4.5.1 函数的零点与方程的解-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

函数的零点与方程的解 1函数的零点(1)函数零点的概念对于函数，使的实数叫做函数的零点.注 零点是个数，不是个点.【例】函数的零点是       .解 方程的解是函数的零点是.(2) 方程根与函数零点的关系方程有实数根⇔函数有零点⇔函数的图象与轴有交点，且交点横坐标为.如 方程的实数根是，函数与轴的交点横坐标是，函数的零点是，而不是. 拓展 方程有实数根函数与函数有交点，且交点横坐标为.【例】 研究方程的解. 解 方程的实数根函数与函数的交点横坐标，如图较容易得到，方程实数根有个.(3)求函数零点方法① (代数法) 求方程的实数根.② (几何法) 利用函数的图象，根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置.2函数零点存在定理如果函数在上的图象是连续不断的，且，那么函数在至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.【例】研究函数在上的零点个数.解 是连续函数，且，由函数零点存在定理可得，在上至少存在一个零点，而函数 在又是增函数，故函数在上只有一个零点. 【题型1】求(或判断)函数的零点【典题1】 下列函数中只有一个零点的是(　　)                  解析 方法1 解方程对于，方程无解，即函数无零点；对于，方程，解得或，即函数有个零点；对于，方程，解得，即函数只有个零点；对于，方程，解得， 即函数有个零点.故选.方法2 图象法画出个函数的图象如下        故选.点拨 求函数零点方法① 代数法：求方程的实数根.② 几何法：利用函数的图象，根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置. 【典题2】 函数的零点的情况是(　　)．仅有一个或个零点 ．有两个正零点 ．有一正零点和一负零点 ．有两个负零点解析 函数的零点的情况等价于方程的解的情况等价于方程的解的情况等价于函数与的交点的情况，作函数与的图象如下，函数与的图象有两个交点，且在y轴的两侧，故选：． 点拨 1.方程与函数的关系方程有实数根函数与函数有交点，且交点横坐标为.2.对于该题型，需要提高构造函数的技巧. 【巩固练习】1.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1) ；(2) ．答案 （1） （2）解析 (1)令，解得．故函数的零点是；(2)令，即，解得．故函数的零点是．2.下列函数中，是偶函数且不存在零点的是(　　) ．  答案 解析 对于，的对称轴为轴，故是偶函数，令得，所以的零点为．不符合题意．对于，的定义域为，不关于原点对称，故不是偶函数，不符合题意．对于，的定义域为，不关于原点对称，故不是偶函数，不符合题意．对于，，故是偶函数，令，方程无解．即无零点．故选：．3.已知函数，则函数的零点个数是      . 答案 解析 因为函数，且时；所以的图象如图，由图可得：与只有两个交点；即函数的零点个数是.4.函数的零点的个数是      .  答案 解析 在同一坐标系中画出函数与的图象如图所示，因为函数与的图象有两个交点，所以函数的零点个数为． 【题型2】函数零点存在定理的应用【典题1】 函数的零点所在的区间为(　　)   解析 ，，，，，的所在区间为．故选：． 点拨 利用函数零点存在定理求解，主要是判断函数值的正负. 【典题2】已知关于的方程的两个实数根满足，，则实数的取值范围是       . 解析 方程的两个实数根可看作函数的零点，方程的根满足，即函数的零点满足，根据零点判定定理得，，即，化简得，解得，实数的取值范围是．点拨 这是二次函数零点的分布问题，主要是结合函数图象利用函数的零点存在定理求解. 【巩固练习】1.若函数的图象是连续的，且函数的唯一零点同时在区间，，内，则与符号相同的是(　　)   答案 解析 因为函数有唯一零点，且根据题意可知函数的零点在上，又因为零点左侧的函数值同号，零点右侧的函数值同号，所以与符号相同的只能是，故选：．2.[多选]函数的一个正零点所在的区间不可能是(　　)   答案 解析 函数，把代入，若，则零点在，，，，，，所以，，所以函数的零点在，故选：．3.若函数的零点在区间上，则的值为(　　)            或       或答案  解析 ，，，函数的零点在之间，函数的零点在区间上，，又与在有交点，的值为或．故选．4.已知是实数，函数在区间与上各有一个零点，则的取值范围是　   　．答案 解析 函数在区间与上各有一个零点，，解得．故答案为．