2020-2021学年8.2.1 两角和与差的余弦评课ppt课件

课后素养落实(十七)

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．计算cos 8°cos 38°＋sin 8°sin 38°等于(　　)

A．　 B．　　　

C．　 D．－

C　[逆用两角差的余弦公式，得cos 8°cos 38°＋sin 8°sin 38°＝cos (8°－38°)＝cos (－30°)＝cos 30°＝.]

2．(多选题)下列各式化简正确的是(　　)

A．cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60°

B．cos 75°＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°

C．sin (α＋45°)sin α＋cos (α＋45°)cos α＝cos 45°

D．cos ＝cos α－sin α

ABC　[根据两角和与差的余弦公式可知选项A，B，C都正确，选项D，cos ＝cos αcos －sin αsin ＝cos α－sin α.]

3．已知cos ＝，0＜θ＜，则cos θ等于(　　)

A． B．

C． D．

A　[因为θ∈，所以θ＋∈，

所以sin ＝.

故cos θ＝cos

＝cos cos ＋sin sin

＝×＋×＝.]

4．已知sin α＝，α是第二象限角，则cos (α－60°)的值为(　　)

A． B．

C． D．

B　[因为sin α＝，α是第二象限角，所以cos  α＝－，故cos (α－60°)＝cos  αcos  60°＋sin αsin 60°＝×＋×＝.]

5．若cos (α＋β)＝，cos (α－β)＝，则tan α·tan β的值为(　　)

A．2 B．  

C．－2 D．－

B　[由cos (α＋β)＝，cos (α－β)＝可得

则sin αsin β＝，cos αcos β＝.故tan αtan β＝＝＝.]

二、填空题

6．计算cos (α＋120°)cos  α－sin (α＋120°)sin (－α)＝_________.

－　[法一：cos (α＋120°)cos  α－sin (α＋120°)sin (－α)＝cos (α＋120°)cos (－α)－sin (α＋120°)sin (－α)

＝cos [(α＋120°)＋(－α)]＝cos 120°＝－.

法二：cos (α＋120°)cos α－sin (α＋120°)sin (－α)＝cos (α＋120°)cos α＋sin (α＋120°)sin α

＝cos [(α＋120°)－α]＝cos 120°＝－.]

7．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，若a与b的夹角为，则cos (α－β)＝________．

　[因为a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，

所以|a|＝|b|＝1，

又因为a与b的夹角为，

所以a·b＝|a||b|cos ＝1×1×＝.

又a·b＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)

＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos (α－β)，

所以cos (α－β)＝.]

8．如图，在平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于A，B两点，如果点A的纵坐标为，点B的横坐标为，则cos (α－β)＝________．

　[由三角函数的定义可得，sin α＝，cos  β＝，所以cos  α＝，sin β＝.

所以cos (α－β)＝cos  αcos  β＋sin αsin β＝×＋×＝.]

三、解答题

9．已知cos α＝，sin (α－β)＝，且α，β∈.求cos (2α－β)的值．

[解]　因为α，β∈，所以α－β∈，

又sin (α－β)＝>0，所以0<α－β<，

由题意得，sin α＝＝，

cos(α－β)＝＝，

cos(2α－β)＝cos [α＋(α－β)]

＝cos αcos (α－β)－sin αsin (α－β)

＝×－×＝.

10．已知cos (α－β)＝－，sin (α＋β)＝－，<α－β<π，<α＋β<2π，求β的值．

[解]　因为 <α－β<π，cos (α－β)＝－，

所以sin (α－β)＝.

因为<α＋β<2π，sin (α＋β)＝－，

所以cos (α＋β)＝.

所以cos  2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β)＝×＋×＝－1.

因为<α－β<π，<α＋β<2π，

所以<2β<，2β＝π，所以β＝.

11．(多选题)满足cos αcos β＝－sin αsin β的一组α，β的值是(　　)

A．α＝π，β＝π B．α＝，β＝

C．α＝，β＝ D．α＝，β＝

BD　[由条件cos αcos β＝－sin αsin β得cos αcos β＋sin αsin β＝，即cos (α－β)＝， α＝，β＝满足题意，α＝，β＝也满足题意，故选BD.]

12．已知cos α＝，cos (α－β)＝，且0＜β＜α＜，那么β＝(　　)

A． B．  

C． D．

C　[cos β＝cos [α－(α－β)]

＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)，由已知cos α＝，

cos (α－β)＝，0＜β＜α＜，可知sin α＝，sin (α－β)＝，代入上式得cos β＝×＋×＝＝，所以β＝.]

13．已知sin α＝－，α∈，cos  β＝－，β∈，则cos (α－β)＝________．

　[因为sin α＝－，α∈，

所以cos α＝－＝－，

又cosβ＝－，β∈，

所以sin β＝＝，

所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β

＝－×＋×＝.]

14．已知α，β均为锐角，且满足sin α＝，cos β＝，则cos (α－β)＝________，cos 2β＝________．

　　[因为α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，所以cos α＝，sin β＝.

因为>，所以α>β，

因此cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝，sin (α－β)＝＝，

cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝，sin (α＋β)＝＝，

cos2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝cos (α－β)cos (α＋β)＋sin (α－β)sin (α＋β)＝.

15．已知向量a＝(sin α，cos α－sin α)，b＝(cos β－sin β，cos β)，且a·b＝2.

(1)求cos (α＋β)的值；

(2)若0<α<，0<β<，且sin α＝，求2α＋β的值．

[解]　(1)因为a＝(sin α，cos α－sin α)，b＝(cos β－sin β，cos β)，

所以a·b＝sin α(cos β－sin β)＋(cos α－sin α)·cos β＝cos αcos β－sin αsin β＝cos (α＋β)，

因为a·b＝2，所以cos (α＋β)＝2，

即cos (α＋β)＝.

(2)因为0<α<，sin α＝，

所以cos α＝.

因为0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π.

因为cos (α＋β)＝，所以sin (α＋β)＝，

所以cos (2α＋β)＝cos [α＋(α＋β)]＝cos αcos (α＋β)－sin αsin (α＋β)＝.

因为0<α<，0<β<，所以0<2α＋β<，

所以2α＋β＝.