2018-2022年河北中考数学5年真题1年模拟汇编 专题06 圆（学生卷+教师卷）

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专题06 圆
5年中考真题
一、单选题
1．【2022年】某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（       ）

A．cm B．cm C．cm D．cm
【答案】A
【解析】
【分析】
如图，根据切线的性质可得，根据四边形内角和可得的角度，进而可得所对的圆心角，根据弧长公式进行计算即可求解．
【详解】
解：如图，

PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．
，
∠P＝40°，
，
该圆半径是9cm，
cm，
故选：A．
【点睛】
本题考查了切线的性质，求弧长，牢记弧长公式是解题的关键．
2．【2021年】如图，等腰中，顶角，用尺规按①到④的步骤操作：
①以为圆心，为半径画圆；
②在上任取一点（不与点，重合），连接；
③作的垂直平分线与交于，；
④作的垂直平分线与交于，．
结论Ⅰ：顺次连接，，，四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：上只有唯一的点，使得．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（       ）

A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
【答案】D
【解析】
【分析】
Ⅰ、根据“弦的垂直平分线经过圆心”，可证四边形MENF的形状；
Ⅱ、在确定点P的过程中，看∠MOF=40°是否唯一即可．
【详解】
解：Ⅰ、如图所示．

∵MN是AB的垂直平分线，EF是AP的垂直平分线，
∴MN和EF都经过圆心O，线段MN和EF是⊙O的直径．
∴OM=ON，OE=OF．
∴四边形MENF是平行四边形．
∵线段MN是⊙O的直径，
∴∠MEN=90°．
∴平行四边形MENF是矩形．
∴结论Ⅰ正确；
Ⅱ、如图2，当点P在直线MN左侧且AP=AB时，
∵AP=AB，
∴．
∵MN⊥AB，EF⊥AP，
∴
∴
∴
∴．
∴．
∵扇形OFM与扇形OAB的半径、圆心角度数都分别相等，
∴．
如图，


当点P在直线MN右侧且BP=AB时，
同理可证：．
∴结论Ⅱ错误．
故选：D
【点睛】
本题考查了圆的有关性质、矩形的判定、扇形面积等知识点，熟知圆的有关性质、矩形的判定方法及扇形面积公式是解题的关键．
3．【2020年】有一题目：“已知；点为的外心，，求．”嘉嘉的解答为：画以及它的外接圆，连接，，如图．由，得．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（       ）

A．淇淇说的对，且的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，应得50°
D．两人都不对，应有3个不同值
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
【详解】
解：如图所示：
∵∠BOC=130°，
∴∠A=65°，
∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．
故∠A′＝180°−65°＝115°．

故选：A．
【点睛】
此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键．
4．【2018年】如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（　　）

A．4.5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】
【详解】
【分析】连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB的长．
【详解】连接AI、BI，
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI=∠BAI，
由平移得：AC∥DI，
∴∠CAI=∠AID，
∴∠BAI=∠AID，
∴AD=DI，
同理可得：BE=EI，
∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，
即图中阴影部分的周长为4，
故选B．

【点睛】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．
5．【2019年】根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断．
【详解】
三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．
故选C．
【点睛】
本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外心．
二、解答题
6．【2022年】如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线．嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m．

(1)求∠C的大小及AB的长；
(2)请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：取4，取4.1）
【答案】(1)，
(2)见详解，约米
【解析】
【分析】
（1）由水面截线可得，从而可求得，利用锐角三角形的正切值即可求解．
（2）过点作，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，过点M作MG⊥OB于G，水面截线，即可得DH即为所求，由圆周角定理可得，进而可得，利用相似三角形的性质可得，利用勾股定理即可求得的值，从而可求解．
(1)解：∵水面截线
，
，
，
在中，，，
，
解得．
(2)过点作，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，过点M作MG⊥OB于G，如图所示：

水面截线，，
，，
为最大水深，
，
，
，且，
，
，即，即，
在中，，，
，即，
解得，
，
最大水深约为米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，主要考查了锐角三角函数的正切值、圆周角定理、相似三角形的判定及性质、平行线的性质和勾股定理，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解题的关键．
7．【2021年】如图，的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为（为1~12的整数），过点作的切线交延长线于点．

（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；
（2）连接，则和有什么特殊位置关系？请简要说明理由；
（3）求切线长的值．
【答案】（1）劣弧更长；
（2）和互相垂直，理由见解析；
（3）．
【解析】
【分析】
（1）分别求出劣弧和直径的长，比较大小；
（2）连接，，求出，即可得出垂直的位置关系；
（3）根据圆的知识求出，又是的切线，利用三角函数求解即可．
【详解】
（1）劣弧，
直径，
因为，故劣弧更长．
（2）如下图所示连接，，由图可知是直径，

∴对应的圆周角
∴和互相垂直．
（3）如上图所示，
∵是的切线
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了圆的基本性质、特殊角的三角函数的基本知识．半圆（或直径）所对的圆周角是直角．在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半．
8．【2019年】如图，△ABC和△ADE中，AB=AD=6，BC=DE，∠B=∠D=30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．
（1）求证：∠BAD=∠CAE；
（2）设AP=x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．

【答案】（1）详见解析；（2）PD的最大值为3；（3）m=105，n=150．
【解析】
【分析】
（1）根据ASA证明△ABC≌△ADE，得∠BAC=∠DAE，即可得出结论．
（2）PD=AD﹣AP=6﹣x．可得AP的最小值即AP⊥BC时AP的长度，此时PD可得最大值．
（3）I为△APC的内心，即I为△APC角平分线的交点，应用“三角形内角和等于180°“及角平分线定义即可表示出∠AIC，从而得到m，n的值．
【详解】
（1）如图1．在△ABC和△ADE中，∵，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE．
（2）∵AD=6，AP=x，∴PD=6﹣x．
当AD⊥BC时，APAB=3最小，即PD=6﹣3=3为PD的最大值．
（3）如图2，设∠BAP=α，则∠APC=α+30°．
∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∠PCA=60°，∠PAC=90°﹣α．
∵I为△APC的内心，∴AI平分∠PAC，CI平分∠PCA，∴∠IAC∠PAC，∠ICA∠PCA，∴∠AIC=180°﹣（∠IAC+∠ICA）=180°（∠PAC+∠PCA）=180°（90°﹣α+60°）α+105°
∵0＜α＜90°，∴105°α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，∴m=105，n=150．

【点睛】
本题是一道几何综合题，考查了垂线段最短，含30°的角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内心概念及角平分线定义等，解题的关键是将PD最大值转化为PA的最小值．
9．【2018年】如图，∠A=∠B=50°，P为AB中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN=α．
（1）求证：△APM≌△BPN；
（2）当MN=2BN时，求α的度数；
（3）若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围．

【答案】（1）证明见解析；（2）α=50°；（3）40°＜α＜90°．
【解析】
【分析】
（1）根据AAS即可证明△APM≌△BPN；
（2）由（1）中的全等得：MN=2PN，所以PN=BN，由等边对等角可得结论；
（3）三角形的外心是外接圆的圆心，三边垂直平分线的交点，直角三角形的外心在直角顶点上，钝角三角形的外心在三角形的外部，只有锐角三角形的外心在三角形的内部，所以根据题中的要求可知：△BPN是锐角三角形，由三角形的内角和可得结论．
【详解】
（1）∵P是AB的中点，
∴PA=PB，
在△APM和△BPN中，
，
∴△APM≌△BPN；
（2）由（1）得：△APM≌△BPN，
∴PM=PN，
∴MN=2PN，
∵MN=2BN，
∴BN=PN，
∴α=∠B=50°；
（3）∵△BPN的外心在该三角形的内部，
∴△BPN是锐角三角形，
∵∠B=50°，
∴40°＜∠BPN＜90°，即40°＜α＜90°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外接圆圆心的位置等，综合性较强，难度适中，解题的关键是熟练掌握三角形外心的位置.
10．【2020年】如图，点为中点，分别延长到点，到点，使．以点为圆心，分别以，为半径在上方作两个半圆．点为小半圆上任一点（不与点，重合），连接并延长交大半圆于点，连接，．

（1）①求证：；
②写出∠1，∠2和三者间的数量关系，并说明理由．
（2）若，当最大时，直接指出与小半圆的位置关系，并求此时（答案保留）．
【答案】（1）①见详解；②∠2=∠C+∠1；（2）与小半圆相切，．
【解析】
【分析】
（1）①直接由已知即可得出AO=PO，∠AOE=∠POC，OE=OC，即可证明；
②由（1）得△AOE≌△POC，可得∠1=∠OPC，根据三角形外角的性质可得∠2=∠C+∠OPC，即可得出答案；
（2）当最大时，可知此时与小半圆相切，可得CP⊥OP，然后根据，可得在Rt△POC中，∠C=30°，∠POC=60°，可得出∠EOD，即可求出S扇EOD．
【详解】
（1）①在△AOE和△POC中，
∴△AOE≌△POC；
②∠2=∠C+∠1，理由如下：
由（1）得△AOE≌△POC，
∴∠1=∠OPC，
根据三角形外角的性质可得∠2=∠C+∠OPC，
∴∠2=∠C+∠1；
（2）在P点的运动过程中，只有CP与小圆相切时∠C有最大值，
∴当最大时，可知此时与小半圆相切，
由此可得CP⊥OP，
又∵，
∴可得在Rt△POC中，∠C=30°，∠POC=60°，
∴∠EOD=180°-∠POC=120°，
∴S扇EOD==．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角，切线的性质，扇形面积的计算，掌握知识点灵活运用是解题关键．
11．【2019年】如图1和2，中，AB=3，BC=15，．点为延长线上一点，过点作切于点，设．

（1）如图1，为何值时，圆心落在上？若此时交于点，直接指出PE与BC的位置关系；
（2）当时，如图2，与交于点，求的度数，并通过计算比较弦与劣弧长度的大小；
（3）当与线段只有一个公共点时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）当x=9时，圆心O落在AP上，PE⊥BC；（2）∠CAP=45°，弦AP的长度＞劣弧长度；（3）x≥18．
【解析】
【分析】
（1）由三角函数定义知：Rt△PBC中，tan∠PBC=tan∠DAB，设CP=4k，BP=3k，由勾股定理可求得BC，根据“直径所对的圆周角是直角”可得PE⊥AD，由此可得PE⊥BC；
（2）作CG⊥AB，运用勾股定理和三角函数可求CG和AG，再应用三角函数求∠CAP，应用弧长公式求劣弧长度，再比较它与AP长度的大小；
（3）当⊙O与线段AD只有一个公共点时，⊙O与AD相切于点A，或⊙O与线段DA的延长线相交于另一点，此时，BP有最小值，即x≥18．
【详解】
（1）如图1，AP经过圆心O．
∵CP与⊙O相切于P，∴∠APC=90°．
∵▱ABCD，∴AD∥BC，∴∠PBC=∠DAB，∴tan∠PBC=tan∠DAB，设CP=4k，BP=3k，由CP2+BP2=BC2，得（4k）2+（3k）2=152，解得：k1=﹣3（舍去），k2=3，∴x=BP=3×3=9，故当x=9时，圆心O落在AP上；
∵AP是⊙O的直径，∴∠AEP=90°，∴PE⊥AD．
∵▱ABCD，∴BC∥AD，∴PE⊥BC．
（2）如图2，过点C作CG⊥AP于G．
∵▱ABCD，∴BC∥AD，∴∠CBG=∠DAB，∴tan∠CBG=tan∠DAB，设CG=4m，BG=3m，由勾股定理得：（4m）2+（3m）2=152，解得：m=3，∴CG=4×3=12，BG=3×3=9，PG=BG﹣BP=9﹣4=5，AP=AB+BP=3+4=7，∴AG=AB+BG=3+9=12，∴tan∠CAP1，∴∠CAP=45°；
连接OP，OQ，过点O作OH⊥AP于H，则∠POQ=2∠CAP=2×45°=90°，PHAP．
在Rt△CPG中，13．
∵CP是⊙O的切线，∴∠OPC=∠OHP=90°，∠OPH+∠CPG=90°，∠PCG+∠CPG=90°，∴∠OPH=∠PCG，∴△OPH∽△PCG，∴，即PH×CP=CG×OP，13=12OP，∴OP，∴劣弧长度．
∵2π＜7，∴弦AP的长度＞劣弧长度．
（3）当⊙O与线段AD只有一个公共点时，⊙O与AD相切于点A，或⊙O与线段DA的延长线相交于另一点，此时圆心O位于直线AB下方，且∠OAD≥90°，当∠OAD=90°，∠CPM=∠DAB时，即⊙O与DA切于点A时，BP取得最小值，如图3，过点C作CM⊥AB于M．
∵∠DAB=∠CBP，∴∠CPM=∠CBP，∴CB=CP．
∵▱ABCD，∴AD∥BC，∴∠PBC=∠DAB，∴tan∠PBC=tan∠DAB，设CM=4k，BM=3k，由CM2+BM2=BC2，得（4k）2+（3k）2=152，解得：k1=﹣3（舍去），k2=3，∴x=BM=3×3=9．
∵CM⊥AB，∴BP=2BM=2×9=18，∴x≥18．
          
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了圆的切线性质，相似三角形性质，解直角三角形，勾股定理，弧长计算等；综合性较强，学生解题时要灵活运用所学数学知识解决问题．
12．【2018年】如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为圆心，OA为半径作优弧，使点B在O右下方，且tan∠AOB=，在优弧上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP．
(1)若优弧上一段的长为13π，求∠AOP的度数及x的值；
(2)求x的最小值，并指出此时直线l与所在圆的位置关系；
(3)若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值．
1
【答案】（1）∠POA=90°，x=；（2）当直线PQ与⊙O相切时时，此时x的值为﹣32.5；（3）满足条件的x的值为﹣16.5或31.5或﹣31.5．
【解析】
【分析】
（1）利用弧长公式求出圆心角即可解决问题；
（2）如图当直线PQ与⊙O相切时时，x的值最小；
（3）由于P是优弧上的任意一点，所以P点的位置分三种情形，分别求解即可解决问题．
(1)
解：如图1中，

由=13π，
解得n=90°，
∴∠POQ=90°，
∵PQ∥OB，
∴∠PQO=∠BOQ，
∴tan∠PQO=tan∠QOB=，
∴OQ=，
∴x=；
(2)
解：如图当直线PQ与⊙O相切时时，x的值最小，

在Rt△OPQ中，OQ=OP÷=32.5，
此时x的值为﹣32.5；
(3)
解：分三种情况：
①如图2中，作OH⊥PQ于H，设OH=4k，QH=3k，

在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，
∴262=（4k）2+（12.5﹣3k）2，
整理得：k2﹣3k﹣20.79=0，
解得k=6.3或﹣3.3（舍弃），
∴OQ=5k=31.5，
此时x的值为31.5；
②如图3中，作OH⊥PQ交PQ的延长线于H．设OH=4k，QH=3k，

在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，
∴262=（4k）2+（12.5+3k）2，
整理得：k2+3k﹣20.79=0，
解得k=﹣6.3（舍弃）或3.3，
∴OQ=5k=16.5，
此时x的值为﹣16.5，
③如图4中，作OH⊥PQ于H，设OH=4k，AH=3k，

在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，
∴262=（4k）2+（12.5﹣3k）2，
整理得：k2﹣3k﹣20.79=0，
解得k=6.3或﹣3.3（舍弃），
∴OQ=5k=31.5不合题意舍弃，
此时x的值为﹣31.5；
综上所述，满足条件的x的值为﹣16.5或31.5或﹣31.5．
【点睛】
本题考查了弧长公式、平行线的性质、解直角三角形等知识，综合性较强，有一定的难度，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．

1年模拟新题
一、单选题
1．（2022·河北唐山·三模）在平面内与点的距离为1cm的点的个数为（       ）
A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据在平面内到定点的距离等于定长的点组成的图形为圆进行求解即可．
【详解】
解：∵在平面内与点的距离为1cm的点在以P为圆心，以1cm长为半径的圆上，
∴在平面内与点的距离为1cm的点的个数为无数个，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了圆的定义，熟知圆的定义是解题的关键．
2．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）已知：如图，半径为5，切于点，交于点，，那么的长等于（       ）

A．6 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
连接OC，根据切线性质可得，根据勾股定理求出结果即可．
【详解】
解：连接OC，如图所示：

∵PC为的切线，
∴，
，，
∴，
在Rt△POC中，根据勾股定理可得：
，故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，勾股定理，作出辅助线，熟练掌握切线性质，是解题的关键．
3．（2022·河北唐山·一模）如图，已知，用尺规按照下面步骤操作：
作线段的垂直平分线；
作线段的垂直平分线，交于点；
以为圆心，长为半径作．
结论：点是的外心；结论：
则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是（   ）

A．和Ⅱ都对
B．和Ⅱ都不对
C．不对，对
D．对，Ⅱ不对
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形外心的定义对结论 Ⅰ 进行判断；利用点 D、 G有任意性可对结论 Ⅱ 进行判断．
【详解】
解：点是和的垂直平分线的交点，
点是的外心，故结论Ⅰ正确；
点，的位置不确定，
和的长度不确定，故结论Ⅱ不正确．
故选：．
【点睛】
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和三角形的外心与内心，熟练掌握尺规作图和三角形外心的性质是解题的关键．
4．（2022·河北承德·二模）如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．若再选择一个格点C，使△ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C的个数是（       ）

A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°时，分别画出符合条件的图形，即可解答．
【详解】
解：分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°如图

符合条件的格点C的个数是6个
故选：D．
【点睛】
本题考查正多边形和圆的性质、直角三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是90°等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
5．（2022·河北承德·二模）仅用无刻度的直尺完成下列画图（虚线是画图痕迹）：

①如图1，，AD＝BC，E为AD的中点，找到BD的三等分点F；
②如图2，，AD＝2BC，E为AD的中点，画出△ADC的中线DF；
③如图3，AB是半圆的直径，点C在半圆内，画出△ABC的高CF．
其中画图正确的个数是（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质、平行的性质以及三角形垂心的性质判断即可．
【详解】
①∵AD=BC，E为AD中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即①正确；
②∵E为AD中点，
∴AE=ED，即AD=2ED，
∵AD=2BC，
∴ED=BC=AE，
∵，
∴，
∴，
∴F点为AC中点，
∴DF为△ADC的中线，，
即②正确；
③根据作图痕迹可知作图方法：延长BC、AC交圆于点D、E，连接AD、BE，并延长AD、BE交于点P，连接PC交AB于F，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∴BD⊥AP，AE⊥BP，
∴可知BD、AE是△APB的高线，
∴则C点为△APB的垂心，
∴PF也是△APB的高线，
∴PF⊥AB，
∴CF是△ABC的高，即③正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了复杂作图，还考查了平行四边形的性质、平行的性质以及三角形垂心的性质，根据作图痕迹明确作图方法是解答本题的关键．
6．（2022·河北唐山·三模）如图，点为的内心，，，点，分别为，上的点，且．甲、乙、丙三人有如下判断：甲：；乙：四边形的面积为定值；丙：当时，的周长有最小值．则下列说法正确的是（       ）

A．只有甲正确 B．只有乙错误
C．乙、丙都正确 D．只有丙错误
【答案】D
【解析】
【分析】
过点O作OD⊥BC，OE⊥AB于点D，E，连接OB，根据三角形内心可得OD=OE，然后证明Rt△DON≌Rt△EOM（HL），得∠DON=∠EOM，因为∠B=60°，所以∠DOE=120°，即可得∠MON=∠EOM+∠EON=∠DON+∠EON=∠DOE=120°；根据Rt△DON≌Rt△EOM，可得四边形OMBN的面积=2S△BOD，根据点D的位置固定，可得四边形OMBN的面积是定值；过点O作OF⊥MN于点F，根据ON=OM，∠MON=120°，可得∠ONM=30°，MN=2NF=2ONcos30°=ON，所以△MON的周长=（+2）ON，可得当ON最小时，即当ON⊥BC时，△MON的周长最小值，进而可做出判断．
【详解】
解：如图，过点O作OD⊥BC，OE⊥AB于点D，E，连接OB，

∴∠ODN=∠OEM=90°，
∵点O为△ABC的内心，
∴OB是∠ABC的平分线，
∴OD=OE，
在Rt△DON和Rt△EOM中，
，
∴Rt△DON≌Rt△EOM（HL），
∴∠DON=∠EOM，
∵∠B=60°，
∴∠DOE=120°，
∴∠MON=∠EOM+∠EON=∠DON+∠EON=∠DOE=120°
所以甲的判断正确；
∵Rt△DON≌Rt△EOM，
∴四边形OMBN的面积=2S△BOD，
∵点D的位置固定，
∴四边形OMBN的面积是定值，   
所以乙的判断正确；
如图，过点O作OF⊥MN于点F，


∵ON=OM，∠MON=120°，
∴∠ONM=30°，
∴MN=2NF=2ONcos∠ONM=2ONcos30°=ON，
∴△MON的周长=MN+2ON=ON+2ON=（+2）ON，
∴当ON最小时，即当ON⊥BC时，△MON的周长取得最小值，
∴丙的判断错误．
综上所述：判断正确的是甲、乙，判断错误的是丙．
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，垂线段最短问题，解直角三角形，解决本题的关键是掌握三角形内心定义．
7．（2022·河北保定·一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝8，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形A1B1CD1，使A1B1与⊙O相切于点E，CB1与⊙O相交于点F，则CF的长是（　　）

A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OE，延长EO交CD于点G，作，由旋转性质知，，从而得出四边形和四边形都是矩形，且OE=OD=OC=5，继而求得，根据垂径定理可得CF的长．
【详解】
解： 矩形ABCD，AB＝10，AD＝8，

连接OE，延长EO交CD1于点G，作于点H，

是的切线，
则，
∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为，
∴，，
∴四边形和四边形都是矩形，OE=OD=OC=5，
∴，
∴，
由垂径定理可得：
∴CF=2CH=6，
故选C．
【点睛】
本题主要考查圆的切线的性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性质、垂径定理等知识点．
8．（2022·河北保定·一模）2019年版一元硬币的直径约为22.25mm，则用它能完全覆盖住的正方形的边长最大不能超过（　　）
A．11.125mm B．22.25mm C．mm D．mm
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正方形和圆的性质，可得出△AOD为等腰直角三角形及AC的长度，再根据等腰直角三角形的性质即可求出AD的长度．
【详解】
解：画出图形，如图所示．

∵AC=BD=mm，
∴AO=OD=mm．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
∴△AOD为等腰直角三角形，
∴ mm．
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形和圆以及等腰直角三角形的性质，根据正方形和圆的性质，确认△AOD为等腰直角三角形是解题的关键．
9．（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）如图，点A，B是半径为1的圆上的任意两点，则下列说法正确的是（       ）

A．A，B两点间的距离可以是
B．以AB为边向内构造等边三角形，则三角形的最大面积为
C．以AB为边向内构造正方形，则正方形的面积可以为3
D．以AB为边向内构造正六边形，则正六边形的最大面积为
【答案】D
【解析】
【分析】
逐一画出相应图形，根据等边三角形性质、正方形性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识解答即可．
【详解】
解：A.的直径为2， A，B两点间的距离不可以是，故A错误；
B.如图，以AB为边向内构造等边三角形，过点O作于点C，

则


即三角形的最大面积为，故B错误；
C.如图， 以AB为边向内构造正方形，过点O作于点C，

则



即正方形的面积可以为2，故C错误；
D. 如图，以AB为边向内构造正六边形，过点O作于点C，

则是等边三角形



即正六边形的最大面积为，故D正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查圆与内接正多边形，涉及勾股定理、等边三角形的性质、正方形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
10．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）老师在黑板上出了这样的练习题：
如图1所示，四边形是内接四边形，连接AC、BD．BC是⊙O的直径，．请说明线段AD、BD、CD之间的数量关系．

下面是王林解答该问题的思路片段，下列选项错误的是（       ）
如图2，过点A作交BD于点M   ∵★，∴，……
∴（@），∴，，
∴是等腰直角三角形，……可得．

A．★表示和都是对的圆周角
B．直接依据@表示AAS
C．是
D．图中辅助线做法也可以是在BD上取
【答案】B
【解析】
【分析】
按照题意补充完整解答过程即可求解．
【详解】
详解：完整证明如下：
∵和都是对的圆周角，故A选项正确；
∴，
∵BC是⊙O的直径，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，故B选项错误；
∴，，是等腰直角三角形，故C选项正确
∴，
∴，
即；
在上取，可以依据“”证明，其他不变．故D正确，
故选B
【点睛】
本题考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，直角三角的性质，等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
二、填空题
11．（2022·河北承德·二模）如图，在等边△ABC中，，点D在△ABC内部或其边上，AD＝2，以AD为边向右作等边△ADE，连接CD，CE．
（1）CE的最小值为______；
（2）当ED的延长线经过点B时，∠DEC＝______°．

【答案】     2﹣2；     60°
【解析】
【分析】
（1）先判断点E在以A为圆心，2为半径的圆上，利用三角形三边的关系得到CE≥AC﹣AE（当且仅当A、E、C共线时取等号），从而得到CE的最小值；
（2）当ED的延长线经过点B时，如图，先证明△ABD≌△ACE得到∠ADB＝∠AEC，再证明∠AEC＝120°，从而得到∠DEC＝60°．
【详解】
解：（1）∵△ADE为边长为2的等边三角形，
∴点E在以A为圆心，2为半径的圆上，
∴CE≥AC﹣AE（当且仅当A、E、C共线时取等号），

∴CE的最小值为 AC﹣2＝2﹣2；
故答案为：2﹣2．
（2）当ED的延长线经过点B时，如图，
∵△ADE为等边三角形，
∴∠ADE＝∠DAE＝∠AED＝60°，AD＝AE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ADB＝∠AEC，
而∠ADB＝180°﹣∠ADE＝120°，
∴∠AEC＝120°，
∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝120°﹣60°＝60°．
即∠DEC＝60°．
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定和性质、圆的基本性质．
12．（2022·河北唐山·一模）如图，已知圆的半径，以为边分别作正五边形和正六边形，则______，图中阴影部分的面积为______结果保留．

【答案】         
【解析】
【分析】
先根据多边形内角和公式计算出、的度数，再求出，利用扇形面积公式计算即可．
【详解】
解：由题意得，，
，
，
阴影部分的面积：，
故答案为：，
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，熟练运用多边形内角和公式和扇形面积公式是解题的关键．
13．（2022·河北·石家庄市第四十一中学一模）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是_____，⊙C上的整数点有_______个．

【答案】     3     12
【解析】
【分析】
过C作直径UL∥x轴，连接AC，根据垂径定理求出AO=BO=4，根据勾股定理求出OC，再得出答案即可．
【详解】
解：过C作直径UL∥x轴，

连接CA，则AC=×10=5，
∵MN过圆心C，MN⊥AB，AB=8，
∴AO=BO=4，∠AOC=90°，
由勾股定理得：CO= =3，
∴ON=5-3=2，OM=5+3=8，
即A（-4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，-2），
同理还有弦QR=AB=8，弦WE=TS=6，且WE、TS、QR都平行于x轴，
Q（-4，6），R（4，6），W（-3，7），E（3，7），T（-3，-1），S（3，-1），U（-5，3），L（5，3），
即共12个点，
故答案为：3；12．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理和坐标与图形的性质，能找出符合条件的所有点是解此题的关键．
14．（2022·河北保定·模拟预测）如图，等边三角形的边长为2，以为圆心，1为半径作圆分别交，边于，，再以点为圆心，长为半径作圆交边于，连接，，那么，

（1）的长为____________．
（2）图中阴影部分的面积为________．
【答案】         
【解析】
【分析】
（1）由等边三角形的边长为2，可知利用勾股定理可求出CD的长，再根据弧长计算公式即可得出结果．
（2）过点A作于M，于N，根据等边三角形的性质得到从而求 得根据三角形的面积和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵等边三角形的边长为2，

在中，

的长
故的长为：
（2）如图所示：过点A作于M，于N，

∵等边三角形ABC的边长为2，









∴图中阴影部分的面积
∴图中阴影部分的面积为：


故答案为：
【点睛】
本题主要考查了扇弧长，扇形的扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
15．（2022·河北保定外国语学校一模）如图，六边形是正六边形，边长为1，点P是边的中点，则______，若、分别与交于点M，N，则的值为_______．

【答案】          3：8
【解析】
【分析】
（1）根据正六边形的性质特点求出的面积即可．
（2）根据第一问，利用和面积相等求解．
【详解】
（1），
（2），
由题意是的中位线，
，
，
，
，
，
，
【点睛】
本题考查正多边形与圆，三角形的面积，三角形的中位线定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．（2022·河北·一模）如图，三条笔直的小路a，b，c相交围成一个三角形公园ABC，在的内心I处修建了一个凉亭，过凉亭的小路，并分别与的两边AB、AC相交于点D、E，，小路c与d之间相距，如果从凉亭分别向a，b，c修建一条石板路，那么这三条石板路的长度之和最小为_________m；若游人从B处出发，沿B→D→I→E→C的路线，到达C处，那么所走的这段路程长为_________m．

【答案】     180     300
【解析】
【分析】
（1）在的内心I处修建了一个凉亭，从凉亭分别向a，b，c修建一条石板路，那么这三条石板路的长度之和最小就是过向三边作垂线，垂线段的和就是结论；
（2）根据图形求出长度，再求即可．
【详解】
（1）解：过作于，如图所示：

过凉亭的小路，小路c与d之间相距，
m，
是的内心，
到的三边垂线段都相等，均等于m，
从凉亭分别向a，b，c修建一条石板路，那么这三条石板路的长度之和最小为m，
故答案为：180；
（2）连接，如图所示：

是的内心，为的三个内角的角平分线的交点，
，
，
，
，
，
，
，
游人从B处出发，沿B→D→I→E→C的路线，到达C处，那么所走的这段路程长为300m，
故答案为：300．
【点睛】
本题考查三角形内心的性质，熟练掌握三角形内心是三角形三个内角的角平分线的交点是解决问题的关键．
17．（2022·河北保定·一模）某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均为正六边形，六边形边长为1cm. 目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我们以6支彩铅为例，可以设计如图的两种收纳方案：

（1）如果要装6支彩铅，在以上两种方案里，你认为更小的底面积是_________cm.
（2）如果你要装12只彩铅，要求相邻彩铅拼接无空隙，请设计一种最佳的布局，并使用圆形来设计底面，则底面半径的最小值为________________cm.
【答案】         
【解析】
【分析】
（1）利用圆的面积、等边三角形的面积．即可判断；
（2）设计方案如图，利用勾股定理求出半径即可．
【详解】
解：（1）如图1，在正六边形中，过点B作BM⊥OA，过C作CN⊥OA，

∵正六边形的边长为1，∠ABC=∠BCO= ，
∴∠BAM=，
∴∠ABM=30°，∠MBC=90°，
∴AM==，四边形BMNC是矩形，
∴MN=BC=1，
同理ON=，
∴OA=AM+MN+ON=2，
如图2中，圆的半径为3，

∴底面积为9π（）；
如图3中，连接OA，OD，OB

∵OD=2cm，∠OAD=30°，∠ADO=90°
∴OA=OB=2OD=4cm，
∴ (cm)，
∴等边三角形的边长AC=4 cm，
∴底面积=（）