人教B版高中数学必修第三册第8章微专题2向量数量积与平面几何的交汇课件+学案+练习含答案

微专题2　向量数量积与平面几何的交汇

平面向量既有代数表达，又有几何表达．因此平面向量与平面几何相结合考查已成高考常态．此类试题要求考生对相关数学概念要非常清楚，考查学生的逻辑推理和数学运算能力，同时还要掌握基本的数学思想方法．

类型1　三角形中的向量数量积

【例1】　(1)已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的(　　)

A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心

C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心

(2)若三个不共线的向量，，，满足·＝·＝·＝0，则点O为△ABC的(　　)

A．内心  B．外心

C．重心 D．垂心

(1)C　(2)A　[由||＝||＝||知点O到点A，B，C的距离相等，即点O是△ABC的外心．

＋＋＝0⇒＋＝－，易知＋经过线段AB的中点，所以直线NC也经过线段AB的中点，同理直线NA经过线段BC的中点，直线NB经过线段AC的中点，故N是△ABC三条中线的交点，即点N是△ABC的重心．

由·＝·，得·－·＝(－)·＝·＝0，即CA⊥PB.同理AB⊥PC，BC⊥PA，即点P是△ABC的垂心．

(2)由题意知与＋＝(E在∠BAC的外角平分线上)垂直，所以点O在∠BAC的平分线上．同理，点O在∠ABC的平分线上．故点O为△ABC的内心．]

类型2　利用向量数量积解决平面几何问题

【例2】　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.

[解]　法一：设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，

又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋，

所以·＝·＝－－＋＝－＋＝0.

故⊥，即AF⊥DE.

法二：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，＝(2，1)，＝(1，－2).

因为·＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，

所以⊥，即AF⊥DE.

用向量法解决平面几何问题时通常选择恰当的基底(基底中的向量的长度和夹角尽量已知)；如果所给条件容易建系，那么可以建立平面直角坐标系，用向量坐标法解决有关问题．

【例3】　如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF.

[解]　建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP＝λ(0＜λ＜)，

则A(0，1)，P，

E，F，

∴＝，＝，

∴||＝＝，

||＝＝，

∴||＝||，∴PA＝EF.

一般地，利用向量求线段长度的关系有两种方法：

(1)适当选择基底向量，利用向量的线性运算转化，结合相等向量、平面向量基本定理等求解线段长度的关系；

(2)建立平面直角坐标系，利用向量坐标法求出所求线段的长度再确定线段长度的关系．