2022-2023学年江苏省南京市联合体八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省南京市联合体八年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列“表情”中属于轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，≌，若，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

3. 下列条件中能构成直角三角形的是(    )

A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、

4. 如图，用直尺和圆规作一个角的平分线，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，由作图所得条件，判定三角形全等运用的方法是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列说法中，正确的是(    )

A. 周长相等的两个直角三角形全等 B. 周长相等的两个钝角三角形全等
C. 周长相等的两个等腰三角形全等 D. 周长相等的两个等边三角形全等

6. 如图，在中，，，垂足为若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，、相交于点，且、是上两点，若，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，为内的一点，为边上的一点，，，，连接下列结论：；；；其中所有正确结论的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

9. 如图，≌，若，，则的长为______．
    
10. 如图，，要得到≌，可以添加的一个条件是______写出一个即可

11. 已知一个等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长是______．
12. 如图，在中，，平分，交于点，，垂足为若，，则的长为______．

13. 如图，在中，以、为边的正方形的面积分别为、若，，则的长为______．

14. 如图，在中，垂直平分，垂足为，交于点若，，则的周长为______．

15. 在中，，，则的面积为______ ．
16. 如图，在中，，，点是的中点，将沿对折，点落在点处，与相交于点，则的度数为______

17. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，交的延长线于点若，，则的长为______．

18. 如图，平分，若，，则的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    如图，与交于点，，．
    求证：．

20. 本小题分
    如图，在四边形中，，，，，求证：．

21. 本小题分
    证明：等腰三角形的两底角相等简称“等边对等角”．
    已知：如图，在中，______．
    求证：______．
    证明：

22. 本小题分
    如图，在中，，点在直线上，分别过点、作直线于点，直线于点．
    求证：；
    设三边分别为、、，利用此图证明勾股定理．

23. 本小题分
    如图，在四边形中，，，是上一点．
    求证：；
    若是的中点，延长交于点，且，求的度数．

24. 本小题分
    如图，在等边三角形中，，、相交于点．
    求证：；
    过点作，垂足为若，，则的长为______．

25. 本小题分
    已知图、图都是轴对称图形．仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图保留作图痕迹，不写作法：
    在图中，作出该图形的对称轴；
    在图中，作出点的对称点．
     
26. 本小题分
    【旧题重现】
    学习与评价有这样一道习题：
    如图，、分别是和的、边上的中线，，，．
    求证：≌．
    证明的途径可以用下面的框图图表示，请填写其中的空格．
    【深入研究】
    如图，、分别是和的、边上的中线，，，判断与是否仍然全等，并说明理由
    【类比思考】
    下列命题中是真命题的是______填写相应的序号
    两角和第三个角的角平分线分别相等的两个三角形全等；
    一边和这条边上的中线以及高分别相等的两个三角形全等；
    斜边和斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等；
    两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等；
    底边和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形全等．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确；
故选D．
根据轴对称的定义，结合选项即可作出判断．
此题考查了轴对称的定义，属于基础题，注意掌握轴对称的定义是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：≌，，
，
，
，
故选：．
根据全等三角形对应角相等可得，再根据三角形的内角和定理列式求出．
本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
 

3.【答案】 

【解析】解：、因为，故不能构成直角三角形；
B、因为，故能构成直角三角形；
C、因为，故不能构成直角三角形；
D、因为，故不能构成直角三角形．
故选：．
根据勾股定理的逆定理，对四个选项的数值逐一进行验证，便可得到正确答案．
此题考查了利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的知识，内容较简单．
 

4.【答案】 

【解析】解：用直尺和圆规作一个角的平分线，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，
由作图所得条件，判定三角形全等运用的方法是：由得出≌．
故选：．
根据作图过程可知用到的三角形全等的判定方法是．
此题主要考查了基本作图，解题关键是掌握作角平分线的依据．
 

5.【答案】 

【解析】解：周长相等的两个直角三角形不一定全等，
故A选项不符合题意；
周长相等的两个钝角三角形不一定全等，
故B选项不符合题意；
周长相等的两个等腰三角形不一定全等，
故C选项不符合题意；
周长相等的两个等边三角形，三边对应相等，
根据可证这两个等边三角形全等，
故D选项符合题意，
故选：．
根据全等三角形的判定方法即可确定．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，
，
，
故选：．
由勾股定理得，再由三角形面积公式得，即可得出结论．
此题考查了勾股定理以及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
故选：．
证明≌，根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，
在和中，
，
≌，
，，正确；

，，
，，
，正确；
，
≌，
，
，正确；
过点作于，过点作交的延长线于，

，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，，
，正确，
故选：．
首先通过证明≌，然后利用全等三角形的性质可得，，可得，可得；根据三角形外角的性质可得，根据全等三角形的性质可得，即可得；过点作于，过点作交的延长线于，证明≌，根据全等三角形的性质可得，利用三角形的面积公式即可得．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识，证明三角形全等是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：≌，
，
，
，
故答案为：．
利用全等三角形的性质可得，然后利用等式性质求得答案即可．
此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
 

10.【答案】或 

【解析】解：添加，根据得到≌；
添加，根据得到≌；
故答案为：或．
根据全等三角形的判定解决问题即可．
本题考查全等三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：当腰为时，，
、、不能组成三角形；
当腰为时，，
、、能组成三角形，
该三角形的周长为．
故答案为：．
分腰为和腰为两种情况考虑，先根据三角形的三边关系确定三角形是否存在，再根据三角形的周长公式求值即可．
本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，由三角形三边关系确定三角形的三条边长为解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：平分，，，
，
，
，
故答案为：．
根据角平分线的性质得出即可求解．
本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：在中，，
，，
，
．
故答案为：．
根据勾股定理求出，则可得出答案．
本题考查的是勾股定理的应用，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：是边上的垂直平分线，
，
，，
的周长为：．
故答案为：．
由是边上的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可得的周长为．
此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，作于点，则．
在中，
，
，
的面积．
故答案为：．
作底边上的高，构造直角三角形．运用等腰三角形的性质及三角形的面积公式求解．
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质和三角形的面积等知识，求出三角形的高是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，
，
是斜边的中点，
，
，
，
将沿对折，使点落在点处，
，
，
，
故答案为：．
由，，得，根据是斜边的中点，得，可得，而将沿对折，使点落在点处，有，即知，从而可得答案．
本题考查直角三角形中的折叠问题，涉及三角形的内角和定理的应用，解题的关键是掌握折叠的性质．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

垂直平分，
，
在中，由勾股定理得，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得，
即，
故答案为：．
根据垂直平分线的性质得出的长，再设，则，在中，由勾股定理得得出方程求解即可．
本题考查了勾股定理，垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：在上截取，过点作于，

平分，
，
又，
≌，
，
又，
，
，
，
设，
，，
，
，
解得，
，
，
，
故答案为：．
在上截取，过点作于，证明≌，由全等三角形的性质得出，证出，设，由勾股定理得出，解方程得出，则可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

19.【答案】证明：在和中，
，
≌，
． 

【解析】证明≌，由全等三角形的性质可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定及性质，证明≌是解题的关键．
 

20.【答案】证明：连接，

，，，
，
在中，，，
，
是直角三角形，
． 

【解析】连接，在中，利用勾股定理求出的长，然后再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可解答．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：如图，在中，，
求证：．
证明：过点作，垂足为，

，
，
在和中，，，
≌，
，
故答案为：；．
充分理解题意，利用等腰三角形的性质，要根据题意画图，添加辅助线来证明结论．
本题考查了等腰的三角形的性质；添加辅助线利用三角形全等证明是正确解答本题的关键．
 

22.【答案】证明：，，
，
，
又，
，
在和中，
，
≌，
，，
；
由知：，，，
，
又 ，
，
整理，得． 

【解析】由“”可证≌，可得，，即可得结论；
由面积法可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

23.【答案】证明：在和中，
，
≌；
，，
在和中，
，
≌，
；
设的度数为，
在中，，是的中点，
，
，
，
，
，
，
≌，
．
，
在中，，
，
解得．
． 

【解析】由“”可证≌，可得，，由“”可证≌，可得；
由直角三角形的性质可得，可求，由三角形内角和定理可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】证明：是等边三角形，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
；
解：，
，
，
，
，
故答案为：．
由“”可证≌，可得，，由外角的性质可求解；
由直角三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

25.【答案】解：
如图：
如图． 

【解析】连接两组对应点，进而交点连接即可；
延长对应边，进而交点连接即可．
本题考查作图复杂作图，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

26.【答案】 

【解析】证明：是的中线，
，
分别是的中线，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
故答案为：；；；；
解：与仍然全等，理由如下：
延长至，使，连接，延长至，使，连接．

和分别是和的和边上的中线，
，．
在和中，
，
≌．
，，
同理，．
，
．
，，，
．
，
≌．
，．
．
，
又 ，，
≌，
解：两角和第三个角的角平分线分别相等的两个三角形全等，正确，符合题意；
一边和这条边上的中线以及高分别相等的两个三角形全等，正确，符合题意；
斜边和斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等，正确，符合题意；
两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等，说法错误，
如图，在与中，，，高相同，但是与不全等．

故不符合题意；
底边和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形全等，正确，符合题意．
故答案为：．
根据三角形中线的定义及全等三角形的判定与性质可得出答案；
延长至，使，连接，延长至，使，连接证明≌由全等三角形的性质得出，，同理，证明≌得出，则可证明≌；
根据全等三角形的判定方法可得出结论．
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．