人教B版高中数学必修第三册章末综合测评+模块综合测评含答案

章末综合测评(二)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为(　　)

A．－　　　  B．　　　

C．2　　　  D．6

D　[a·b＝6－m＝0，∴m＝6.]

2．设向量a＝，若a的模长为，则cos  2α等于(　　)

A．－ B．－  

C． D．

A　[∵|a|＝＝，∴cos2α＝.

∴cos2α＝2cos2α－1＝－.]

3．tan17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°等于(　　)

A．－ B．  

C．－1 D．1

D　[tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°

＝tan (17°＋28°)(1－tan 17°tan 28°)＋tan 17°tan 28°

＝1－tan 17°tan 28°＋tan 17°tan 28°＝1.]

4．若a，b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角θ是(　　)

A． B．  

C． D．

B　[因为a2－2a·b＝0，b2－2a·b＝0，

所以a2＝b2＝2a·b，|a|＝|b|，

所以cos θ＝＝＝，所以θ＝.]

5．已知0<α<<β<π，又sin α＝，cos (α＋β)＝－，则sin β等于(　　)

A．0 B．0或  

C． D．±

C　[因为0<α<<β<π且sin α＝，cos (α＋β)＝－，所以cos α＝，<α＋β<π，

所以sin (α＋β)＝±，当sin (α＋β)＝时，

sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α＝×－×＝，

当sin (α＋β)＝－时，

sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)·cos α－cos (α＋β)sin α＝－×－×＝0.

又β∈，所以sin β>0，故sin β＝.]

6．若向量a＝，b＝(1，sin 75°)，则a·b＝(　　)

A．1　 B．2　  

C．4　 D．8

C　[由向量a＝，b＝(1，sin 75°)，

所以a·b＝tan 15°＋＝＋＝＝＝4，故选C.]

7．设函数f(x)＝a sin x cos x－2sin2x，若直线x＝是f(x)图像的一条对称轴，则(　　)

A．f(x)的最小正周期为π，最大值为1

B．f(x)的最小正周期为π，最大值为2

C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为1

D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为2

A　[f(x)＝a sinx cos x－2sin2x＝sin2x＋cos 2x－1＝·－1，

令cos θ＝，sin θ＝，则tan θ＝，其中θ是参数，则f(x)＝sin (2x＋θ)－1，

则函数的最小正周期T＝＝π，因为直线x＝是f(x)图像的一条对称轴，

所以2×＋θ＝kπ＋，即θ＝kπ＋，

则tan θ＝tan ＝tan ＝，

即＝，得a＝2，则函数f(x)的最大值为－1＝－1＝－1＝2－1＝1，故选A.]

8．设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为(　　)

A． B．  

C． D．或

C　[因为α，β为钝角，sin α＝，

所以cos α＝－

＝－＝－.

由cosβ＝－，得

sin β＝＝＝，

所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β

＝×－×＝.

又因为π<α＋β<2π，所以α＋β＝.]

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)

9．下列计算正确的是(　　)

A．＝1

B．1－2sin275°＝

C．cos4－sin4＝

D．cos275°＋cos215°＋cos75°cos 15°＝

ACD　[对于选项A，＝tan45°＝1；对于选项B，1－2sin275°＝cos150°＝－；对于选项C，cos4－sin4＝

＝cos＝；对于选项D，原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos 15°＝1＋sin 30°＝1＋＝.]

10．若函数y＝sin cos ＋cos ·sin ，则(　　)

A．函数的周期为2π

B．函数的一个对称中心为

C．函数的一条对称轴为x＝π

D．函数的值域为[－1，1]

ACD　[y＝sin cos －cos

sin ＝sin ＝sin

＝cos x，故周期为2π，x＝π是函数y＝cos x的一条对称轴，值域为[－1，1].]

11．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论不正确的是(　　)

A．|b|＝1 B．a⊥b

C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥

ABC　[在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－1，所以(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥.]

12．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋tan αtan β＝，则(　　)

A．<α< B．β<<α

C．<α<β D．<β<α

AB　[因为α为锐角，sin α－cos α＝>0，

所以<α<.

又tan α＋tan β＋tan αtan β＝，

所以tan (α＋β)＝＝，

所以α＋β＝，又α>，

所以β<<α.]

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)

13．若2sin (π＋x)－cos ＝1，则cos 2x＝________．

　[因为2sin (π＋x)－cos ＝1，

所以－2sin x－sin x＝1，

所以sin x＝－，

所以cos 2x＝1－2sin2x＝.]

14．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，若n⊥(－4m＋n)，则m，n夹角的余弦值为________

　[因为非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，

n⊥(－4m＋n)，

所以|m|＝|n|，且n·(－4m＋n)＝n2－4m·n＝0，

即m·n＝.

设m，n夹角为θ，则cosθ＝＝＝.]

15．已知tan (α＋β)＝，tan ＝－2，则tan ＝________，tan (α＋2β)＝________．(本题第一空2分，第二空3分)

－8　　[tan ＝tan ＝

＝＝－8.

tan ＝＝－2，tan β＝－.

tan (α＋2β)＝＝.]

16．已知x∈，函数f(x)＝2sin2＋sin＋3m，若f(x)＜2恒成立，则m的取值范围是________．

　[f(x)＝2sin2＋sin＋3m＝1－cos ＋cos 2x＋3m

＝3m＋1－2sin ，

因为≤x≤，所以≤2x－≤π，则3m－1≤f(x)≤3m＋1，

因为f(x)＜2恒成立，所以3m＋1＜2，解得m＜.

所以m的取值范围是.]

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知向量a＝(sin x，1)，b＝，其中x∈(0，π).

(1)若a∥b，求x的值；

(2)若tan x＝－2，求|a＋b|的值．

[解]　(1)因为a∥b，所以sin x cos x＝，

即sin 2x＝1.

因为x∈(0，π)，所以x＝.

(2)因为tan x＝＝－2，

所以sin x＝－2cos x.

因为a＋b＝，

所以|a＋b|＝

＝＝.

18．(本小题满分12分)已知向量a＝(2cos α，2sin α)，b＝(cos α－sin α，cos α＋sin α).

(1)求向量a与b的夹角；

(2)若(λb－a)⊥a，求实数λ的值．

[解]　(1)|a|＝2，|b|＝，a·b＝2cos2α－2sinαcos α＋2sin αcos α＋2sin2α＝2，

所以cos〈a，b〉＝＝.

又0≤〈a，b〉≤π，所以a与b的夹角为.

(2)因为(λb－a)⊥a，

所以(λb－a)·a＝λa·b－a2＝2λ－4＝0，所以λ＝2.

19．(本小题满分12分)(1)求值：.

(2)已知sin θ＋2cos θ＝0，求的值．

[解]　(1)原式＝

＝＝＝2＋.

(2)由sin θ＋2cos θ＝0，

得sin θ＝－2cos θ，又cos θ≠0，

则tan θ＝－2，

所以

＝

＝

＝

＝.

20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝A sin(3x＋φ)(A>0，x∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x＝ 时取得最大值4.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)的解析式；

(3)若f＝，求sin α.

[解]　(1)因为f(x)＝A sin (3x＋φ)，所以T＝，即f(x)的最小正周期为.

(2)因为当x＝时，f(x)有最大值4，所以A＝4.

所以4＝4sin ，

所以sin ＝1.

即＋φ＝2kπ＋，得φ＝2kπ＋(k∈Z).

因为0<φ<π，所以φ＝.

所以f(x)＝4sin .

(3)因为f＝4sin

＝4sin ＝4cos  2α.

由f＝，得4cos  2α＝，所以cos  2α＝，

所以sin2α＝(1－cos2α)＝，

所以sin α＝±.

21．(本小题满分12分)已知向量a＝(sin x，1)，b＝(cos x，－1).

(1)若a∥b，求tan 2x的值；

(2)若f(x)＝(a＋b)·b，当x∈时，求函数f(x)的最大值．

[解]　(1)因为向量a＝(sin x，1)，b＝(cos x，－1)，

又a∥b，所以1×cos x＝－1×(sin x)，

所以tan x＝－，

所以tan 2x＝＝－.

(2)因为f(x)＝(a＋b)·b，所以f(x)＝sinx cos  x＋cos2x＝sin2x＋cos 2x＋＝sin ＋，因为x∈，

所以2x＋∈，

当2x＋＝，即x＝时，函数取最大值为.

22．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是边长为10的正方形，以点A为圆心，9为半径画弧，分别交AB，AD于点E，F，P为上一动点，过点P分别作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N，求矩形PMCN的面积的最小值．

[解]　连接PA，设∠PAE＝θ，如图所示．

设矩形PMCN的面积为S，延长NP交AB于点H，

则PM＝HB＝AB－AH＝10－9cos θ，

PN＝HN－HP＝10－9sin θ.

所以S＝PM·PN

＝(10－9cos θ)(10－9sin θ)

＝100－90sin θ－90cos θ＋81sin θcos θ.

设sin θ＋cos θ＝t.

则S＝100－90t＋(t2－1)

＝t2－90t＋

＝＋.

因为θ∈，

所以t＝sin θ＋cos θ＝sin ∈[1，]，

所以当t＝时，Smin＝，

故矩形PMCN的面积的最小值为.