高中数学7.2.1 三角函数的定义多媒体教学ppt课件

7.2　任意角的三角函数

7.2.1　三角函数的定义

知识点1　任意角的正弦、余弦与正切的定义

1.三角函数值的大小与点P在角α终边上的位置是否有关？

[提示]　无关，三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角α的大小有关．

1.已知角α终边经过P，则cos α等于(　　)

A． B．　　

C． D．±

B　[由三角函数定义可知，设x＝，y＝，则r＝＝1，故cos α＝.]

2.若角α的终边上有一点P(3，－4)，则sin α＋cos α＝________．

－　[易知r＝＝5由三角函数定义知，sin α＝－，cos α＝，

所以sin α＋cos α＝－.]

知识点2　三角函数在各象限的符号

正弦：一二象限正，三四象限负；

余弦：一四象限正，二三象限负；

正切：一三象限正，二四象限负．

2.记忆正弦、余弦、正切在各象限的符号有什么诀窍吗？

[提示]　对正弦、余弦、正切函数值的符号可用下列口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，该口诀表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦是正值．

3.思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)

(1)若α是三角形的内角，则必有sin α>0. (　　)

(2)若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边上异于原点的一点，则cos α＝.  (　　)

(3)若sin α>0，则α是第一或第二象限角. (　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×

4.已知sin α>0，cos α<0，则角α是(　　)

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

B　[由sin α>0可知α在第一、二象限或y轴的正半轴上，由cos α<0可知α在第二、三象限或x轴的负半轴上，故角α是第二象限角．]

类型1　任意角的三角函数的定义及应用

【例1】　(1)若sin α＝，cos α＝－，则在角α终边上的点有(　　)

A．(－4，3)　 B．(3，－4)

C．(4，－3) D．(－3，4)

(2)(对接教材P15例1)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．

(1)A　[(1)由sin α，cos α的定义知x＝－4，y＝3，r＝5时，满足题意，故选A.]

(2)[解]　直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，)，则r＝＝2，所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－；在第四象限取直线上的点(1，－)，则r＝＝2，所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－．

已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种

(1)由α的终边上一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．

(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定要注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．

[跟进训练]

1．已知角α的终边过点P(12，a)，且tan α＝，求sin α＋cos α的值．

[解]　根据三角函数的定义，tan α＝＝，

所以a＝5，所以P(12，5).这时r＝13，

所以sin α＝，cos α＝，所以sin α＋cos α＝.

类型2　三角函数值符号的应用

【例2】　(1)若sin αtan α<0，且<0，则角α是(　　)

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

(2)判断下列各式的符号：

①sin 145°cos (－210°)；

②sin 3·cos 4·tan 5.

(1)C　[由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二、三象限角．

由<0可知cos α，tan α异号，从而α为第三、四象限角．

综上可知，α为第三象限角．]

(2)[解]　①因为145°是第二象限角，

所以sin 145°>0，

因为－210°＝－360°＋150°，

所以－210°是第二象限角，

所以cos (－210°)<0，所以sin 145°cos (－210°)<0.

②因为<3<π，π<4<，<5<2π，

所以sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0，

所以sin 3·cos 4·tan 5>0.

判断三角函数值在各象限符号的攻略

(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；

(2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；

(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误．

提醒：巧用口诀记忆三角函数值在各象限的符号．

[跟进训练]

2．(1)在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(－1，m)(m≠0)，则下列各式的值一定为负的是(　　)

A．sin α＋cos α B．sin α－cos α

C．sin αcos α D．

(2)判断下列各式的符号：

①tan 120°·sin 269°；②cos 4·tan .

(1)D　[由已知得r＝|OP|＝，

则sin α＝，cos α＝－<0，tan α＝－m.

所以＝cos α<0.

故一定为负值的是D.]

(2)[解]　①因为120°是第二象限角，

所以tan 120°<0.

因为269°是第三象限角，所以sin 269°<0.

所以tan 120°·sin 269°>0.

②因为π<4<，所以4弧度是第三象限角，

所以cos 4<0.因为－＝－6π＋.

所以－是第一象限角．

所以tan >0.

所以cos 4·tan <0.

类型3　三角函数定义的综合应用

角度一　三角函数的绝对值问题

【例3】　设α 是第三象限角，且＝－cos ，则所在象限是(　　)

A．第一象限　 B．第二象限   

C．第三象限　 D．第四象限

B　[因为α是第三象限角，

所以2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z.

所以kπ＋<<kπ＋，k∈Z.

所以在第二、四象限．

又因为＝－cos ，

所以cos <0.所以在第二象限．]

带绝对值的问题，关键是去绝对值，去绝对值时，要注意绝对值内代数式的正负，主要考查逻辑推理的核心素养．

[跟进训练]

3．当α为第二象限角时，－的值是(　　)

A．1　 B．0  

C．2　 D．－2

C　[因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.

所以－＝－＝2.]

角度二　分类讨论在三角函数中的应用

【例4】　已知角α的终边上有一点P(24k，7k)，k≠0，求sin α，cos α，tan α的值．

点P(24k，7k)在第几象限？

[提示]　当k>0时，点P(24k，7k)在第一象限，当k<0时，点P(24k，7k)在第三象限．

[解]　当k>0时，令x＝24k，y＝7k，

则有r＝＝25k，

所以sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝.

当k<0时，令x＝24k，y＝7k，

则有r＝－25k，

所以sin α＝＝－，cos α＝＝－，tan α＝＝.

由三角函数的定义sin α＝，cos α＝，tan α＝(r>0)，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P(x，y)的坐标确定的，当点P(x，y)的坐标中含有参数时，则需要先根据具体情况分类讨论，再进行计算求值．

[跟进训练]

4．函数y＝＋－的值域是________．

{－4，0，2}　[由sin x≠0，cos x≠0知，x的终边不能落在坐标轴上，当x为第一象限角时，sin x>0，cos x>0，sin x cos x>0，y＝0；当x为第二象限角时，sin x>0，cos x<0，sin x cos x<0，y＝2；当x为第三象限角时，sin x<0，cos x<0，sin x cos x>0，y＝－4；当x为第四象限角时，sin x<0，cos x>0，sin x cos x<0，y＝2.

故函数y＝＋－的值域为{－4，0，2}．]

1．已知P(1，－5)是α终边上一点，则sin α＝(　　)

A．1　  B．－5　 　

C．－　　  D．

C　[因为x＝1，y＝－5，所以r＝，

所以sin α＝＝－.]

2．sin 1·cos 2·tan 3的值是(　　)

A．正数 B．负数  

C．0 D．不存在

A　[因为0<1<，<2<π，<3<π，

所以sin 1>0，cos 2<0，tan 3<0，

所以sin 1·cos 2·tan 3>0.]

3．若sin θ·cos θ>0，则θ在(　　)

A．第一或第四象限 B．第一或第三象限

C．第一或第二象限 D．第二或第四象限

B　[因为sin θ·cos θ>0，所以sin θ>0，cos θ>0或sin θ<0，cos θ<0，所以θ在第一象限或第三象限．]

4．判断下列各式的符号(填“>”或“<”)：

(1)sin 328°________0；(2)cos π________0；

(3)tan π________0.

(1)<　(2)<　(3)<　[(1)因为270°<328°<360°，

所以328°在第四象限，所以sin 328°<0.

(2)因为π<π<π，所以π在第三象限，

所以cos π<0.

(3)因为π<π<π，所以π在第二象限，

所以tan π<0.]

5．已知角α的终边过点P(－8m，－3)，且cos α＝－，则m的值为________，sin α＝________．

　－　[因为角α的终边过点P(－8m，－3)，

所以OP＝(0为坐标原点)，

因为cos α＝＝－<0，

所以m>0，角α是第三象限角，且可得m＝，

所以P(－4，－3)，|OP|＝5，sin α＝－.]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．三角函数值的大小与角的终边上点P的位置有关吗？为什么？

[提示]　三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．

2．如何确定三角函数值的正负？

[提示]　三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内点的坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．根据三角函数定义知：

(1)正弦值的符号取决于纵坐标y的符号．

(2)余弦值的符号取决于横坐标x的符号．

(3)正切值的符号是由x，y的符号共同决定的，即x，y同号为正，异号为负．