高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.4 数学建模活动：周期现象的描述课文课件ppt

7.4　数学建模活动：周期现象的描述

知识点　四类周期现象模型

(1)潮汐现象模型

潮汐现象可以用函数y＝A sin (ωx＋φ)(x∈[0，＋∞)，A＞0，ω＞0)来表示．

(2)单摆弹簧等简谐振动模型

单摆、弹簧等简谐振动可以用三角函数表达为y＝A sin (ωx＋φ)，其中x表示时间，y表示位移， A表示振幅，表示频率，φ表示初相位．

(3)音叉发出的纯音振动模型

音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为y＝A sin ωx，其中x表示时间，y表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率(对应音高)，A表示纯音振动的振幅(对应音强).

(4)交变电流模型

交变电流可以用三角函数表达为y＝A sin (ωx＋φ)，其中x表示时间，y表示电流，A表示最大电流，表示频率，φ表示初相位．

1.思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)

(1)数据拟合问题实际是根据提供的数据画出简图，求出相关的函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制．              (　　)

(2)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－2sin ，t∈[0，24)，则实验室这一天的最大温差为4℃.                            (　　)

[答案]　(1)√　(2)√

2.电流I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的关系是I＝3sin 100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是(　　)

A． B．50　　

C． D．100

A　[T＝＝.]

3.电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin ，则当t＝ s时，电流I为________A.

2.5　[I＝5sin ＝5cos ＝2.5(A).]

4.振动量y＝sin (ωx＋φ)(φ＞0)的初相和频率分别为－π和，则它的相位是________．

3πx－π　[因为T＝，

所以ω＝3π，初相为－π，

所以相位为3πx－π.]

类型1　由模型图像解决问题

【例1】　已知电流I与时间t的关系为I＝A sin (ωt＋φ).

(1)如图所示的是I＝A sin (ωt＋φ)在一个周期内的图像，根据图中数据求I＝A sin (ωt＋φ)的解析式；

(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝A sin (ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？

[解]　(1)由题图知A＝300，设t1＝－，t2＝，

则周期T＝2(t2－t1)＝2＝.

所以ω＝＝150π.

又当t＝时，I＝0，

即sin ＝0，

而|φ|＜，所以φ＝.

故所求的解析式为I＝300sin .

(2)依题意，周期T≤，

即≤(ω＞0)，

所以ω≥300π＞942，又ω∈N*，

故所求最小正整数ω＝943.

已知三角函数图像解决应用问题，首先由图像确定三角函数的解析式，其关键是确定参数A，ω，φ)，同时在解题中注意各个参数的取值范围．

1．弹簧振子以O为平衡位置，在B，C两点间做简谐运动，B，C相距20 cm，某时刻振子处在B点，经0.5 s振子首次到达C点，求：

(1)振动的振幅、周期和频率；

(2)弹簧振子在5 s内通过的路程及位移．

[解]　(1)设振幅为A，则2A＝20 cm，

所以A＝10 cm.

设周期为T，则＝0.5 s，所以T＝1 s，所以f＝1 Hz.

(2)振子在1 s内通过的路程为4A，故在5 s内通过的路程s＝5×4A＝20A＝20×10＝200(cm).

5 s末物体处在B点，所以它的位移为0 cm.

类型2　由模型解析式解决问题

【例2】　已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin ，t∈[0，＋∞).用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．

(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？

(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？

(3)经过多长时间小球往复振动一次？

[思路探究]　确定函数y＝A sin (ωx＋φ)中的参数A，ω，φ的物理意义是解题关键．

[解]　列表如下：

描点、连线，图像如图所示．

(1)将t＝0代入s＝4sin ，得s＝4sin ＝2，所以小球开始振动时的位移是2cm.

(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.

(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s．

在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y＝A sin (ωx＋φ)来表示运动的位移y随时间x的变化规律，其中：

(1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；

(2)T＝称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；

(3)f＝称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数．

2．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin 来表示，求：

(1)开始时电压；

(2)电压值重复出现一次的时间间隔；

(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．

[解]　(1)当t＝0时，E＝110(V)，即开始时的电压为110V.

(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s.

(3)电压的最大值为220V，当100πt＋＝，即t＝s时第一次取得最大值．

类型3　确定模型解决问题

【例3】　下表是某地某年月平均气温(华氏)：

以月份为x轴(x＝月份－1)，以平均气温为y轴．

(1)描点作图，用正弦曲线去拟合这些数据；

(2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A；

(3)下面三个函数模型中，哪一个最适合这些数据？

①＝cos ；②＝cos ；③＝cos .

[解]　(1)如图．

(2)最低气温为1月份21.4，最高气温为7月份73.0，

故＝7－1＝6，所以T＝12.

因为2A的值等于最高气温与最低气温的差，

即2A＝73.0－21.4＝51.6，所以A＝25.8.

(3)因为x＝月份－1，所以不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，代入①得＝＞1≠cos ，故①不适合；

代入②得＝＜0≠cos ，故②不适合．所以应选③.

根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，然后利用这个模型解决实际问题．

3．一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为__________________．

y＝－4cos t　[设y＝A sin (ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)，则从表中数据可以得到A＝4，ω＝＝＝，又由4sin φ＝－4.0，得sin φ＝－1，得φ＝－，则y＝4sin ，即y＝－4cos t.]

1．如图所示的一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin (2t＋)，则当t＝0时，角θ的大小及单摆的频率是(　　)

A．，　 B．2，

C．，π D．2，π

A　[当t＝0时，θ＝sin ＝，由函数解析式易知，单摆的周期为＝π，故单摆的频率为，故选A.]

2．已知简谐振动的振幅是，图像上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是(　　)

A．， B．，

C．， D．，

B　[由题意可知A＝，32＋＝52，

则T＝8，ω＝＝，所以y＝sin .

由图像过点得sin φ＝，

所以sin φ＝，因为|φ|＜，所以φ＝，

因此频率是，初相为，故选B.]

3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则在下列时间段中人流量增加的是(　　)

A．[0，5] B．[5，10]

C．[10，15] D．[15，20]

C　[由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，

知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.

当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C.]

4．已知国际油价在某一段时间内呈现出正弦波动规律：P＝A sin ＋60(美元)，t为天数，A＞0，ω>0，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150天时，油价最低，则ω最小值为________．

　[A＋60＝80得A＝20，且150πω＋＝－＋2kπ，k∈Z，即k＝1时，ω最小值为.]

5．已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin ＋20，x∈[4，16].则该地区这一段时间内的最大温差为________℃.

20　[因为x∈[4，16]，则x－∈.

由函数解析式易知，当x－＝，

即x＝14时，函数取得最大值，最大值为30，即最高温度为30℃，

当x－＝－，即x＝6时，函数取得最小值，最小值为10，即最低温度为10 ℃，所以最大温差为30－10＝20(℃).]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．如何解决物理学问题？

[提示]　处理物理学问题的策略

(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．

(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．

2．解三角函数应用题的基本步骤是什么？

[提示]　解三角函数应用问题的基本步骤

(1)审清题意

读懂题目中的“文字”“图像”“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，提炼出相应的数学问题．

(2)建立函数模型

整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型.

(3)解答函数模型

利用所学的三角函数知识解答得到的三角函数模型，求得结果．

(4)得出结论

将所得结果翻译成实际问题的答案．

声音函数

人体就是一个包含各种周期运动的生物体．医学上把周期为24小时的生理运动称为中周期运动，如血压、血糖浓度的变化；小于24小时的叫短周期运动，如心跳、脉搏每分50～70次、呼吸每分16～24次；大于24小时的叫长周期运动，如人的情绪、体力、智力等．

声音中也包含着正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波．每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数y＝A sin ωt.音有四要素：音调、响度、音长和音色．这都与正弦函数的参数有关．响度与振幅有关，即与声波的能量有关，振幅越大，响度越大．音长也与振幅有关，声音消失过程是由于声波在传播过程中受阻尼振动，系统的机械能随时间逐渐减小，振动的振幅也逐渐减小．音调与声波的振动频率是有关的，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利．像我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分，如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2f，3f，4f等．这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易单独听出来．所以我们听到的声音的函数是y＝sin x＋sin 2x＋sin 3x＋sin 4x＋….

音色一般是由基音和谐音的综合作用所决定的，不同乐器、不同人发出的音调可以相同，但音色不同，人们由此分辨出不同的声音．

周期函数产生了美妙的音乐！

1．音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如图1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y＝sin ωt.图2是该函数在一个周期内的图像，根据图中数据可确定ω的值为(　　)

图1　　　　　　　　　图2

A．200　　　B．400　　　C．200π　　　400π

D　[由图像可得，ω>0，T＝4×＝，即＝，则ω＝400π.]

2．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音(如图).已知噪音的声波曲线y＝A sin (ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，0≤φ<2π)的振幅为1，周期为2π，初相为，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为(　　)

A．y＝sin x B．y＝cos x  

C．y＝－sin x D．y＝－cos x

D　[已知噪音的声波曲线y＝A sin (ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，0≤φ<2π)的振幅为1，周期为2π，初相为，可得ω＝＝＝1，

所以噪音的声波曲线为y＝sin ＝cos x，

所以通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为y＝－cos x．]