初中数学第一章 勾股定理综合与测试一课一练

这是一份初中数学第一章 勾股定理综合与测试一课一练，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
八年级数学上册第一章检测题(全卷三个大题，共24个小题，满分120分，考试用时120分钟)分数：________一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列各组数是勾股数的是（A）A．8，15，17  B．1.5，2，2.5C．5，8，10   D.，，2．(包河区期中)一个圆桶底面直径为7 cm，高24 cm，则桶内所能容下的最长木棒为（B）A．20 cm  B．25 cm  C．26 cm  D．30 cm3．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的可能值有（B）A．1个  B．2个  C．3个  D．4个4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（D）A．∠A＋∠B＝∠C  B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3C．a2＝c2－b2      D．a∶b∶c＝3∶4∶65．三角形三边长分别为6，8，10，那么它最短边上的高为（D）A．6  B．4.5  C．2.4  D．86．(沭阳县期末)如图，一棵大树在离地面3 m，5 m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6 m处，则大树折断前的高度是（D）A．9 m  B．14 m  C．11 m  D．10 m7．(沙坪坝区期末)在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即A′C＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离A′D就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索OA长为（C）A．13.5尺  B．14尺C．14.5尺  D．15尺8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10 cm，正方形A的边长为6 cm，B的边长为5 cm，C的边长为5 cm，则正方形D的面积为（C）A．16 cm2  B．15 cm2  C．14 cm2  D．9 cm29．(老城区月考)如图，ABCD是长方形地面，长AB＝20 m，宽AD＝10 m，中间有一堵砖墙，墙高MN＝2 m，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（D）A．20 m  B．24 m  C．25 m  D．26 m10．(邗江区期末)如图，已知△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（D）A．9  B．25  C．36  D．45【解析】MC2－MB2＝(DM2＋DC2)－(DM2＋BD2)＝DC2－BD2＝(AC2－AD2)－(AB2－AD2)＝AC2－AB2，代入数值计算即得．二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图所示的阴影部分是一个正方形，若正方形的面积为64 cm2，则x的长为17 cm.12．(金牛区期末)在Rt△ABC中，斜边BC＝3，则AB2＋AC2＋BC2的值为18.13．(滨海新区期中)如图，在水塔O的东北方向8 m处有一抽水站A，在水塔的东南方向6 m处有一建筑物工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为10 m.14．(曲阳县期末)如图，将长为12 cm的弹性绳放置在直线l上，固定端点A和B，然后把中点C竖直向上拉升4.5 cm至点D，则拉长后弹性绳的长为15 cm.15．(鼓楼区期末)如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则BD的长是2.5. 16．(江岸区月考)如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB＝10，BC＝20，则AD＝. 17．(南关区期末)如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为45°.18．(雁塔区月考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC扩充为等腰三角形ABD，使扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，则CD的长为3或或2.【解析】分三种情况：①AD＝AB；②AD＝BD；③BD＝AB.由勾股定理求解．三、解答题(共66分)19．(6分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，若a∶b＝3∶4，c＝10，求a，b的长．解：设a＝3x，则b＝4x.因为∠C＝90°，所以a2＋b2＝c2，即(3x)2＋(4x)2＝102，整理，得25x2＝100，所以x＝2或－2(舍去)，所以a＝3×2＝6，b＝4×2＝8.    20．(8分)(北碚区期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，连接AD，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E，F.若AB＝13，BC＝10，求AF的长度．解：因为AB＝AC，点D是BC的中点，所以BD＝CD，AD⊥BC，因为BC＝10，所以BD＝5，在Rt△ABD中，AB＝13，AD2＝AB2－BD2＝132－52＝122，所以AD＝12.在Rt△BDF中，∠CBE＝45°，所以△BDF是等腰直角三角形，所以DF＝BD＝5，所以AF＝AD－DF＝12－5＝7. 21.(10分)一圆柱形油罐，如图所示，要以A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，已知油罐的底面周长为12 m，高AB为 5 m，问所建的梯子最短需多少米？题图答图解：假设将圆柱体的侧面沿AB剪开，铺平得到如答图所示的长方形AA′B′B，则AB＝A′B′＝5 m，AA′＝BB′＝12 m，∠BAA′＝∠A′＝∠A′B′ B＝∠B＝90°，因此沿AB′建梯子最短．在△AA′B′中，由勾股定理，得AB′ 2＝AA′ 2＋A′ B′ 2＝122＋52＝169，所以AB′＝13 m.所以所建的梯子最短需13 m. 22．(12分)(莲湖区期中)如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E.(1)试说明：△ABC为直角三角形；(2)求DE的长．解：(1)因为△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，又因为42＋32＝52，即AB2＋AC2＝BC2，所以△ABC是直角三角形．(2)连接CE.因为DE是BC的垂直平分线，所以EC＝EB，设AE＝x，则EC＝4－x.所以x2＋32＝(4－x)2.解得x＝，即AE的长是，所以BE＝4－＝，因为BD＝BC＝，所以DE2＝BE2－BD2＝，所以DE＝. 23.(14分)如图，一根长度为50 cm的木棒AB的两端系着一根长度为70 cm的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？题图　　      答图解：如答图①，当∠B＝90°时，设BC＝x cm，则AC＝(70－x) cm.在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，即(70－x)2＝502＋x2，解得x＝，则AC＝70－x＝，这时该点将绳子分成 cm， cm两段；同理，当∠A＝90°时，该点将绳子分成 cm， cm两段；如图②，当∠C＝90°时，根据勾股定理可知这两段分别为30 cm，40 cm.综上所述，这个点将绳子分成的两段分别为30 cm，40 cm或 cm， cm. 24．(16分)(邛崃市期末)在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b.如图①，当∠C＝90°时，根据勾股定理有a2＋b2＝c2.(1)如图②，当△ABC为锐角三角形时，类比勾股定理，判断a2＋b2与c2的大小关系，并说明理由；(2)如图③，当△ABC为钝角三角形时，类比勾股定理，判断a2＋b2与c2的大小关系，并说明理由；(3)如图④，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．解：(1)a2＋b2＞c2，理由：过点A作AD⊥BC 于D，设CD＝x，则BD＝a－x，由勾股定理得b2－x2＝AD2，c2－(a－x)2＝AD2，∴b2－x2＝c2－(a－x)2，整理，得a2＋b2＝c2＋2ax，∵2ax＞0，∴a2＋b2＞c2.(2)a2＋b2＜c2，理由：作AE⊥BC交BC的延长线于E，设CE＝x，则c2－(a＋x)2＝AE2＝b2－x2，整理，得a2＋b2＝c2－2ax，∵2ax＞0，∴a2＋b2＜c2.(3)过A作AD⊥BC于D.设BD＝x，则CD＝14－x，由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，故152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.∴AD＝12.∴S△ABC＝BC·AD＝×14×12＝84.