2022-2023学年江苏省苏州市工业园区五校联考九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省苏州市工业园区五校联考九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共8小题，共24分）

1. 的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知二次函数，下列说法错误的是(    )

A. 开口向上 B. 顶点坐标为
C. 最小值为 D. 与轴交点为

3. 下列关于一元二次方程根的情况说法正确的是(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根

4. 抛物线过，，三点．则将，，，从小到大顺序排列是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在中，于，如果，，，为的中点，那么的值为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 在同一坐标系下，一次函数与二次函数的图象大致可能是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 定义符合的含义为：当时，；当，，如：，则的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 对于一个函数，自变量取时，函数值等于，则称为这个函数的零点若关于的二次函数有两个不相等的零点，，关于的方程有两个不相等的非零实数根，，则下列关系式一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共8小题，共24分）

9. 抛物线的顶点坐标是______．
10. 若是方程的一个根，则的值为______．
11. 年，北京成功举办第届冬季奥运会后，很多学校都开展了冰雪项目的学习活动如．图，一位同学乘滑雪板沿坡度为：的斜坡滑行米，则他下降的高度为______米．
12. 已知实数，，满足，且，，则抛物线的对称轴为______．
13. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，、、、都在格点处，与相交于点，则的值为______．

14. 一艘观光游船从港口以北偏东的方向出港观光，航行海里至处时发生了侧翻沉船事故．一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东方向，马上以海里每小时的速度前往救援．海警船大约需______小时到达事故船处，

15. 如图，在中，，，，是边上一动点，于点，点在的右侧，且，连接，从点出发，沿方向运动，当到达点时，停止运动，在整个运动过程中，阴影部分面积的最小值为______．
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与轴交于点，
    线段轴，交该抛物线于另一点平移抛物线，使其顶点始终在直
    线上移动，当平移后的抛物线与射线只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为，的取值范围是______．

三、解答题（本题共10小题，共84分）

17. 解方程：
    ．
18. 计算：．
19. 已知二次函数是常数．
    如果该二次函数的图象经过原点，求的值；
    如果该二次函数的图象顶点在轴上，求的值．
20. 已知关于的方程．
    求证：不论取何值，方程必有两个不相等的实数根；
    若方程的一个根为，求的值及方程另一个根．
21. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么我们称这样的方程为“邻根方程”例如：方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．
    请通过计算，判断方程是否是“邻根方程”；
    已知关于的方程是常数是“邻根方程”，求的值．
22. 若二次函数的与的部分对应值如表：

求这个二次函数的表达式：
二次函数图像上有两点，，
已知，当时，求的值；
当时，，求的取值范围．

23. 图是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图是其侧面结构示意图是基座的高，是主臂，是伸展臂已知基座高度为米，主臂长为米，主臂伸展角的范围是：，伸展臂伸展角的范围是：当时如图，伸展臂恰好垂直并接触地面．
    
    求：伸展臂长为多少米？
    挖掘机能挖的最远处距点的距离为多少米？
24. 某电商销售一款秋季时装，进价元件，售价元件，每天销售件．为了庆祝二十大的胜利召开，未来天，这款时装将开展“喜迎二十大，每天降元”的促销活动，即从第天起每天的单价均比前一天降元．通过市场调研发现，该时装单价每降元，每天销量增加件．
    这天内该电商第几天的利润最大？最大利润是多少？
    为了回馈社会，在这天内，该电商决定每销售一件时装，向希望工程捐元要使每天捐款后的利润随天数为正整数的增大而增大，求的取值范围．
25. 如图，直角梯形中，，，
    若，，在边上存在唯一的点使得，
    求的值；
    的垂直平分线交于点，求的长；
    延长、交于点，点在上，且，若，求的长．

26. 已知抛物线的图象与轴交于、两点点在点的左侧，与轴正半轴交于点，顶点为，直线轴于点．
    当时，知，求的长；
    当时，若，，求抛物线的解析式；
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据特殊锐角的三角函数值进行判断即可．
本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是正确解答的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：抛物线中，
抛物线开口向上，顶点坐标为，
当时，有最小值，
把时，，
抛物线与轴交点为，
故D错误；
故选：．
根据二次函数的性质得二次函数的开口向上，对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为；函数有最小值，把代入解析式求得，则与轴交点为，即可对各命题进行判断．
本题考查了二次函数的性质：二次函数的顶点坐标是，对称轴直线，二次函数的图象具有如下性质：当时，抛物线的开口向上，时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．当时，抛物线的开口向下，时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
因为，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先计算出，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
图象的开口向下，对称轴是直线，
当时，随的增大而减小，
关于直线的对称点是，且，
，即．
故选：．
根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据函数的对称性和增减性，即可得出答案．
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
为中点，
，
．
故选：．
由，求出长度，再由勾股定理求出，再由勾股定理求出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，即．
本题考查解直角三角形，解题关键是熟练掌握解直角三角形的方法，掌握直角三角形斜边上的中线长度等于斜边的一半．
 

6.【答案】 

【解析】解：、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项正确；
B、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项错误；
C、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误；
D、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项错误．
故选：．
可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．
 

7.【答案】 

【解析】解：联立，
解得，，
所以，的最大值是．
故选：．
先求出两个函数的交点坐标，再根据的定义解答即可．
本题考查了二次函数的最值问题，读懂题目信息，理解定义符号的意义并考虑求两个函数的交点是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意关于的方程有两个不相等的非零实数根，，就是关于的二次函数与直线的交点的横坐标，
画出函数的图象草图如下：

抛物线的对称轴为直线，
，
由图象可知：一定成立，
故选：．
根据题意画出关于的二次函数的图象以及直线，根据图象即可判断．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，利用图象判断是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查二次函数的性质，掌握顶点式中，顶点坐标是是解决问题的关键．
根据顶点式的坐标点直接写出顶点坐标．
【解答】解：是抛物线解析式的顶点式，
顶点坐标为．
故答案为．  

10.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
，



．
故答案为：．
根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：设他下降的高度为米，
斜坡的坡度为：，
这位同学滑行的是水平距离为米，
由勾股定理得：，即，
解得：负值舍去，
他下降的高度为米，
故答案为：．
根据坡度的概念、勾股定理列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
 

12.【答案】直线 

【解析】解：，，
抛物线经过点和，
对称轴为直线．
故答案为：直线．
根据已知，，可得抛物线经过点和，根据对称性即可求出对称轴．
本题主要考查二次函数的性质，利用点和关于对称轴对称是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图：连接，

由题意得：
，
，
在中，，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
故答案为：．
连接，根据题意可得：，从而利用平行线的性质可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，再利用锐角三角函数的定义进行计算可得的值，即可解答．
本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，过点作交延长线于，
在中，
，，，
，
在中，，，
海里，
海警船到达事故船处所需的时间大约为：小时．
故答案为：．
过点作交延长线于先解得出海里，再解中，得出海里，然后根据时间路程速度即可求出海警船到达事故船处所需的时间．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：在中，
，，，
，
设，边上的高为，
则，
，
，
∽，
，即，
，，
，
，的值最小为，
故答案为：．
设，边上的高为，想办法求出、，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，动点问题，三角形面积，勾股定理等知识，解题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】或 

【解析】解：，
顶点，
令，则，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
如图，当抛物线向左平移个单位，则向上平移个单位，
平移后的抛物线解析式为，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
联立方程组，
整理得，
当时，，
解得，
此时抛物线的顶点为，此时平移后的抛物线与射线只有一个公共点；
如图，当抛物线向右平移个单位，则向下平移个单位，
平移后的抛物线解析式为，
当抛物线经过点时，，
解得舍或，
此时抛物线的顶点坐标为，此时平移后的抛物线与射线只有一个公共点，
当抛物线的顶点为时，平移后的抛物线与射线有两个公共点，
综上所述：或．
故答案为：或．
分两种情况讨论：当抛物线向左平移个单位，则向上平移个单位，平移后的抛物线解析式为，求出直线的解析式为，联立方程组，由时，解得，此时抛物线的顶点为，此时平移后的抛物线与射线只有一个公共点；当抛物线向右平移个单位，则向下平移个单位，平移后的抛物线解析式为，当抛物线经过点时，此时抛物线的顶点坐标为，此时平移后的抛物线与射线只有一个公共点；当抛物线的顶点为时，平移后的抛物线与射线有两个公共点，由此可求解．
本题考查二次函数的图象及性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
．
，
，
或，
解得，；
，
，
，
或，
解得，． 

【解析】方程利用因式分解法求解即可；
方程利用因式分解法求解即可．
本题考查了解一元二次方程，掌握提公因式法和十字相乘法因式分解是解答本题的关键．
 

18.【答案】解：原式． 

【解析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

19.【答案】解：二次函数的图象经过原点，
，
解得；
根据题意得：
，
解得． 

【解析】将原点坐标代入二次函数解析式，列方程求即可．
根据顶点在轴上，所以顶点的纵坐标是，求出即可．
此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
 

20.【答案】证明：．
，
，即，
不论取何值，方程必有两个不相等的实数根；
将代入原方程得，
解得：，
方程的另一个根为．
答：的值为，方程的另一个根为． 

【解析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此可证出不论取何值，方程必有两个不相等的实数根；
将代入原方程可求出值，再根据两根之和等于可求出方程另一个根．
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；牢记两根之和等于．
 

21.【答案】解：解方程得：或，
，
方程是“邻根方程”；

由方程解得：或，
由于关于的方程是常数是“邻根方程”，
则或，
解得或． 

【解析】根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为，从而确定方程是否为“邻根方程”；
先解方程求得其根，再根据新定义列出关于的方程，注意有两种情况．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．
 

22.【答案】解：，；，，
抛物线解析式可设为，
，，
，
解得，
抛物线解析式为，
即；
当和时函数的值相等，
而抛物线的对称轴为直线，
，
当时，．
抛物线开口向下，对称轴为直线，
关于对称轴的对称点为，
，
的取值范围是或． 

【解析】利用表中的对应值可设交点式，然后把，代入求出即可；
利用抛物线的对称性得到，然后把代入抛物线解析式中计算即可．
利用二次函数的性质即可得到结论．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得函数的解析式是解题的关键．
 

23.【答案】解：过点作，垂足为，

则米，
在中，，米，
米，
米，
伸展臂长为米；

当时，过点作，交的延长线于点，连接，

，
在中，米，
米，
米，
米，
米，
在中，米，
在中，米，
挖掘机能挖的最远处距点的距离为米， 

【解析】过点作，垂足为，根据题意可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，即可解答；
当时，过点作，交的延长线于点，连接，利用平角定义可求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，最后在中，利用勾股定理求出的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：设销售利润为元，销售时间为天，
由题意可知，，
，
，
，
函数有最大值，
当时，取最大值为元，
第天的利润最大，最大利润是元；
设未来天每天获得的利润为，时间为天，根据题意，
得，
化简，得，
每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数为正整数的增大而增大，
，
解得，，
又，
即的取值范围是：． 

【解析】根据每天售出的件数每件盈利利润即可得到的与之间的函数关系式，由函数的性质即可求出其最大利润以及其哪一天所获得的；
根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．
本题主要考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程或函数关系式是解决问题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
 

25.【答案】解：如图中，

在边上存在唯一的点使得，
以为直径的与相切于点，连接．
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
过点作于点，则四边形是矩形，
，，
，
，
；

由可知，
的垂直平分线与的交点与重合，
；

如图中，延长到，使得，连接，，延长交于点．

，，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
设，，则，
在中，，
，
，
． 

【解析】由题意在边上存在唯一的点使得，推出以为直径的与相切于点，连接证明是梯形的中位线，求出，可得，再利用勾股定理求出即可；
由可知，推出的垂直平分线与的交点与重合，由此即可解决问题；
如图中，延长到，使得，连接，，延长交于点证明，由题意，推出，设，，则，利用勾股定理构建方程求出即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了直角梯形的性质，切线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
 

26.【答案】解：，
顶点，，
令，则，
，
，
，
，
，
令，则，
或，
，，
；
过点作交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，，
将代入中，，
解得，
． 

【解析】根据题意求出，，再由，得到，则，当时，分别求出，，再求的长即可；
过点作交于点，由，，可得，再由，求出，，，根据，，可知，，根据，求出的值，从而确定、点的坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的三角形函数值，勾股定理是解题的关键．