定理，所以α⊥β．]

3．如图所示，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面共有(　　)

A．1对   B．2对

C．3对　   D．4对

C　[∵AB⊥平面BCD，且AB⊂平面ABC和AB⊂平面ABD，

∴平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD．

∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD．

又∵BC⊥CD，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC．

∵CD⊂平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD．

故图中平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD．]

4．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P­BC­A的大小为(　　)

A．60°   B．30°

C．45°   D．15°

C　[由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC．又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，所以∠PCA为二面角P­BC­A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC，得∠PCA＝45°．]

5．下列命题中错误的是(　　)

A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

D　[如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D项叙述是错误的．]

二、填空题

6．如图所示，平面α⊥平面β，在α与β交线上取线段AB＝4，AC，BD分别在平面α和β内，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD＝________．

13　[连接BC．因为BD⊥AB，α⊥β，α∩β＝AB，所以BD⊥α．因为BC⊂α，所以BD⊥BC，所以△CBD是直角三角形．

在Rt△BAC中，BC＝＝5．

在Rt△CBD中，CD＝＝13．]

7．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角P­BC­A的大小为________．

90°　[取BC的中点O，连接OA，OP(图略)，则∠POA为二面角P­BC­A的平面角，OP＝OA＝，PA＝，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°．]

8．已知正方形ABCD的边长为1，将△ADC沿对角线AC折起，若折叠后平面ACD⊥平面ACB，则此时AC与BD所成角的大小是________，点B，D之间的距离是________．

90°　1　[如图所示，取AC的中点O，连接OB，OD．

因为DA＝DC，BA＝BC，O为AC的中点，

所以DO⊥AC，BO⊥AC，又DO∩BO＝O，

所以AC⊥平面BOD，又BD⊂平面BOD，

所以AC⊥BD，即此时AC与BD所成的角是90°．

因为平面ACD⊥平面ACB，平面ACD∩平面ACB＝AC，DO⊥AC，所以DO⊥平面ABC，

所以DO⊥OB，又OB＝OD＝AC＝，

所以BD＝＝1．]

三、解答题

9．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE．

[证明]　如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接A′M，A′N，MN，则MN∥BC．

因为AB＝AD，E是AD的中点，

所以AB＝AE，即A′B＝A′E．

所以A′N⊥BE．因为A′C＝A′D，所以A′M⊥CD．

在四边形BCDE中，CD⊥MN，

又MN∩A′M＝M，所以CD⊥平面A′MN．

所以CD⊥A′N．

因为DE∥BC且DE＝BC，

所以BE必与CD相交．

又A′N⊥BE，A′N⊥CD，

所以A′N⊥平面BCDE．

又A′N⊂平面A′BE，

所以平面A′BE⊥平面BCDE．

10．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．

求证：(1)DE∥平面A1C1F．

(2)平面B1DE⊥平面A1C1F．

[证明]　(1)因为D，E分别是AB，BC的中点，

所以DE∥AC，又AC∥A1C1，所以DE∥A1C1，

又因为A1C1⊂平面A1C1F，且DE⊄平面A1C1F，所以DE∥平面A1C1F．

(2)因为ABC­A1B1C1是直三棱柱，

所以AA1⊥平面A1B1C1，

所以AA1⊥A1C1．

又因为A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1⊂平面AA1B1B，所以A1C1⊥平面AA1B1B，

所以A1C1⊥B1D，又A1F⊥B1D，A1F∩A1C1＝A1，

所以B1D⊥平面A1C1F，

又因为B1D⊂平面B1DE，

所以平面B1DE⊥平面A1C1F．

11．(多选题)在正四面体ABCD中，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，下面四个结论中正确的是(　　)

A．BC∥平面AGF

B．EG⊥平面ABF

C．平面AEF⊥平面BCD

D．平面ABF⊥平面BCD

ABD　[∵F，G分别是CD，DB的中点，∴GF∥BC，则BC∥平面AGF．故A正确．

∵E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，∴CD⊥AF，CD⊥BF，即CD⊥平面ABF．

∵EG∥CD，∴EG⊥平面ABF．故B正确．

∵E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，

∴CD⊥AF，CD⊥BF，即CD⊥平面ABF．

∵CD⊂面BCD，

∴平面ABF⊥平面BCD．故D正确．

对于选项C，假设平面AEF⊥平面BCD，

∵平面AEF∩平面BCD＝EF，CD⊂平面BCD，CD⊥AF，

∴CD⊥平面AEF，CD⊥EF，与CD，EF夹角为60°矛盾．故C错误．故选ABD．]

12．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AB＝PA．若BC边上有且只有一个点Q，使得PQ⊥QD，则此时二面角A­PD­Q的余弦值为(　　)

A．      B．    C．      D．

C　[如图，连接AQ，因为BC边上有且只有一个点Q，使得PQ⊥QD，所以BC边上有且只有一个点Q，使得AQ⊥QD，则在平面ABCD中，以AD为直径的圆与直线BC相切且Q为切点，设AD的中点为O，则QO⊥AD，可得QO⊥平面PAD，作OH⊥PD交PD于点H，连接QH，则∠OHQ是二面角A­PD­Q的平面角，设AB＝PA＝a，则AD＝2a，在Rt△QOH中，OH＝，QH＝，所以cos∠OHQ＝＝，所以二面角A­PD­Q的余弦值为，故选C．]

13．如图，边长为a的正三角形ABC的边AB，AC的中点分别为E，F，将△AEF沿EF折起至△A′EF位置，使平面A′EF⊥平面BEFC，则A′B＝________．

a　[如图，取BC的中点N，连接AN交EF于点M，连接A′M，BM，则A′M⊥EF．∵平面A′EF⊥平面BEFC，∴A′M⊥平面BEFC，∴A′M⊥BM．∵AM＝MN＝AN＝a，

∴A′M＝a．在Rt△MNB中，MB2＝MN2＋NB2＝a2．在Rt△A′MB中，A′B＝＝a．]

14．已知正三棱锥P­ABC的高为2，侧棱与底面所成的角为45°，则二面角P­AB­C的正切值是______，点A到侧面PBC的距离是________．

2　　[如图，作PO⊥底面ABC于点O，连接BO并延长交AC于点D，连接CO并延长交AB于点E，连接PE，PD，则PE⊥AB，CE⊥AB，∴∠PEO是二面角P­AB­C的平面角．∵正三棱锥P­ABC的高为2，侧棱与底面所成的角为45°，∴PO＝2，∠PBO＝45°，∠POB＝90°，∴BO＝CO＝2，EO＝1，∴二面角P­AB­C的正切值为tan∠PEO＝＝2．易得BD＝3，BC＝2，∴S△ABC＝×2×3＝3．易知PD＝，∴S△PAC＝×2×＝．设点A到侧面PBC的距离为h，

∵VP­ABC＝VA­PBC，∴×3×2＝××h，解得h＝，∴点A到侧面PBC的距离为．]

15．已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0＜λ＜1)．

(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；

(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?

[解]　(1)证明：因为AB⊥平面BCD，

所以AB⊥CD．

因为CD⊥BC，且AB∩BC＝B，

所以CD⊥平面ABC．

又＝＝λ(0＜λ＜1)，

所以不论λ为何值，恒有EF∥CD，所以EF⊥平面ABC．又EF⊂平面BEF，所以不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC．

(2)由(1)知，EF⊥BE，

又平面BEF⊥平面ACD，平面BEF∩平面ACD＝EF，

所以BE⊥平面ACD，所以BE⊥AC．

因为BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，

AB⊥平面BCD，

所以BD＝，AB＝tan 60°＝，

所以AC＝＝，

由AB2＝AE·AC得AE＝，

所以λ＝＝，

故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD．