2018-2022年北京中考数学5年真题1年模拟汇编 专题17 圆（学生卷+教师卷）

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专题17 圆

一、单选题
1．（2019·北京·中考真题）已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（       ）

A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，则∠AOB=20°
C．MN∥CD D．MN=3CD
【答案】D
【解析】解：由作图知CM=CD=DN，
∴∠COM=∠COD，故A选项正确；

∵OM=ON=MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON=60°，
∵CM=CD=DN，
∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故B选项正确；
∵∠MOA=∠AOB=∠BON，
∴∠OCD=∠OCM= ，
∴∠MCD=，
又∠CMN=∠AON=∠COD，
∴∠MCD+∠CMN=180°，
∴MN∥CD，故C选项正确；
∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，
∴3CD＞MN，故D选项错误；
故选D．
二、填空题
2．（2021·北京·中考真题）如图，是的切线，是切点．若，则______________．

【答案】130°
【解析】解：∵是的切线，
∴，
∴由四边形内角和可得：，
∵，
∴；
故答案为130°．
3．（2018·北京·中考真题）如图，点，，，在上，，，，则________．

【答案】70°
【解析】∵=，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为
三、解答题
4．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．
(1)如图，点点在线段的延长线上，若点点为点的“对应点”．

①在图中画出点；
②连接交线段于点求证：
(2)的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】(1)解：①点Q如下图所示．
∵点，
∴点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点，
∴，
∵点关于点的对称点为，，
∴点的横坐标为：，纵坐标为：，
∴点，在坐标系内找出该点即可；

②证明：如图延长ON至点，连接AQ，
∵ ，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵ ，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；   
(2)解：如图所示，

连接PO并延长至S，使，延长SQ至T，使，
∵，点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，
∴，
∵点关于点的对称点为，
∴，
又∵，
∴OM∥ST，
∴NM为的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴，   
在中，，
结合题意，，，
∴，
即长的最大值与最小值的差为．
5．（2022·北京·中考真题）如图，是的直径，是的一条弦，连接

(1)求证：
(2)连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【解析】(1)证明：设交于点，连接，

由题可知，
，，
，
，
，
，
，
，
；
(2)证明：

连接，
，
，
同理可得：,，
∵点H是CD的中点，点F是AC的中点，
，
，
，
，
为的直径，   
，
，
，
，
，
，
直线为的切线．
6．（2021·北京·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，于点．

（1）求证：；
（2）连接并延长，交于点，交于点，连接．若的半径为5，，求和的长．
【答案】（1）见详解；（2），
【解析】（1）证明：∵是的直径，，
∴，
∴；
（2）解：由题意可得如图所示：

由（1）可得点E为BC的中点，
∵点O是BG的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的半径为5，
∴，
∴，
∴．
7．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（分别是的对应点），则称线段是的以点为中心的“关联线段”．

（1）如图，点的横､纵坐标都是整数．在线段中，的以点为中心的“关联线段”是______________；
（2）是边长为1的等边三角形，点，其中．若是的以点为中心的“关联线段”，求的值；
（3）在中，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应的长．
【答案】（1）；（2）；（3）当时，此时；当时，此时．
【解析】解：（1）由题意得：

通过观察图象可得：线段能绕点A旋转90°得到的“关联线段”，都不能绕点A进行旋转得到；
故答案为；
（2）由题意可得：当是的以点为中心的“关联线段”时，则有是等边三角形，且边长也为1，当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：

设与y轴的交点为D，连接，易得轴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：

同理可得此时的，
∴；
（3）由是的以点为中心的“关联线段”，则可知都在上，且，则有当以为圆心，1为半径作圆，然后以点A为圆心，2为半径作圆，即可得到点A的运动轨迹，如图所示：

由运动轨迹可得当点A也在上时为最小，最小值为1，此时为的直径，
∴，
∴，
∴；
由以上情况可知当点三点共线时，OA的值为最大，最大值为2，如图所示：

连接，过点作于点P，
∴，
设，则有，
∴由勾股定理可得：，即，
解得：，
∴，
∴，
在中，，
∴；
综上所述：当时，此时；当时，此时．
8．（2020·北京·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠ADC=∠AOF；
（2）若sinC=，BD=8，求EF的长．

【答案】（1）见解析；（2）2．
【解析】（1）证明：连接OD，

∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ADC+∠ODA=90°，
∵OF⊥AD，
∴∠AOF+∠DAO=90°，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠DAO，
∴∠ADC=∠AOF；
（2）设半径为r，

在Rt△OCD中，，
∴，
∴，
∵OA=r，
∴AC=OC-OA=2r，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵OF⊥AD，
∴OF∥BD，
∴，
∴OE=4，
∵，
∴，
∴．
9．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦（分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．

（1）如图，平移线段AB到⊙O的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是 ；在点中，连接点A与点 的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；
（2）若点A，B都在直线上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，求的最小值；
（3）若点A的坐标为，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，直接写出的取值范围．
【答案】（1）平行，P3；（2）；（3）
【解析】解：（1）平行；P3；
（2）如图，线段AB在直线上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD，CD∥AB，过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD于点F，OF⊥CD，令，直线与x轴交点为（-2，0），直线与x轴夹角为60°，∴．
由垂径定理得：，
∴；

（3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可；
点A到O的距离为．
如图，平移距离的最小值即点A到⊙O的最小值：；

平移距离的最大值线段是下图AB的情况，即当A1,A2关于OA对称，且A1B2⊥A1A2且A1B2=1时.∠B2A2A1=60°，则∠OA2A1=30°,
∵OA2=1,∴OM=, A2M=,
∴MA=3,AA2= ,

∴的取值范围为：．
10．（2020·北京·中考真题）已知：如图，ABC为锐角三角形，AB=AC，CD∥AB．
求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=．
作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP= ．
∵AB=AC，
∴点B在⊙A上．
又∵∠BPC=∠BAC（ ）（填推理依据）
∴∠ABP=∠BAC

【答案】（1）见解析；（2）∠BPC，在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
【解析】解：（1）依据作图提示作图如下：

（2）证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP= ．
∵AB=AC，
∴点B在⊙A上．
又∵∠BPC=∠BAC（在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半． ）（填推理依据）
∴∠ABP=∠BAC
故答案为：∠BPC；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
11．（2019·北京·中考真题）在△ABC中，，分别是两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，下图中是△ABC的一条中内弧．

（1）如图，在Rt△ABC中，分别是的中点．画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；

（2）在平面直角坐标系中，已知点，在△ABC中，分别是的中点．
①若，求△ABC的中内弧所在圆的圆心的纵坐标的取值范围；
②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）；（2）①P的纵坐标或；②.
【解析】解：（1）如图2，

以DE为直径的半圆弧，就是△ABC的最长的中内弧，连接DE，∵∠A=90°，AB=AC=2，D，E分别是AB，AC的中点，，
∴弧；
（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，

①当时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），，
设由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1，
∵OA=OC，∠AOC=90°
∴∠ACO=45°，
∵DE∥OC
∴∠AED=∠ACO=45°
作EG⊥AC交直线FP于G，FG=EF=
根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；

综上所述，或m≥1．
②图4，设圆心P在AC上，

∵P在DE中垂线上，
∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM=
，
∵DE∥BC
∴∠ADE=∠AOB=90°，

∵PD=PE，
∴∠AED=∠PDE
∵∠AED+∠DAE=∠PDE+∠ADP=90°，
∴∠DAE=∠ADP

由三角形中内弧定义知，PD≤PM
，AE≤3，即，解得：

12．（2019·北京·中考真题）在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．
（1）求证：AD=CD；
（2）过点D作DEBA，垂足为E，作DFBC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD=CM，求直线DE与图形G的公共点个数．

【答案】依题意画出图形G为⊙O，如图所示,见解析；（1）证明见解析；（2）直线DE与图形G的公共点个数为1个.
【解析】如图所示，依题意画出图形G为⊙O，如图所示

（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，
∴，∴AD=CD
（2）解：∵AD=CD，AD=CM，∴CD=CM.∵DF⊥BC，∴∠DFC=∠CFM=90°
在Rt△CDF和Rt△CMF中
，∴Rt△CDF≌Rt△CMF（HL），∴DF=MF，∴BC为弦DM的垂直平分线
∴BC为⊙O的直径，连接OD
∵∠COD=2∠CBD，∠ABC=2∠CBD，∴∠ABC=∠COD，∴OD∥BE.
又∵DE⊥BA，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线.
∴直线DE与图形G的公共点个数为1个.
13．（2018·北京·中考真题）对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“闭距离”，记作（，）．
已知点（，6），（，），（6，）．
（1）求（点，）；
（2）记函数（，）的图象为图形，若（，），直接写出的取值范围；
（3）的圆心为（t，0），半径为1．若（，），直接写出t的取值范围．
【答案】（1）2；（2）或；（3）或或．
【解析】（1）如下图所示：

∵（，），（6，）
∴（0，）
∴（，）
（2）或


（3）或或．

14．（2018·北京·中考真题）如图，是与弦所围成的图形的内部的一定点，是弦上一动点，连接并延长交于点，连接．已知，设，两点间的距离为，，两点间的距离为，，两点间的距离为．

小腾根据学习函数的经验，分别对函数，随自变量的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了，与的几组对应值；

0
1
2
3
4
5
6
















（2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（，），（，），并画出函数，的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当为等腰三角形时，的长度约为____．
【答案】（1）3.00；（2）作图见解析；（3）或或．
【解析】解：（1）
（2）如下图所示：

（3）或或．
如下图所示，函数图象的交点的横坐标即为所求．

15．（2018·北京·中考真题）如图，是的直径，过外一点作的两条切线，，切点分别为，，连接，．
（1）求证：；
（2）连接，，若，，，求的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：∵、与相切于、．
∴，平分．
在等腰中，，平分．
∴于，即．
（2）解：连接、．
∵

∴
∴
同理：
∴．
在等腰中，．
∴．
∵与相切于．
∴．
∴．
在中，，
∴．

一、单选题
1．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知，圆锥的侧面积为，则的值为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】BC为底面直径，已知，
，
圆锥的侧面积为，
，
中，，
．
故选：B．
2．（2022·北京大兴·一模）如图，AB是的弦，半径于点D，若，，则OB的长是（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】解：∵
∴AD=BD
∵
∴BD=AB=4
∵
设OB=x，OD=x-2
由勾股定理得，
即，
解得：x=5
故选：C
3．（2022·北京平谷·一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝110°，则∠AOC的度数是（　　）

A．55° B．110° C．130° D．140°
【答案】D
【解析】解：，
，
．
故选：D．
4．（2022·北京海淀·一模）某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为O．A，B是舞台边缘上两个固定位置，由线段AB及优弧围成的区域是表演区．若在A处安装一台某种型号的灯光装置，其照亮区域如图1中阴影所示．若在B处再安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示．

若将灯光装置改放在如图3所示的点M，N或P处，能使表演区完全照亮的方案可能是（       ）
①在M处放置2台该型号的灯光装置
②在M，N处各放置1台该型号的灯光装置
③在P处放置2台该型号的灯光装置
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【解析】在M处放置2台该型号的灯光装置，如下图

∵在A、B两处安装各一台某种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，
∴优弧所对圆周角
如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为，且
∴为优弧所对圆周角
∴，即①方案成立；
在M，N处各放置1台该型号的灯光装置，分别连接、、、、、,如下图，

∵，
∴②方案成立；
在P处放置2台该型号的灯光装置，如下图，MN和相切于点P

如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为总
根据题意， ，即两台灯光照亮角度总和
∴③方案不成立；
故选：A．
5．（2022·北京市十一学校模拟预测）若圆锥的侧面积为，底面半径为3．则该圆锥的母线长是（       ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】解：底面半径为3，圆锥的侧面积为，
设该圆锥的母线长是l，
由S=πrl可得18π=3πl．
解得：l＝6，
故答案选：D．
二、填空题
6．（2022·北京东城·一模）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC=90°，∠BAC=30°，则∠AOB的度数为________．

【答案】30°
【解析】解：∵∠BAC与∠BOC所对弧为，
由圆周角定理可知：∠BOC=2∠BAC=60°，
又∠AOC=90°，
∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-60°=30°．
故答案为：30°．
7．（2022·北京石景山·一模）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD分别与⊙O相切于点C，D，若∠CPA=40°，则∠CAD的度数为______°．

【答案】50
【解析】解：连接OC、OD，如图，

∵PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D，
∴OC⊥CP，OD⊥DP，
∵OP=OP，OC=OD，
∴△POC≌△POD(HL)，
∴∠CPO=∠DPO，
∵∠CPA=40°，
∴∠CPD=80°，
∴∠COD=360°-80°-90°-90°=100°，
∵∠CAD=∠COD=50°，
故答案为：50．
8．（2022·北京大兴·一模）已知72°的圆心角所对的弧长为cm，则此弧所在圆的半径是______cm．
【答案】5
【解析】解：设此弧所在圆的半径为Rcm，
则＝，
解得，R＝5（cm），
故答案为5．
9．（2022·北京师大附中模拟预测）如图，OA，OB，OC均为⊙O的半径，OA⊥OB，，若点D是弧AB上的一点，则∠ADC的度数为_____．

【答案】112.5°
【解析】
解：作所对的圆周角∠AEC，如图，

∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB＝45°，
∵，
∴∠COA+∠OAB＝180°，
∴∠COA＝180°－45°＝135°，
∴，
∵∠CEA+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°－67.5°＝112.5°．
故答案为112.5°．
10．（2022·北京海淀·一模）如图，PA，PB是的切线，A，B为切点．若，则的大小为______．

【答案】60°
【解析】 PA，PB是的切线，A，B为切点





故答案为：60°．
11．（2022·北京朝阳·一模）如图，是的弦，是的切线，若，则_________．

【答案】60
【解析】解：如图，连接OA，OB，

∵是的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB
∴∠PAO=∠PBO=90°
∵，
∴∠AOB=2∠C=120º，
∵四边形内角和等于360º．
∴在四边形AOBP中，
∠P=360º-90º-90º-120º=60º．
故答案为：60．
12．（2022·北京西城·一模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠CBA=50°，则∠CDB=______°．

【答案】40
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CBA=50°，
∴∠A=90°-∠CBA=40°，
∵∠CDB=∠A，
∴∠CDB=40°．
故答案为：40
13．（2022·北京市第七中学一模）如图，⊙中，半径于点，点在⊙上，，，则半径等于______．

【答案】
【解析】解：⊙中，半径于点，
，，
点在⊙上，，
，
在中，，，，则由勾股定理得，
故答案为．
14．（2022·北京市第五中学分校模拟预测）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝45°，则∠AOB＝_____°．

【答案】135
【解析】解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴由四边形内角和可得：∠AOB+∠P=180°，
∵∠P=45°，
∴∠AOB=135°；
故答案为：135．
15．（2022·北京·中国人民大学附属中学朝阳学校一模）如图，四边形是平行四边形，经过点A，C，D与交于点E，连接，若，则_____________．

【答案】
【解析】四边形是的内接四边形


，

四边形是平行四边形，


故答案为：
三、解答题
16．（2022·北京市十一学校模拟预测）如图，AB是的弦，C为上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与交于点E，连接EC，CD是的切线．

(1)求证：；
(2)若，，求BD的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【解析】(1)证明：连接OC，如下图．
∵CD是的切线，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；

(2)解：连接BC和AC，CO，如下图．
∵BE是的直径，
∴，
∴．
∵CD是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．

17．（2022·北京房山·二模）下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．

已知：和圆外一点P．
求作：过点P的的切线．
作法：①连接；作的垂直平分线与交于点M；②以半径作，交于点A，B；③作直线；
所以直线为的切线．
请利用尺规作图补全小文的作图过程，并完成下面的证明．
证明：连接．
∵为的直径，
∴__________=__________（__________）（填推理的依据）．
∴
∵为半径，
∴直线为的切线．（__________）（填推理的依据）．
【答案】OBP，90，直径所对圆周角为直角，过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线
【解析】尺规作图如下：

连接OA，OB．
∵OP为⊙M的直径，
∴根据直径所对圆周角为直角有∠OAP=∠OBP=90°．
∴OA⊥AP，OB⊥BP
∵OA、OB为⊙O半径，
又∵过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，
∴直线PA、PB为⊙O的切线．
故答案为：OBP，90，直径所对圆周角为直角，过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线．

18．（2022·北京房山·二模）如图，在中，的平分线交于点E，过点E作直线的垂线于交于点F，是的外接圆．

(1)求证：是的切线；
(2)过点E作于点H，若，求的长度．
【答案】(1)见详解
(2)2
【解析】(1)连接OE，如图，

∵EF⊥BE，
∴∠BEF=90°，
∵⊙O是△BEF的外接圆，
∴BF是⊙O的直径，OE是⊙O的半径，
∴∠OEB=∠OBE，
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠OBE=∠CBE，
∴∠OEB=∠CBE，
∴，
∴∠OEA=∠C=90°，即OE⊥AC，
∵OE是半径，
∴AC是⊙O的切线；
(2)连接ED，如图，

∵BE平分∠ABC，且EH⊥BA，EC⊥BC，
∴EH=EC，
∵四边形BDEF是⊙O的内接四边形，
∴∠EFH=∠EDC，
∵∠EHF=∠C=90°，
∴△EHF≌△ECD，
∴HF=CD=2，
即HF的值为2．
19．（2022·北京·清华附中一模）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．

(1)如图1，已知点，；
①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是______，最大值是______；
②在，，这三个点中，与点O是线段AB的一对平衡点的是______．
(2)如图2，已知⊙O的半径为1，点D的坐标为（5，0）．若点在第一象限，且点D与点E是⊙O的一对平衡点，求x的取值范围；
(3)如图3，已知点，以点O为圆心，OH长为半径画弧交x的正半轴于点K．点（其中）是坐标平面内一个动点，且，⊙C是以点C为圆心，半径为2的圆，若HK上的任意两个点都是⊙C的一对平衡点，直接写出b的取值范围．
【答案】(1)①3，；
②；
(2)；
(3)
【解析】(1)由题意可知，OA=3，，
则d的最小值为3，最大值为，
根据平衡点的定义，点P1与点O是线段AB的一对平衡点；
(2)如图，

由题意点D到⊙O的距离是4，最远距离是6，
∵点D与点E是⊙O的一对平衡点，此时需要满足E1到⊙O的最大距离是4，
即OE1=3，可得，
同理：当E2到⊙O的最小距离是6时，OE2=7，此时，
综上所述，满足条件的x的值为：；
(3)∵点C在以O为圆心，5为半径的圆上运动，
∴以C为圆心、2为半径的圆刚好与相切，此时要想上任意的两点都是⊙C的平衡点需要满足，，
如下图，当CK=6时，作CM⊥HK于点M，

根据题意有：
，解得：，（b为负值的舍去），
当CH=6时，如下图，同理可得，

在两者中间时，a=0，b=5，
观察图像可知：满足条件的b的取值范围：．
20．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点P不在坐标轴上，点P关于x轴的对称点为P1，点P关于y轴的对称点为P2，称△P1PP2为点P的“关联三角形”．

(1)已知点A(1，2)，求点A的“关联三角形”的面积；
(2)如图，已知点B(m，n)，⊙T的圆心为T(2，2)，半径为2．若点B的“关联三角形”与⊙T有公共点，直接写出m的取值范围；
(3)已知⊙O的半径为r，OP=2r，若点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，直接写出∠PP1P2的取值范围．
【答案】(1)4
(2)0