数学人教B版 (2019)8.2.2 两角和与差的正弦、正切教课内容课件ppt

8.2.2　两角和与差的正弦、正切

第1课时　两角和与差的正弦

知识点1　两角和与差的正弦公式

1.对照识记两角和与差的余弦公式的方法，你能总结一下识记两角和与差的正弦公式的方法吗？

[提示]　可简单记为“正余余正，符号同”，既展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相同．

1.思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的． (　　)

(2)存在α，β∈R，使得sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立． (　　)

(3)sin 56°cos 26°－cos 56°sin 26°＝sin 30°. (　　)

[提示]　(1)√.根据公式的推导过程可得．

(2)√.当α＝30°时，β＝0°时，sin (α＋β)＝sin α＋sin β.

(3)√.因为sin 56°cos 26°－cos 56°sin 26°＝sin (56°－26°)＝sin 30°，故原式正确．

[答案]　(1)√　(2)√　(3)√

2.cos 17°sin 13°＋sin 17°cos 13°的值为(　　)

A．　 B．

C． D．以上都不对

A　[原式＝sin (13°＋17°)＝sin 30°＝.]

知识点2　辅助角公式

a sin x＋b cos x＝·sin (x＋φ)(或a sin x＋b cos x＝·cos (x－φ))，其中sin φ＝，cos φ＝(或cos φ＝，sin φ＝).

2.辅助角公式是如何推导出来的？

[提示]　推导过程：a sin x＋b cos x＝，

令cos φ＝，sin φ＝，

则a sin x＋b cos x＝(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝sin (x＋φ).

3.函数y＝sin x－cos x的最小正周期是(　　)

A． B．π

C．2π D．4π

C　[y＝sin x－cos x＝＝sin ，所以函数的最小正周期为T＝2π.]

类型1　利用公式化简求值

【例1】　(1)＝(　　)

A．－ B．－　　

C． D．

(2)求sin 157°cos 67°＋cos 23°sin 67°的值．

(3)求sin (θ＋75°)＋cos (θ＋45°)－cos (θ＋15°)的值．

[思路探究]　(1)化简求值应注意公式的逆用．

(2)(3)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值．

(1)C　[

＝

＝

＝＝sin 30°＝.]

(2)[解]　原式＝sin (180°－23°)cos 67°＋cos 23°sin 67°

＝sin 23°cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin (23°＋67°)＝sin 90°＝1.

(3)[解]　sin (θ＋75°)＋cos (θ＋45°)－cos (θ＋15°)

＝sin (θ＋15°＋60°)＋cos (θ＋15°＋30°)－cos (θ＋15°)

＝sin (θ＋15°)cos 60°＋cos (θ＋15°)sin 60°＋cos (θ＋15°)·

cos 30°－sin (θ＋15°)sin 30°－cos (θ＋15°)

＝sin (θ＋15°)＋cos (θ＋15°)＋cos (θ＋15°)－sin (θ＋15°)－cos (θ＋15°)＝0.

解决给角求值问题的策略

(1)对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：

①化为特殊角的三角函数值；

②化为正负相消的项，消去，求值；

③化为分子、分母形式，进行约分再求值．

(2)在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．

[跟进训练]

1．化简下列各式：

(1)sin ＋2sin －cos ；

(2)－2cos (α＋β).

[解]　(1)原式＝sin x cos ＋cos x sin ＋2sin x cos －2cos x sin －cos cos x－sin sin x＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＋cos x－sin x

＝sin x＋cos x＝0.

(2)原式＝

＝

＝

＝.

类型2　给值(式)求值

【例2】　设α∈，β∈，若cos α＝－，sin β＝－，求sin (α＋β)的值．

[思路探究]　应用公式⇒注意角的范围⇒求出所给角的正弦值．

[解]　因为α∈，cos α＝－，

所以sin α＝，

因为β∈，sin β＝－，

所以cos β＝.

所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β

＝×＋×＝.

1．(变条件)若将角β的条件改为第三象限，其他条件不变，则结果如何？

[解]　因为α∈，cos α＝－，所以sin α＝.

因为β为第三象限，所以cos β＝－.

所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝－＋＝0.

2．(变结论)若条件不变，试求sin (α－β)＋cos (α－β)的值．

[解]　由例题解析得sin (α－β)＋cos (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝×－×＋×＋×＝－－－＝－1.

给值求值的解题策略

(1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：

①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差；

②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．

(2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围.

类型3　辅助角公式的应用

【例3】　设函数f(x)＝sin x＋sin .

(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；

(2)不画图，说明函数y＝f(x)的图像可由y＝sin x的图像经过怎样的变化得到．

1．函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈Z)的最大值为2对吗？为什么？

[提示]　不对．因为sin x＋cos x

＝

＝

＝sin ，

所以函数的最大值为.

2．函数f(x)＝3sin x＋4cos x的最大值等于多少？

[提示]　因为f(x)＝3sin x＋4cos x

＝5，

令cos φ＝，sin φ＝，

则f(x)＝5(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝5sin (x＋φ)，

所以函数的最大值为5.

[解]　(1)f(x)＝sin x＋sin x cos ＋cos x sin ＝sin x＋sin x＋cos x＝sin x＋cos x

＝＝sin ，

当sin ＝－1时，f(x)min＝－，

此时x＋＝＋2kπ(k∈Z)，所以x＝＋2kπ(k∈Z).

所以f(x)的最小值为－，取得最小值时x的集合为

.

(2)将y＝sin x的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得y＝sin x的图像；

然后将y＝sin x的图像上所有的点向左平移个单位长度，得f(x)＝sin 的图像.

辅助角公式a sin x＋b cos x＝·sin (x＋φ)可以把含sin x，cos x的一次式化为A sin (ωx＋φ)的形式，其中φ所在象限由点(a，b)决定，大小由tan φ＝确定．研究形如f(x)＝a sin x＋b cos x的性质都要用到该公式．

[跟进训练]

2．求y＝sin x－cos x的最小正周期、最值及单调递增区间．

[解]　原式＝2

＝2

＝2sin .

所以此函数的最小正周期为2π，

ymax＝2，ymin＝－2.

令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，

得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.

所以y＝sin x－cos x的单调递增区间为

，k∈Z.

1.的值是(　　)

A．　 B．　　　

C．1　 D．

A　[原式＝

＝

＝

＝

＝.]

2．若cos α＝－，α是第三象限角，则sin ＝(　　)

A．－ B．  

C．－ D．

A　[因为cos α＝－，α为第三象限角，

所以sin α＝－，由两角和的正弦公式得

sin ＝sin αcos ＋cos αsin

＝×＋×＝－.]

3．函数f(x)＝sin x－cos 的值域为(　　)

A．[－2，2] B．

C．[－1，1] D．

B　[f(x)＝sin x－cos ＝sin x－cos x＋

sin x＝sin x－cos x＝sin ，

所以函数f(x)的值域为[－，].故选B.]

4．已知α为锐角，sin α＝，β是第四象限角，cos (π＋β)＝－，则sin (α＋β)＝________．

0　[因为α为锐角，且sin α＝，

所以cos α＝.

又β为第四象限角，且cos (π＋β)＝－cos β＝－，

所以cos β＝，sin β＝－.

所以sin (α＋β)＝×＋×＝0.]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．两角和与差的正弦公式如何表示？有何结构特点？

[提示]　sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.

特点：(1)公式中的α，β均为任意角．

(2)两角和与差的正弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正弦公式的特例．

2．两角和与差的正弦、余弦公式有何内在联系？

[提示]　两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系