人教B版高中数学必修第三册第8章微专题3三角函数的值域和最值问题课件+学案+练习含答案

微专题强化练(三)

(建议用时：40分钟)

1．求函数y＝的最值．

[解]　y＝＝＝＝sin x cos x＝sin 2x.

∵－1≤sin 2x≤1，∴当sin 2x＝1时，ymax＝；当sin 2x＝－1时，ymin＝－.

2．求函数y＝(0＜x＜π)的最大值．

[解]　去分母整理可得，sin x－y cos x＝2y，所以sin (x－φ)＝2y(其中tan φ＝y，y＞0)，

故sin (x－φ)＝.

由|sin (x－φ)|＝≤1，可得0＜y≤.

下面验证等号可以取到：

当y＝，即tan φ＝时，sin (x－φ)＝1，可取φ＝，令x－φ＝＋2kπ，k∈Z，则x＝＋2kπ，k∈Z，又0＜x＜π，所以x＝，满足题意．故原函数有最大值，ymax＝.

3．已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．

[解]　(1)由已知，有f(x)＝－＝cos －cos 2x＝－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝sin .

所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

(2)由(1)知f(x)＝sin ，

因为x∈，所以－≤2x－≤.

结合y＝sin x的图像与性质有：

当2x－＝－，即x＝－时，sin ＝－1，f(x)min＝－；

当2x－＝，即x＝时，sin ＝，f(x)max＝.故f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.

4．已知sin x＋sin y＝，求u＝sin x－cos2y的最大值．

[解]　∵sinx∈[－1，1]，∴－1≤－sin y≤1，即－≤sin y≤，又sin y∈[－1，1]，∴－≤sin y≤1.

又u＝－sin y－(1－sin2y)＝－siny－1＋sin2y＝(siny－)2－，故当sin y＝－时，u取得最大值，最大值为.