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北师大数学七年级上册期末复习-专题2--有理数及其运算
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这是一份北师大数学七年级上册期末复习-专题2--有理数及其运算，共35页。试卷主要包含了有理数的分类，相反数，倒数，绝对值，有理数比较大小，有理数乘法法则等内容，欢迎下载使用。
专题2--有理数及其运算【精讲】
1．有理数的分类
（1）按符号分类： （2）按定义分类：
2． 数轴
规定了原点．正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）．解题时要真正掌握数形结合的思想，并能灵活运用．
（1）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示；
（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
（3）正数都大于0，负数都小于0；正数大于一切负数．
3．相反数
（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数；
（2）一般地：若a为任一有理数，则a的相反数为；
（3） 0的相反数是0；
（4）相反数的相关性质：
①相反数的几何意义：表示互为相反数的两个点（除0 外）分别在原点O的两边，并且到原点的距离相等；
②互为相反数的两个数，和为0．
4．倒数：如果与互为倒数，则有，反之亦成立．倒数等于本身的数是1和．零没有倒数．
5．绝对值
（1）一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．
（2）正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
（3）或
（4）绝对值的性质：
①除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数； ②互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等；
③任何数的绝对值总是非负数，即； ④若，则；
⑤若，则； ⑥对任何有理数，都有．
6．有理数比较大小：
（1）正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；
（2）数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；
（3）两个负数，绝对值大的反而小．
7.加法法则计算步骤
（1） 符号的确定；
（2） 绝对值的计算．
按照“一观察，二确定，三求”的步骤进行，第一步观察两加数的符号是同号还是异号；第二步确定用哪条法则；第三步求出结果．
8．在使用加法交换律和结合律时，一般先把具有以下特征的数相加
（1） 互为相反数的两个数（和为0）；
（2） 相加能得到_____的数；
（3） 分母_____的数或易通分的数；
（4） 符号相同的数结合．
9．在进行有理数的减法运算时，关键是如何正确解决符号问题
改变两个符号：（1）运算符号，“减号”变为“加号”，（2）是减数的符号．
10.加减混合运算步骤
（1） 可以通过有理数的_______，把减法转化为加法；
（2） 再写成省略加号和_____的形式；
（3） 最后用加法法则和___________进行运算．
11.直接省略括号的方法
（1）括号前是“+”号，括号内数的符号________；
（2）括号前是“—”号，括号内数的符号________．
12．有理数乘法法则
两数相乘，同号得正；异号得负；并把绝对值相乘；任何数与0相乘，仍得0．若，则>0；若，则<0；
13．倒数
若=1，则称与互为倒数．
正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数．±1的倒数是它本身．
14．有理数乘法法则的推广：几个不等于0的有理数相乘，积的符号由负数的个数决定，负数的个数是奇数时，积为负；负数的个数是偶数时，积为正．几个有理数相乘时，有一个因数为0 时，积为0．
15．有理数乘法的运算律
乘法的交换律：ab=ba；乘法的结合律：（ab）c=a（bc）．
乘法对加法的分配律：a（b+c）=ab+aC．
16.有理数的除法法则（一）
（1）两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
（3） 0除以任何非0的数都得0． 注意：0不能作除数．
17.有理数的除法规则（二）
除以一个不等于0的数相当于乘以这个数的倒数．
（4） 求一个有理数的倒数的方法
用1除以一个数，商就是这个数的倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，±1的倒数是它本身，0没有倒数．
（5） 一般的，个相同因数相乘，记作．这种求个相同因数的积的运算叫做乘方．乘方的结果叫做，叫做底数，叫做指数.
18.．科学记数法的概念
一个数可以表示成×10的形式，其中1≤|a|＜10，是整数，这种记数方法叫做科学记数法．
19.．把科学记数法表示的数还原时，只要把×10中的小数点向右（向左）移动位．
归纳：．
两个有理数相乘或相除结果同号得正，异号得负
有理数混合运算的顺序是先算_______，再算_______，最后算_______，如有括号，就先算___________．
确定运算顺序，选择恰当的运算定律、小数一般化成_____，使运算更简便．
专题2--有理数及其运算【精练】
一．选择题（共27小题）
1．﹣2022的倒数是（ ）
A．2022 B．﹣ C．﹣2022 D．
2．﹣2022的绝对值是（ ）
A． B．﹣2022 C．2022 D．﹣
3．2022的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．2022 D．﹣2022
4．下列说法正确的是（ ）
A．﹣3是相反数
B．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右
C．如果a为有理数，那么a2＞0
D．若a＝b，则|a|＝|b|
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．绝对值最小的数是1
B．1的相反数是它本身
C．绝对值等于它本身的数是1
D．1的倒数是它本身
6．今年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域安全着陆，飞行任务取得圆满成功．已知神舟十三号飞行过程中近地距离200000m，远地距离356000m．将“356000”用科学记数法表示为（ ）
A．35.6×104 B．3.56×105 C．3.56×106 D．0.356×106
7．截止到2021年11月25日，诠释伟大抗美援朝精神的电影《长津湖》累计票房已突破56.9亿元，其中56.9亿用科学记数法表示为（ ）
A．5.69×108 B．5.69×109 C．56.9×108 D．0.569×1010
8．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿．则1兆等于（ ）
A．108 B．1012 C．1016 D．1024
9．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A． B． C． D．
10．一辆货车从超市出发，向东走了3km到达小彬家，继续向东走了1.5km到达小颖家，然后向西走了9.5km到达小明家，最后回到超市．小明家距小彬家（ ）km．
A．4.5 B．6.5 C．8 D．13.5
11．2020年12月17日凌晨，探月工程嫦娥五号返回器成功着陆，标志着我国首次月球采样返回任务圆满完成．月球表面的温度，中午大约是101℃，半夜大约是﹣153℃，中午比半夜高多少度？（ ）
A．52℃ B．﹣52℃ C．254℃ D．﹣254℃
12．若x是﹣3的相反数，|y|＝5，则x+y的值为（ ）
A．8或﹣2 B．8 C．﹣8或2 D．2
13．如图，数轴上点A表示的有理数为a，下列各数中在0，1之间的是（ ）
A．|a| B．﹣a C．|a|﹣1 D．a+1
14．如图，用数轴上点M表示有理数2，则表示有理数6的点是（ ）
A．A B．B C．C D．D
15．如图，在数轴上，若点A，B表示的数分别是﹣2和10，点M到点A，B距离相等，则M表示的数为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
16．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A．c＜a＜b B．abc＞0 C．a+b＞0 D．|c﹣b|＞|a﹣b|
17．如图，数轴上4个点表示的数分别为a、b、c、d．若|a﹣d|＝10，|a﹣b|＝6，|b﹣d|＝2|b﹣c|，则|c﹣d|＝（ ）
A．1 B．1.5 C．15 D．2
18．如图，数轴上的三个点A、B、C表示的数分别是a、b、c，且|a|＝|b|，AB＝BC，则下列结论中①ab＜0；②a＝﹣b；③a+c＞0；④3a+c＝0中，正确的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．计算9÷（﹣3）×的结果为（ ）
A．﹣1 B．1 C．9 D．﹣9
20．下表记录了2021年12月份某一天东北地区四个城市的平均气温：
区县
大连
哈尔滨
长春
沈阳
气温（℃）
+7
﹣3
0
4
这四个城市中该天平均气温最低的是（ ）
A．哈尔滨 B．大连 C．长春 D．沈阳
21．若气温升高5℃时，记作+5℃，则气温下降10℃时，记作（ ）
A．+10℃ B．﹣10℃ C．﹣5℃ D．+5℃
22．如果﹣300元表示亏本300元，那么+500元表示（ ）
A．亏本500元 B．盈利500元 C．亏本800元 D．盈利800元
23．|﹣1|，（﹣1）2，（﹣1）3这三个数中，等于﹣1的数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
24．下列式子中正确的是（ ）
A．﹣|﹣31|＝31
B．（﹣5）+（﹣5）+（﹣5）+（﹣5）+（﹣5）＝（﹣5）5
C．﹣8÷（2﹣4）＝﹣4+2＝﹣2
D．|﹣3﹣1|＝|﹣3|+|﹣1|
25．下列计算中，正确的是（ ）
A．|﹣2|＝﹣2 B．（﹣1）2＝﹣2 C．﹣7+3＝﹣4 D．6÷（﹣2）＝3
26．下列各对数中，相等的一对数是（ ）
A．（﹣2）3与﹣23 B．﹣22与（﹣2）2
C．﹣（﹣3）与﹣|﹣3| D．与
27．现定义一种新运算“*”，规定a*b＝b2﹣a，如3*1＝12﹣3＝﹣2，则（﹣2）*（﹣3）等于（ ）
A．11 B．﹣11 C．7 D．﹣7
二．填空题（共9小题）
28．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简|a+b|+|b﹣c|﹣|a﹣c|＝ ．
29．符号“f”，“g”分别表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝2，f（4）＝3，⋯，f（10）＝9，⋯；
（2），，，，⋯，，⋯．
利用以上规律计算：＝ ．
30．下列四个数中：①0；②﹣；③5；④﹣1．最小的数是 ．（填序号）
31．点A、B在数轴上，若数轴上点A表示﹣1，且AB＝2，则点B表示的数是 ．
32．若x、y互为倒数，则（﹣xy）2022＝ ．
33．已知|x|＝2，|y|＝1，且|x﹣y|＝y﹣x，则x﹣y＝ ．
34．若（x﹣2）2+|y+3|＝0，则y的值是 ．
35．若|x+1|+（y﹣2）2＝0，则2x﹣3y＝ ．
36．如图，在3×3幻方中，填入9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等．按以上规则填成的幻方中，x的值为 ．
三．解答题（共18小题）
37．将，（﹣2）2，|﹣2|，﹣3用“＜”连接，并在数轴上表示出来．
38．计算：
（1）；
（2）．
39．计算：6×（﹣14）﹣（﹣14）+（﹣1）2022．
40．计算：﹣12022﹣|﹣4|+（﹣3）2÷3．
41．计算题：﹣12021﹣（+﹣）÷（﹣）．
42．计算：
（1）（+15）+（﹣30）﹣（+14）﹣（﹣25）；
（2）﹣42+3×（﹣2）2×（﹣1）÷（﹣1）．
43．计算：[（﹣1）2+（1﹣）×]÷（﹣32+2）．
44．计算：
（1）；
（2）．
45．计算：
（1）﹣21+17﹣（﹣13）；
（2）（﹣3）2×[（﹣）+（﹣）]．
46．计算：
（1）﹣2.3+4.3+×|5﹣8|；
（2）﹣32﹣28÷（﹣7）×（﹣）2．
47．在数轴上表示a、0、1、b四个数的点如图所示，已知OA＝OB，求|a+b|+||+|a+1|+a的值．
48．已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，|n|＝3，求代数式的值．
49．某出租车沿南北方向行驶，从A地出发，晚上到达B地．规定向北为正方向．行驶记录如下（单位：km）：+18、﹣9、+7、﹣14、﹣6、+13、﹣6，
①B地在A地的什么位置？
②若出租车每行驶1km耗油1升，求该天共耗油多少升？
③若出租车起步价为7元，起步里程为3千米（包括3千米），超过部分每千米1.2元，则该天车费多少元？
50．科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农民采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负．下表是小王第一周柚子的销售情况：
星期
一
二
三
四
五
六
日
销售超过或不足计划量情况（单位：千克）
+3
﹣5
﹣2
+10
﹣7
+13
+5
（1）小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克？
（2）小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？
（3）若小王按10元/千克进行柚子销售，平均运费为3.5元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？
51．已知x，y为有理数，现规定一种新运算“⊗”，满足x⊗y＝xy﹣2021．
（1）求（2⊗5）⊗（﹣4）的值；
（2）记P＝a⊗（b﹣c），Q＝a⊗b﹣a⊗c，请猜想P与Q的数量关系，并说明理由．
52．如图，半径为1个单位长度的圆形纸片上有一点Q与数轴上的原点重合．（提示：圆的周长C＝2πr，π取值为3.14）
（1）把圆形纸片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，则点A表示的数是 ；
（2）圆形纸片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆形纸片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动周数记录如下：+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2．当圆形纸片结束运动时，Q点运动的路程共是多少？此时点Q所表示的数是多少？
53．数轴上两点A、B，A在B左边，原点O是线段AB上的一点，已知AB＝4，且OB＝3OA．点A、B对应的数分别是a、b，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x．
（1）a＝ ，b＝ ，并在数轴上面标出A、B两点；
（2）若PA＝2PB，求x的值；
（3）若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请问在运动过程中，3PB﹣PA的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
54．如图所示，在数轴上点A，B，C表示的数为﹣2，0，6．点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点C之间的距离表示为AC．
（1）求AB、AC的长；
（2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和4个单位长度的速度向右运动．
请问：BC﹣AB的值是否随着运动时间t的变化而变化？若不变，请求其值；若变化，请说明理由并判断是否有最值，若有求其最值．
专题2--有理数及其运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共27小题）
1．﹣2022的倒数是（ ）
A．2022 B．﹣ C．﹣2022 D．
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：﹣2022的倒数是：﹣．
故选：B．
【点评】此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．
2．﹣2022的绝对值是（ ）
A． B．﹣2022 C．2022 D．﹣
【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案．
【解答】解：﹣2022的绝对值是2022．
故选：C．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键．
3．2022的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．2022 D．﹣2022
【分析】直接根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：2022的相反数等于﹣2022，
故选：D．
【点评】此题考查的是相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
4．下列说法正确的是（ ）
A．﹣3是相反数
B．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右
C．如果a为有理数，那么a2＞0
D．若a＝b，则|a|＝|b|
【分析】A：相反数是成对出现的；
B：正数在原点右侧；
C：a＝0时a2＝0；
D：两数相等，那么它的绝对值也相等．
【解答】解：A：﹣3是3相反数，∴不符合题意；
B：一个正数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右，∴不符合题意；
C：如果a为有理数，那么a2≥0，∴不符合题意；
D：若a＝b，则|a|＝|b|，∴符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查有理数乘方、数轴、相反数、绝对值，掌握这几个定义的意义，运用的时候注意它们的区别是解题关键．
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．绝对值最小的数是1
B．1的相反数是它本身
C．绝对值等于它本身的数是1
D．1的倒数是它本身
【分析】根据绝对值的性质，倒数、相反数的定义分析即可求解．
【解答】解：A、绝对值最小的数是0，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、1的相反数是﹣1，0的相反数是它本身，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、绝对值等于它本身的数一定是非负数，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、1的倒数是它本身，原说法正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了绝对值，倒数、相反数等基础知识．数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值；乘积为1的两个数互为倒数．
6．今年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域安全着陆，飞行任务取得圆满成功．已知神舟十三号飞行过程中近地距离200000m，远地距离356000m．将“356000”用科学记数法表示为（ ）
A．35.6×104 B．3.56×105 C．3.56×106 D．0.356×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将356000用科学记数法表示为3.56×105．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7．截止到2021年11月25日，诠释伟大抗美援朝精神的电影《长津湖》累计票房已突破56.9亿元，其中56.9亿用科学记数法表示为（ ）
A．5.69×108 B．5.69×109 C．56.9×108 D．0.569×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：56.9亿＝5690000000＝5.69×109．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
8．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿．则1兆等于（ ）
A．108 B．1012 C．1016 D．1024
【分析】根据同底数幂的乘法先求出1亿，再求1兆即可．
【解答】解：1亿＝104×104
＝108，
1兆＝104×104×108
＝104+4+8
＝1016，
故选：C．
【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握am•an＝am+n是解题的关键．
9．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先比较各个数的绝对值，绝对值最小的数，表示它离标准最近．
【解答】解：∵|﹣0.4|＝0.4，|+0.5|＝0.5，|﹣0.5|＝0.5，|+0.8|＝0.8，而0.4＜0.5＜0.8，
∴最接近标准的是选项C．
故选：C．
【点评】本题考查了正、负数和绝对值．理解绝对值表示的意义是解决本题的关键．要注意从轻重的角度看，最接近标准的是绝对值最小的数．
10．一辆货车从超市出发，向东走了3km到达小彬家，继续向东走了1.5km到达小颖家，然后向西走了9.5km到达小明家，最后回到超市．小明家距小彬家（ ）km．
A．4.5 B．6.5 C．8 D．13.5
【分析】根据题意画出示意图，根据位置关系计算即可．
【解答】解：由题意画图如下：
∴小明家距小彬家9.5﹣1.5＝8（km），
故选：C．
【点评】本题主要考查数轴的知识，根据题意画出位置示意图是解题的关键．
11．2020年12月17日凌晨，探月工程嫦娥五号返回器成功着陆，标志着我国首次月球采样返回任务圆满完成．月球表面的温度，中午大约是101℃，半夜大约是﹣153℃，中午比半夜高多少度？（ ）
A．52℃ B．﹣52℃ C．254℃ D．﹣254℃
【分析】根据中午比半夜高的度数＝中午温度﹣晚上温度，列式计算．
【解答】解：根据题意得：101﹣（﹣153）
＝101+153
＝254（℃）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数减法，熟练掌握有理数减法法则，根据题意列出式子是解题关键．
12．若x是﹣3的相反数，|y|＝5，则x+y的值为（ ）
A．8或﹣2 B．8 C．﹣8或2 D．2
【分析】直接利用相反数的性质以及绝对值的性质分别得出x，y的值，进而得出答案．
【解答】解：∵x是﹣3的相反数，|y|＝5，
∴x＝3，y＝±5，
则x+y的值为：3+5＝8或3﹣5＝﹣2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数的性质以及绝对值的性质，正确得出x，y的值是解题关键．
13．如图，数轴上点A表示的有理数为a，下列各数中在0，1之间的是（ ）
A．|a| B．﹣a C．|a|﹣1 D．a+1
【分析】先根据数轴确定a的范围，再判断每个选项的范围，即可得出答案．
【解答】解：由图可知﹣2＜a＜﹣1，
∴1＜|a|＜2，1＜﹣a＜2，0＜|a|﹣1＜1，﹣1＜a+1＜0，
∴在0到1之间的为|a|﹣1，
故选：C．
【点评】本题主要考查与数轴有关的计算，关键是要能根据数轴确定a的范围．
14．如图，用数轴上点M表示有理数2，则表示有理数6的点是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【分析】先由点M表示的数确定一个间隔表示两个单位，得到6需要三个间隔即可得出答案．
【解答】解：∵点M表示的数为2，
∴一个间隔表示2个单位，
∴6与原点需要三个间隔表示，且在原点的右侧，
∴表示6的点为D，
故选：D．
【点评】本题主要考查数轴的概念，关键是要能求出每个间隔表示几个单位．
15．如图，在数轴上，若点A，B表示的数分别是﹣2和10，点M到点A，B距离相等，则M表示的数为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【分析】利用数轴上两点间的距离计算即可．
【解答】解：由题意得：
AB＝10﹣（﹣2）
＝10+2
＝12，
∵点M到点A，B距离相等
∴MB＝12÷2＝6，
∴10﹣6＝4，
∴点M表示的数是：4，
故选：D．
【点评】本题考查了数轴上两点间距离，学生必须熟练掌握才能正确判断．
16．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A．c＜a＜b B．abc＞0 C．a+b＞0 D．|c﹣b|＞|a﹣b|
【分析】由a、b、c在数轴上的位置可判断选项A；
由a、b、c的符号可判断选项B；
由有理数的加法法则可判断选项C；
由两点之间的距离可判断选项D．
【解答】解：∵a、b、c在数轴上的位置从左到右排列为：c、a、b，
∴c＜a＜b，故选项A正确；
由a、b、c在数轴上的位置可知：a＜0，b＞0，c＜0，
∴abc＞0，故选项B正确；
由a、b、c在数轴上的位置可知：a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，
∴a+b＜0，故选项C错误；
由a、b、c在数轴上的位置可知：表示数a的点到表示数b的点的距离小于表示数c的点到表示数b的点的距离，
∴|c﹣b|＞|a﹣b|，故选项D正确；
故选：C．
【点评】本题考查了数轴的有关知识，掌握有理数与数轴上点的对应关系是解决问题的关键．
17．如图，数轴上4个点表示的数分别为a、b、c、d．若|a﹣d|＝10，|a﹣b|＝6，|b﹣d|＝2|b﹣c|，则|c﹣d|＝（ ）
A．1 B．1.5 C．15 D．2
【分析】根据|a﹣d|＝10，|a﹣b|＝6得出b和d之间的距离，从而求出b和c之间的距离，然后假设a表示的数为0，分别求出b，c，d表示的数，即可得出答案．
【解答】解：∵|a﹣d|＝10，
∴a和d之间的距离为10，
假设a表示的数为0，则d表示的数为10，
∵|a﹣b|＝6，
∴a和b之间的距离为6，
∴b表示的数为6，
∴|b﹣d|＝4，
∴|b﹣c|＝2，
∴c表示的数为8，
∴|c﹣d|＝|8﹣10|＝2，
故选：D．
【点评】本题主要考查绝对值的化简，关键是要能恰当的设出a，b，c，d表示的数．
18．如图，数轴上的三个点A、B、C表示的数分别是a、b、c，且|a|＝|b|，AB＝BC，则下列结论中①ab＜0；②a＝﹣b；③a+c＞0；④3a+c＝0中，正确的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由|a|＝|b|可得a和b互为相反数，可假设a表示﹣1，则b表示1，得出AB的值，再由AB＝BC得出c的值，即可确定答案．
【解答】解：∵|a|＝|b|，
∴a和b互为相反数，
假设a＝﹣1，则b＝1，
∴②说法符合题意，
∴AB＝2，
∵AB＝BC，
∴BC＝2，
∴OC＝3，
∴c表示的数为3，
∴ab＝﹣1×1＝﹣1＜0，
∴①说法符合题意，
∵a+c＝﹣1+3＝2＞0，
∴③说法符合题意，
∵3a+c＝3×（﹣1）+3＝0，
∴④说法符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查数轴上点的运算，关键是要确定a，b，c之间的数量关系．
19．计算9÷（﹣3）×的结果为（ ）
A．﹣1 B．1 C．9 D．﹣9
【分析】直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝﹣3×
＝﹣1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了有理数的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
20．下表记录了2021年12月份某一天东北地区四个城市的平均气温：
区县
大连
哈尔滨
长春
沈阳
气温（℃）
+7
﹣3
0
4
这四个城市中该天平均气温最低的是（ ）
A．哈尔滨 B．大连 C．长春 D．沈阳
【分析】正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣3＜0＜4＜+7，
∴这四个城市中该天平均气温最低的是哈尔滨．
故选：A．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小．
21．若气温升高5℃时，记作+5℃，则气温下降10℃时，记作（ ）
A．+10℃ B．﹣10℃ C．﹣5℃ D．+5℃
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【解答】解：若气温升高5℃时，记作+5℃，则气温下降10℃时，记作﹣10℃．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
22．如果﹣300元表示亏本300元，那么+500元表示（ ）
A．亏本500元 B．盈利500元 C．亏本800元 D．盈利800元
【分析】“正”和“负”是表示互为相反意义的量，亏本用负数不是，则正数表示盈利．
【解答】解：如果﹣300表示亏本300元，那么+500表示盈利500元．
故选：B．
【点评】本题考查正数、负数的意义，一个量用正数表示，那么与它具有相反意义的量就用负数表示．
23．|﹣1|，（﹣1）2，（﹣1）3这三个数中，等于﹣1的数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】直接利用绝对值的性质以及有理数的乘方运算法则分别化简，进而得出答案．
【解答】解：|﹣1|＝1，（﹣1）2＝1，（﹣1）3＝﹣1，
故等于﹣1的数有1个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了绝对值的性质以及有理数的乘方运算，正确化简各数是解题关键．
24．下列式子中正确的是（ ）
A．﹣|﹣31|＝31
B．（﹣5）+（﹣5）+（﹣5）+（﹣5）+（﹣5）＝（﹣5）5
C．﹣8÷（2﹣4）＝﹣4+2＝﹣2
D．|﹣3﹣1|＝|﹣3|+|﹣1|
【分析】利用去绝对值符号的法则，有理数的加法法则，有理数的除法法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、﹣|﹣31|＝﹣31，故A不符合题意；
B、（﹣5）+（﹣5）+（﹣5）+（﹣5）+（﹣5）＝5×（﹣5）＝﹣25，故B不符合题意；
C、﹣8÷（2﹣4）＝﹣8÷（﹣2）＝4，故C不符合题意；
D、|﹣3﹣1|＝|﹣3|+|﹣1|，故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
25．下列计算中，正确的是（ ）
A．|﹣2|＝﹣2 B．（﹣1）2＝﹣2 C．﹣7+3＝﹣4 D．6÷（﹣2）＝3
【分析】根据绝对值的意义判断A；根据有理数的乘方法则判断B；根据有理数的加法法则判断C；根据有理数的除法法则判断D．
【解答】解：A、|﹣2|＝2，故本选项计算错误，不符合题意；
B、（﹣1）2＝1，故本选项计算错误，不符合题意；
C、﹣7+3＝﹣4，故本选项计算正确，符合题意；
D、6÷（﹣2）＝﹣3，故本选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
26．下列各对数中，相等的一对数是（ ）
A．（﹣2）3与﹣23 B．﹣22与（﹣2）2
C．﹣（﹣3）与﹣|﹣3| D．与
【分析】利用有理数的乘方运算法则及绝对值和相反数的概念进行计算或化简，从而作出判断．
【解答】解：A、（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，（﹣2）3与﹣23相等，故此选项符合题意；
B、﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，﹣22与（﹣2）2不相等，故此选项不符合题意；
C、﹣（﹣3）＝3，﹣|﹣3|＝﹣3，﹣（﹣3）与﹣|﹣3|不相等，故此选项不符合题意；
D、，（）2＝，与（）2不相等，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查有理数的乘方运算，理解相反数和绝对值的概念，掌握有理数乘方运算法则是解题关键．
27．现定义一种新运算“*”，规定a*b＝b2﹣a，如3*1＝12﹣3＝﹣2，则（﹣2）*（﹣3）等于（ ）
A．11 B．﹣11 C．7 D．﹣7
【分析】根据a*b＝b2﹣a，可以求得所求子的值．
【解答】解：∵a*b＝b2﹣a，
∴（﹣2）*（﹣3）
＝（﹣3）2﹣（﹣2）
＝9+2
＝11，
故选：A．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是会用新定义解答问题．
二．填空题（共9小题）
28．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简|a+b|+|b﹣c|﹣|a﹣c|＝ ﹣2b ．
【分析】想要去掉绝对值，就要按照绝对值的性质，先判断绝对值内整体的正负情况，从数轴上看a+b为两个负数相加结果一定为负，b﹣c是负数减去正数结果一定为负，a﹣c是负数减去正数结果一定为负，再依次计算就可以得到结果．
【解答】解：由题意得a+b＜0，b﹣c＜0，a﹣c＜0，
则|a+b|+|b−c|−|a−c|＝﹣（a+b）﹣（b﹣c）+（a﹣c）＝﹣a﹣b﹣b+c+a﹣c＝﹣2b．
故答案为：﹣2b．
【点评】本题主要考查了绝对值的性质，解题的关键是先判断绝对值内每个代数式的正负情况，其次注意符号的判断．
29．符号“f”，“g”分别表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝2，f（4）＝3，⋯，f（10）＝9，⋯；
（2），，，，⋯，，⋯．
利用以上规律计算：＝ 1 ．
【分析】根据（1）和（2）可以得到f（n）＝n﹣1，g（n）＝，然后即可计算出所求式子的值．
【解答】解：由（1）可知：f（n）＝n﹣1，
由（2）知：g（n）＝，
∴
＝2022﹣2021
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，写出f（n）和g（n）．
30．下列四个数中：①0；②﹣；③5；④﹣1．最小的数是 ④ ．（填序号）
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣1＜﹣＜0＜5，
∴所给的四个数中：①0；②﹣；③5；④﹣1，最小的数是④．
故答案为：④．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
31．点A、B在数轴上，若数轴上点A表示﹣1，且AB＝2，则点B表示的数是 1或﹣3 ．
【分析】分两种情况，点B在点A的左侧，点B在点A的右侧．
【解答】解：分两种情况：
当点B在点A的左侧，
∵AB＝2，
∴﹣1﹣2＝﹣3，
∴点B表示的数是：﹣3，
当点B在点A的右侧，
∵AB＝2，
∴﹣1+2＝1，
∴点B表示的数是：1，
综上所述：点B表示的数是：1或﹣3．
【点评】本题考查了数轴，分两种情况讨论是解题的关键．
32．若x、y互为倒数，则（﹣xy）2022＝ 1 ．
【分析】乘积是1的两数互为倒数．据此解答即可．
【解答】解：∵x、y互为倒数，
∴xy＝1，
∴（﹣xy）2022＝（﹣1）2022＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键．
33．已知|x|＝2，|y|＝1，且|x﹣y|＝y﹣x，则x﹣y＝ ﹣3或﹣1 ．
【分析】根据绝对值的意义得到x＝﹣2，y＝1或y＝1，然后计算x﹣y的值．
【解答】解：∵|x|＝2，|y|＝1，且|x﹣y|＝y﹣x，
∴x＝﹣2，y＝1或y＝﹣1，
∴x﹣y＝﹣2﹣1＝﹣3或x﹣y＝﹣2+1＝﹣1．
故答案为：﹣3或﹣1．
【点评】本题考查了有理数的减法以及绝对值，根据题意得出x、y的值是解得本题的关键．
34．若（x﹣2）2+|y+3|＝0，则y的值是 ﹣3 ．
【分析】依据非负数的性质即可求得x、y的值．
【解答】解：∵（x﹣2）2+|y+3|＝0，
∴x﹣2＝0，y+3＝0，
∴x＝2，y＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查的是非负数的性质，当几个非负数的和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
35．若|x+1|+（y﹣2）2＝0，则2x﹣3y＝ ﹣8 ．
【分析】依据非负数的性质，即可得到x＝﹣1，y＝2，代入代数式进行计算即可．
【解答】解：∵|x+1|+（y﹣2）2＝0，
∴x+1＝0，y﹣2＝0，
解得x＝﹣1，y＝2，
∴2x﹣3y＝﹣2﹣6＝﹣8，
故答案为：﹣8．
【点评】本题主要考查了非负数的性质，当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
36．如图，在3×3幻方中，填入9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等．按以上规则填成的幻方中，x的值为 3 ．
【分析】首先根据题意，可得：4x+（x+7）＝x+19；然后根据解一元一次方程的方法，求出x的值为多少即可．
【解答】解：根据题意，可得：4x+（x+7）＝x+19，
去括号，可得：4x+x+7＝x+19，
移项，可得：4x+x﹣x＝19﹣7，
合并同类项，可得：4x＝12，
系数化为1，可得：x＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了有理数的加法，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
三．解答题（共18小题）
37．将，（﹣2）2，|﹣2|，﹣3用“＜”连接，并在数轴上表示出来．
【分析】先在数轴上表示各个数，再根据数轴上右边的数总比左边的数大比较即可．
【解答】解：在数轴上表示各数如图所示：
故．
【点评】本题考查了数轴，有理数的大小比较的应用，能根据数轴上数的位置比较两个数的大小是解此题的关键．
38．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先算乘除，后算加法；
（2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算；注意乘法分配律的运用．
【解答】解：（1）
＝﹣8﹣3×
＝﹣8﹣5
＝﹣13；
（2）
＝1+12×﹣12×
＝1+3﹣2
＝2．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
39．计算：6×（﹣14）﹣（﹣14）+（﹣1）2022．
【分析】原式先算乘方，再算乘法，最后算加减即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣84+14+1
＝﹣70+1
＝﹣69．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
40．计算：﹣12022﹣|﹣4|+（﹣3）2÷3．
【分析】先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减．
【解答】解：原式＝﹣1﹣4+9÷3
＝﹣1﹣4+3
＝﹣2．
【点评】本题考查有理数混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算的顺序及相关运算的法则．
41．计算题：﹣12021﹣（+﹣）÷（﹣）．
【分析】先算乘方，同时将除法转化为乘法，然后计算括号内的式子，再计算括号外的乘法，最后算减法即可．
【解答】解：﹣12021﹣（+﹣）÷（﹣）
＝﹣1﹣（）×（﹣24）
＝﹣1﹣×（﹣24）
＝﹣1+2
＝1．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
42．计算：
（1）（+15）+（﹣30）﹣（+14）﹣（﹣25）；
（2）﹣42+3×（﹣2）2×（﹣1）÷（﹣1）．
【分析】（1）减法转化为加法，并写成省略加号和括号的形式，再进一步计算即可；
（2）先计算乘方和括号内减法、同时将除法转化为乘法，再计算乘法，最后计算加法即可．
【解答】解：（1）原式＝15﹣30﹣14+25
＝﹣4；
（2）原式＝﹣16+3×4×（﹣）×（﹣）
＝﹣16+6
＝﹣10．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算顺序和运算法则．
43．计算：[（﹣1）2+（1﹣）×]÷（﹣32+2）．
【分析】先算乘方、括号里的式子，再算除法．
【解答】解：原式＝（1+×）÷（﹣9+2）
＝（1+）÷（﹣7）
＝×（﹣）
＝﹣．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则、运算顺序是解决本题的关键．
44．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先算乘方和乘除，再算加减即可得答案；
（2）先算乘方、绝对值，把除化为乘后用乘法分配律，最后算加减．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+（﹣3）﹣（﹣4）×2
＝﹣1+（﹣3）﹣（﹣8）
＝﹣1﹣3+8
＝4；
（2）原式＝4﹣30+（﹣）×（﹣30）
＝4﹣30+×（﹣30）﹣×（﹣30）
＝4﹣30﹣4+21
＝﹣9．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握混合运算的顺序及相关法则．
45．计算：
（1）﹣21+17﹣（﹣13）；
（2）（﹣3）2×[（﹣）+（﹣）]．
【分析】（1）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果；
（2）原式先算乘方，再利用乘法分配律计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝﹣21+17+13
＝﹣21+30
＝9；
（2）原式＝9×（﹣﹣）
＝9×（﹣）﹣9×
＝﹣3﹣4
＝﹣7．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
46．计算：
（1）﹣2.3+4.3+×|5﹣8|；
（2）﹣32﹣28÷（﹣7）×（﹣）2．
【分析】（1）原式先算绝对值，再算乘法，最后算加法即可得到结果；
（2）原式先算乘方，再算乘除，最后算减法即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝﹣2.3+4.3+×3
＝﹣2.3+4.3+1
＝3；
（2）原式＝﹣9﹣28×（﹣）×
＝﹣9﹣（﹣1）
＝﹣9+1
＝﹣8．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，其运算顺序为：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行．
47．在数轴上表示a、0、1、b四个数的点如图所示，已知OA＝OB，求|a+b|+||+|a+1|+a的值．
【分析】由图可知a＜0＜1＜b，由OA＝OB，可得a+b＝0.和零的大小关系由a，b的符号决定．
【解答】解：由数轴可知：b＞1＞0＞a，∵OA＝OB，∴a+b＝0，，a+1＜0，…………（4分）
…………（8分）
【点评】本题考察对数轴的理解，以及如何去掉绝对值．
48．已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，|n|＝3，求代数式的值．
【分析】利用倒数，相反数，以及绝对值的代数式意义求出ab，c+d，n的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：∵a，b互为倒数，c，d互为相反数，|n|＝3，
∴ab＝1，c+d＝0，n＝3或﹣3，
当n＝3时，原式＝＝＝﹣3；
当n＝﹣3时，原式＝＝＝3，
综上，原式＝﹣3或3．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，相反数，倒数，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
49．某出租车沿南北方向行驶，从A地出发，晚上到达B地．规定向北为正方向．行驶记录如下（单位：km）：+18、﹣9、+7、﹣14、﹣6、+13、﹣6，
①B地在A地的什么位置？
②若出租车每行驶1km耗油1升，求该天共耗油多少升？
③若出租车起步价为7元，起步里程为3千米（包括3千米），超过部分每千米1.2元，则该天车费多少元？
【分析】（1）把这些数据全部相加进行计算即可判断；
（2）把这些数据的绝对值全部相加，然后进行计算即可；
（3）用起步价加上超过3km的费用，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）（+18）+（﹣9）+（+7）+（﹣14）+（﹣6）+（+13）+（﹣6）
＝18﹣9+7﹣14﹣6+13﹣6
＝3（千米），
∵规定向北为正方向，
∴B地在A地的北边3km处，
答：B地在A地的北边3km处；
（2）|+18|+|﹣9|+|+7|+|﹣14|+|+6|+|+13|+|﹣6|
＝18+9+7+14+6+13+6
＝73（千米），
∵出租车每行驶1km耗油1升，
∴该天共耗油73×1＝73（升），
答：该天共耗油73升；
（3）∵这七次每次的行驶路程都大于3km，
∴每次的计费方式都是起步价+超过3km的费用，
∴则该天车费＝7×7+（73﹣3×7）×1.2＝111.4（元），
答：该天车费为111.4元．
【点评】本题考查了正数和负数，准确熟练地进行计算是解题的关键．
50．科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农民采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负．下表是小王第一周柚子的销售情况：
星期
一
二
三
四
五
六
日
销售超过或不足计划量情况（单位：千克）
+3
﹣5
﹣2
+10
﹣7
+13
+5
（1）小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克？
（2）小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？
（3）若小王按10元/千克进行柚子销售，平均运费为3.5元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？
【分析】（1）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可；
（2）根据第一周实际销售柚子的数量相加计算即可；
（3）将总数量乘以价格差解答即可．
【解答】解：（1）13﹣（﹣7）＝13+7＝20（千克）．
答：小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售20千克．
（2）3﹣5﹣2+10﹣7+13+5+100×7
＝17+700
＝717（千克）．
答：小王第一周实际销售柚子的总量是717千克．
（3）717×（10﹣3.5）
＝717×6.5
＝4660.5（元）．
答：小王第一周销售柚子一共收入4660.5元．
【点评】此题考查正数和负数以及有理数的混合运算，此题的关键是读懂题意，列式计算．
51．已知x，y为有理数，现规定一种新运算“⊗”，满足x⊗y＝xy﹣2021．
（1）求（2⊗5）⊗（﹣4）的值；
（2）记P＝a⊗（b﹣c），Q＝a⊗b﹣a⊗c，请猜想P与Q的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据新定义的运算，代入相应的值求解即可；
（2）分别求得P，Q的值，再比较即可．
【解答】解：（1）（2⊗5）⊗（﹣4）
＝（2×5﹣2021）⊗（﹣4）
＝（10﹣2021）⊗（﹣4）
＝（﹣2011）⊗（﹣4）
＝﹣2011×（﹣4）﹣2021
＝8044﹣2021
＝6023；
（2）P＝Q﹣2021，理由如下：
∵P＝a⊗（b﹣c）
＝a（b﹣c）﹣2021
＝ab﹣ac﹣2021，
Q＝a⊗b﹣a⊗c
＝ab﹣2021﹣（ac﹣2021）
＝ab﹣2021﹣ac+2021
＝ab﹣ac，
∴P＝Q﹣2021．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
52．如图，半径为1个单位长度的圆形纸片上有一点Q与数轴上的原点重合．（提示：圆的周长C＝2πr，π取值为3.14）
（1）把圆形纸片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，则点A表示的数是 ﹣6.28 ；
（2）圆形纸片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆形纸片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动周数记录如下：+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2．当圆形纸片结束运动时，Q点运动的路程共是多少？此时点Q所表示的数是多少？
【分析】（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；
（2）利用绝对值得性质以及有理数的加减运算得出移动距离和Q表示的数即可．
【解答】解：（1）∵2πr＝2×3.14×1＝6.28，
∴点A表示的数是﹣6.28，
故答案为：﹣6.28；
（2）∵|+2|+|﹣1|+|﹣5|+|+4|+|+3|+|﹣2|＝17，
∴17×2π×1＝106.76，
∴当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有106.76，
∵2﹣1﹣5+4+3﹣2＝1，
∴1×2π×1≈6.28，
∴此时点Q所表示的数是6.28．
答：当圆片结束运动时，Q点运动的路共是106.76，此时点Q所表示的数是6.28．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，数轴的应用以及绝对值得性质和圆的周长公式应用，利用数轴得出对应数是解题关键．
53．数轴上两点A、B，A在B左边，原点O是线段AB上的一点，已知AB＝4，且OB＝3OA．点A、B对应的数分别是a、b，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x．
（1）a＝ ﹣1 ，b＝ 3 ，并在数轴上面标出A、B两点；
（2）若PA＝2PB，求x的值；
（3）若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请问在运动过程中，3PB﹣PA的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【分析】（1）根据AB＝4，且OB＝3OA．就可以确定a和b的值；
（2）分别用含x的代数式表示出PA和PB长度，再根据PA＝2PB建立等式，就可以求出x的值；
（3）分别表示出t秒后A、B、P的值，再代入3PB﹣PA，并化简就可以确定这是一个定值．
【解答】解：（1）因为AB＝4，且OB＝3OA．A，B对应的数分别是a、b，
所以a＝﹣1，b＝3．
故答案为：﹣1，3．
（2）①当P点在A点左侧时，PA＜PB，不合题意，舍去．
②当P点位于A、B两点之间时，
因为PA＝2PB，
所以x+1＝2（3﹣x），
所以x＝．
②当P点位于B点右侧时，
因为PA＝2PB，
所以x+1＝2（x﹣3），
所以x＝7．
故x的值为或7．
（3）t秒后，A点的值为（﹣1﹣t），P点的值为2t，B点的值为（3+3t），
所以3PB﹣PA
＝3（3+3t﹣2t）﹣[2t﹣（﹣1﹣t）]
＝9+3t﹣（2t+1+t）
＝9+3t﹣3t﹣1
＝8．
所以3PB﹣PA的值为定值，不随时间变化而变化．
【点评】本题主要考查数轴上两点之间距离、动点的坐标值的表示．以及代数式定值问题的证明．解题的关键点是动点的坐标值的表示以及分类讨论思想的运用．
54．如图所示，在数轴上点A，B，C表示的数为﹣2，0，6．点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点C之间的距离表示为AC．
（1）求AB、AC的长；
（2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和4个单位长度的速度向右运动．
请问：BC﹣AB的值是否随着运动时间t的变化而变化？若不变，请求其值；若变化，请说明理由并判断是否有最值，若有求其最值．
【分析】（1）在数轴上点A，B，C表示得数为﹣2，0，6，故AB的距离为2，AC的距离为8；
（2）由数轴可知，B点在A点前方，相距2个单位，C点在B点前方，相距6个单位．点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，则点A可表示的数为﹣2﹣2t，点B可表示的数为3t，点C可表示的数为6+4t，所以BC＝6+4t﹣3t＝t+6，AB＝3t﹣（﹣2﹣2t）＝5t+2；显然BC﹣AB＝4﹣4t，是随着t的值变化而变化，当t＝0时，最值为4．
【解答】解：（1）∵数轴上点A，B，C表示得数为﹣2，0，6，
∴AB的长为2，AC的长为8；
（2）设运动时间为t，
由数轴可知，B点在A点前方，相距2个单位，C点在B点前方，相距6个单位，
∵点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，
∴点A可表示的数为﹣2﹣2t，点B可表示的数为3t，点C可表示的数为6+4t，
∴BC＝6+4t﹣3t＝t+6，AB＝3t﹣（﹣2﹣2t）＝5t+2，
∴BC﹣AB＝t+6﹣（5t+2）＝4﹣4t，t＝0时，有最大值4．
【点评】本题考查了数轴和数轴上点之间距离的理解，综合性较强．
专题2--有理数及其运算【精讲】
1．有理数的分类
（1）按符号分类： （2）按定义分类：
2． 数轴
规定了原点．正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）．解题时要真正掌握数形结合的思想，并能灵活运用．
（1）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示；
（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
（3）正数都大于0，负数都小于0；正数大于一切负数．
3．相反数
（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数；
（2）一般地：若a为任一有理数，则a的相反数为；
（3） 0的相反数是0；
（4）相反数的相关性质：
①相反数的几何意义：表示互为相反数的两个点（除0 外）分别在原点O的两边，并且到原点的距离相等；
②互为相反数的两个数，和为0．
4．倒数：如果与互为倒数，则有，反之亦成立．倒数等于本身的数是1和．零没有倒数．
5．绝对值
（1）一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．
（2）正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
（3）或
（4）绝对值的性质：
①除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数； ②互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等；
③任何数的绝对值总是非负数，即； ④若，则；
⑤若，则； ⑥对任何有理数，都有．
6．有理数比较大小：
（1）正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；
（2）数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；
（3）两个负数，绝对值大的反而小．
7.加法法则计算步骤
（1） 符号的确定；
（2） 绝对值的计算．
按照“一观察，二确定，三求”的步骤进行，第一步观察两加数的符号是同号还是异号；第二步确定用哪条法则；第三步求出结果．
8．在使用加法交换律和结合律时，一般先把具有以下特征的数相加
（1） 互为相反数的两个数（和为0）；
（2） 相加能得到_____的数；
（3） 分母_____的数或易通分的数；
（4） 符号相同的数结合．
9．在进行有理数的减法运算时，关键是如何正确解决符号问题
改变两个符号：（1）运算符号，“减号”变为“加号”，（2）是减数的符号．
10.加减混合运算步骤
（1） 可以通过有理数的_______，把减法转化为加法；
（2） 再写成省略加号和_____的形式；
（3） 最后用加法法则和___________进行运算．
11.直接省略括号的方法
（1）括号前是“+”号，括号内数的符号________；
（2）括号前是“—”号，括号内数的符号________．
12．有理数乘法法则
两数相乘，同号得正；异号得负；并把绝对值相乘；任何数与0相乘，仍得0．若，则>0；若，则<0；
13．倒数
若=1，则称与互为倒数．
正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数．±1的倒数是它本身．
14．有理数乘法法则的推广：几个不等于0的有理数相乘，积的符号由负数的个数决定，负数的个数是奇数时，积为负；负数的个数是偶数时，积为正．几个有理数相乘时，有一个因数为0 时，积为0．
15．有理数乘法的运算律
乘法的交换律：ab=ba；乘法的结合律：（ab）c=a（bc）．
乘法对加法的分配律：a（b+c）=ab+aC．
16.有理数的除法法则（一）
（1）两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
（3） 0除以任何非0的数都得0． 注意：0不能作除数．
17.有理数的除法规则（二）
除以一个不等于0的数相当于乘以这个数的倒数．
（4） 求一个有理数的倒数的方法
用1除以一个数，商就是这个数的倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，±1的倒数是它本身，0没有倒数．
（5） 一般的，个相同因数相乘，记作．这种求个相同因数的积的运算叫做乘方．乘方的结果叫做，叫做底数，叫做指数.
18.．科学记数法的概念
一个数可以表示成×10的形式，其中1≤|a|＜10，是整数，这种记数方法叫做科学记数法．
19.．把科学记数法表示的数还原时，只要把×10中的小数点向右（向左）移动位．
归纳：．
两个有理数相乘或相除结果同号得正，异号得负
有理数混合运算的顺序是先算_______，再算_______，最后算_______，如有括号，就先算___________．
确定运算顺序，选择恰当的运算定律、小数一般化成_____，使运算更简便．
专题2--有理数及其运算【精练】
一．选择题（共27小题）
1．﹣2022的倒数是（ ）
A．2022 B．﹣ C．﹣2022 D．
2．﹣2022的绝对值是（ ）
A． B．﹣2022 C．2022 D．﹣
3．2022的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．2022 D．﹣2022
4．下列说法正确的是（ ）
A．﹣3是相反数
B．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右
C．如果a为有理数，那么a2＞0
D．若a＝b，则|a|＝|b|
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．绝对值最小的数是1
B．1的相反数是它本身
C．绝对值等于它本身的数是1
D．1的倒数是它本身
6．今年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域安全着陆，飞行任务取得圆满成功．已知神舟十三号飞行过程中近地距离200000m，远地距离356000m．将“356000”用科学记数法表示为（ ）
A．35.6×104 B．3.56×105 C．3.56×106 D．0.356×106
7．截止到2021年11月25日，诠释伟大抗美援朝精神的电影《长津湖》累计票房已突破56.9亿元，其中56.9亿用科学记数法表示为（ ）
A．5.69×108 B．5.69×109 C．56.9×108 D．0.569×1010
8．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿．则1兆等于（ ）
A．108 B．1012 C．1016 D．1024
9．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A． B． C． D．
10．一辆货车从超市出发，向东走了3km到达小彬家，继续向东走了1.5km到达小颖家，然后向西走了9.5km到达小明家，最后回到超市．小明家距小彬家（ ）km．
A．4.5 B．6.5 C．8 D．13.5
11．2020年12月17日凌晨，探月工程嫦娥五号返回器成功着陆，标志着我国首次月球采样返回任务圆满完成．月球表面的温度，中午大约是101℃，半夜大约是﹣153℃，中午比半夜高多少度？（ ）
A．52℃ B．﹣52℃ C．254℃ D．﹣254℃
12．若x是﹣3的相反数，|y|＝5，则x+y的值为（ ）
A．8或﹣2 B．8 C．﹣8或2 D．2
13．如图，数轴上点A表示的有理数为a，下列各数中在0，1之间的是（ ）
A．|a| B．﹣a C．|a|﹣1 D．a+1
14．如图，用数轴上点M表示有理数2，则表示有理数6的点是（ ）
A．A B．B C．C D．D
15．如图，在数轴上，若点A，B表示的数分别是﹣2和10，点M到点A，B距离相等，则M表示的数为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
16．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A．c＜a＜b B．abc＞0 C．a+b＞0 D．|c﹣b|＞|a﹣b|
17．如图，数轴上4个点表示的数分别为a、b、c、d．若|a﹣d|＝10，|a﹣b|＝6，|b﹣d|＝2|b﹣c|，则|c﹣d|＝（ ）
A．1 B．1.5 C．15 D．2
18．如图，数轴上的三个点A、B、C表示的数分别是a、b、c，且|a|＝|b|，AB＝BC，则下列结论中①ab＜0；②a＝﹣b；③a+c＞0；④3a+c＝0中，正确的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．计算9÷（﹣3）×的结果为（ ）
A．﹣1 B．1 C．9 D．﹣9
20．下表记录了2021年12月份某一天东北地区四个城市的平均气温：
区县
大连
哈尔滨
长春
沈阳
气温（℃）
+7
﹣3
0
4
这四个城市中该天平均气温最低的是（ ）
A．哈尔滨 B．大连 C．长春 D．沈阳
21．若气温升高5℃时，记作+5℃，则气温下降10℃时，记作（ ）
A．+10℃ B．﹣10℃ C．﹣5℃ D．+5℃
22．如果﹣300元表示亏本300元，那么+500元表示（ ）
A．亏本500元 B．盈利500元 C．亏本800元 D．盈利800元
23．|﹣1|，（﹣1）2，（﹣1）3这三个数中，等于﹣1的数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
24．下列式子中正确的是（ ）
A．﹣|﹣31|＝31
B．（﹣5）+（﹣5）+（﹣5）+（﹣5）+（﹣5）＝（﹣5）5
C．﹣8÷（2﹣4）＝﹣4+2＝﹣2
D．|﹣3﹣1|＝|﹣3|+|﹣1|
25．下列计算中，正确的是（ ）
A．|﹣2|＝﹣2 B．（﹣1）2＝﹣2 C．﹣7+3＝﹣4 D．6÷（﹣2）＝3
26．下列各对数中，相等的一对数是（ ）
A．（﹣2）3与﹣23 B．﹣22与（﹣2）2
C．﹣（﹣3）与﹣|﹣3| D．与
27．现定义一种新运算“*”，规定a*b＝b2﹣a，如3*1＝12﹣3＝﹣2，则（﹣2）*（﹣3）等于（ ）
A．11 B．﹣11 C．7 D．﹣7
二．填空题（共9小题）
28．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简|a+b|+|b﹣c|﹣|a﹣c|＝ ．
29．符号“f”，“g”分别表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝2，f（4）＝3，⋯，f（10）＝9，⋯；
（2），，，，⋯，，⋯．
利用以上规律计算：＝ ．
30．下列四个数中：①0；②﹣；③5；④﹣1．最小的数是 ．（填序号）
31．点A、B在数轴上，若数轴上点A表示﹣1，且AB＝2，则点B表示的数是 ．
32．若x、y互为倒数，则（﹣xy）2022＝ ．
33．已知|x|＝2，|y|＝1，且|x﹣y|＝y﹣x，则x﹣y＝ ．
34．若（x﹣2）2+|y+3|＝0，则y的值是 ．
35．若|x+1|+（y﹣2）2＝0，则2x﹣3y＝ ．
36．如图，在3×3幻方中，填入9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等．按以上规则填成的幻方中，x的值为 ．
三．解答题（共18小题）
37．将，（﹣2）2，|﹣2|，﹣3用“＜”连接，并在数轴上表示出来．
38．计算：
（1）；
（2）．
39．计算：6×（﹣14）﹣（﹣14）+（﹣1）2022．
40．计算：﹣12022﹣|﹣4|+（﹣3）2÷3．
41．计算题：﹣12021﹣（+﹣）÷（﹣）．
42．计算：
（1）（+15）+（﹣30）﹣（+14）﹣（﹣25）；
（2）﹣42+3×（﹣2）2×（﹣1）÷（﹣1）．
43．计算：[（﹣1）2+（1﹣）×]÷（﹣32+2）．
44．计算：
（1）；
（2）．
45．计算：
（1）﹣21+17﹣（﹣13）；
（2）（﹣3）2×[（﹣）+（﹣）]．
46．计算：
（1）﹣2.3+4.3+×|5﹣8|；
（2）﹣32﹣28÷（﹣7）×（﹣）2．
47．在数轴上表示a、0、1、b四个数的点如图所示，已知OA＝OB，求|a+b|+||+|a+1|+a的值．
48．已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，|n|＝3，求代数式的值．
49．某出租车沿南北方向行驶，从A地出发，晚上到达B地．规定向北为正方向．行驶记录如下（单位：km）：+18、﹣9、+7、﹣14、﹣6、+13、﹣6，
①B地在A地的什么位置？
②若出租车每行驶1km耗油1升，求该天共耗油多少升？
③若出租车起步价为7元，起步里程为3千米（包括3千米），超过部分每千米1.2元，则该天车费多少元？
50．科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农民采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负．下表是小王第一周柚子的销售情况：
星期
一
二
三
四
五
六
日
销售超过或不足计划量情况（单位：千克）
+3
﹣5
﹣2
+10
﹣7
+13
+5
（1）小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克？
（2）小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？
（3）若小王按10元/千克进行柚子销售，平均运费为3.5元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？
51．已知x，y为有理数，现规定一种新运算“⊗”，满足x⊗y＝xy﹣2021．
（1）求（2⊗5）⊗（﹣4）的值；
（2）记P＝a⊗（b﹣c），Q＝a⊗b﹣a⊗c，请猜想P与Q的数量关系，并说明理由．
52．如图，半径为1个单位长度的圆形纸片上有一点Q与数轴上的原点重合．（提示：圆的周长C＝2πr，π取值为3.14）
（1）把圆形纸片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，则点A表示的数是 ；
（2）圆形纸片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆形纸片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动周数记录如下：+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2．当圆形纸片结束运动时，Q点运动的路程共是多少？此时点Q所表示的数是多少？
53．数轴上两点A、B，A在B左边，原点O是线段AB上的一点，已知AB＝4，且OB＝3OA．点A、B对应的数分别是a、b，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x．
（1）a＝ ，b＝ ，并在数轴上面标出A、B两点；
（2）若PA＝2PB，求x的值；
（3）若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请问在运动过程中，3PB﹣PA的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
54．如图所示，在数轴上点A，B，C表示的数为﹣2，0，6．点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点C之间的距离表示为AC．
（1）求AB、AC的长；
（2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和4个单位长度的速度向右运动．
请问：BC﹣AB的值是否随着运动时间t的变化而变化？若不变，请求其值；若变化，请说明理由并判断是否有最值，若有求其最值．
专题2--有理数及其运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共27小题）
1．﹣2022的倒数是（ ）
A．2022 B．﹣ C．﹣2022 D．
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：﹣2022的倒数是：﹣．
故选：B．
【点评】此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．
2．﹣2022的绝对值是（ ）
A． B．﹣2022 C．2022 D．﹣
【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案．
【解答】解：﹣2022的绝对值是2022．
故选：C．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键．
3．2022的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．2022 D．﹣2022
【分析】直接根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：2022的相反数等于﹣2022，
故选：D．
【点评】此题考查的是相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
4．下列说法正确的是（ ）
A．﹣3是相反数
B．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右
C．如果a为有理数，那么a2＞0
D．若a＝b，则|a|＝|b|
【分析】A：相反数是成对出现的；
B：正数在原点右侧；
C：a＝0时a2＝0；
D：两数相等，那么它的绝对值也相等．
【解答】解：A：﹣3是3相反数，∴不符合题意；
B：一个正数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右，∴不符合题意；
C：如果a为有理数，那么a2≥0，∴不符合题意；
D：若a＝b，则|a|＝|b|，∴符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查有理数乘方、数轴、相反数、绝对值，掌握这几个定义的意义，运用的时候注意它们的区别是解题关键．
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．绝对值最小的数是1
B．1的相反数是它本身
C．绝对值等于它本身的数是1
D．1的倒数是它本身
【分析】根据绝对值的性质，倒数、相反数的定义分析即可求解．
【解答】解：A、绝对值最小的数是0，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、1的相反数是﹣1，0的相反数是它本身，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、绝对值等于它本身的数一定是非负数，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、1的倒数是它本身，原说法正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了绝对值，倒数、相反数等基础知识．数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值；乘积为1的两个数互为倒数．
6．今年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域安全着陆，飞行任务取得圆满成功．已知神舟十三号飞行过程中近地距离200000m，远地距离356000m．将“356000”用科学记数法表示为（ ）
A．35.6×104 B．3.56×105 C．3.56×106 D．0.356×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将356000用科学记数法表示为3.56×105．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7．截止到2021年11月25日，诠释伟大抗美援朝精神的电影《长津湖》累计票房已突破56.9亿元，其中56.9亿用科学记数法表示为（ ）
A．5.69×108 B．5.69×109 C．56.9×108 D．0.569×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：56.9亿＝5690000000＝5.69×109．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
8．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿．则1兆等于（ ）
A．108 B．1012 C．1016 D．1024
【分析】根据同底数幂的乘法先求出1亿，再求1兆即可．
【解答】解：1亿＝104×104
＝108，
1兆＝104×104×108
＝104+4+8
＝1016，
故选：C．
【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握am•an＝am+n是解题的关键．
9．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先比较各个数的绝对值，绝对值最小的数，表示它离标准最近．
【解答】解：∵|﹣0.4|＝0.4，|+0.5|＝0.5，|﹣0.5|＝0.5，|+0.8|＝0.8，而0.4＜0.5＜0.8，
∴最接近标准的是选项C．
故选：C．
【点评】本题考查了正、负数和绝对值．理解绝对值表示的意义是解决本题的关键．要注意从轻重的角度看，最接近标准的是绝对值最小的数．
10．一辆货车从超市出发，向东走了3km到达小彬家，继续向东走了1.5km到达小颖家，然后向西走了9.5km到达小明家，最后回到超市．小明家距小彬家（ ）km．
A．4.5 B．6.5 C．8 D．13.5
【分析】根据题意画出示意图，根据位置关系计算即可．
【解答】解：由题意画图如下：
∴小明家距小彬家9.5﹣1.5＝8（km），
故选：C．
【点评】本题主要考查数轴的知识，根据题意画出位置示意图是解题的关键．
11．2020年12月17日凌晨，探月工程嫦娥五号返回器成功着陆，标志着我国首次月球采样返回任务圆满完成．月球表面的温度，中午大约是101℃，半夜大约是﹣153℃，中午比半夜高多少度？（ ）
A．52℃ B．﹣52℃ C．254℃ D．﹣254℃
【分析】根据中午比半夜高的度数＝中午温度﹣晚上温度，列式计算．
【解答】解：根据题意得：101﹣（﹣153）
＝101+153
＝254（℃）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数减法，熟练掌握有理数减法法则，根据题意列出式子是解题关键．
12．若x是﹣3的相反数，|y|＝5，则x+y的值为（ ）
A．8或﹣2 B．8 C．﹣8或2 D．2
【分析】直接利用相反数的性质以及绝对值的性质分别得出x，y的值，进而得出答案．
【解答】解：∵x是﹣3的相反数，|y|＝5，
∴x＝3，y＝±5，
则x+y的值为：3+5＝8或3﹣5＝﹣2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数的性质以及绝对值的性质，正确得出x，y的值是解题关键．
13．如图，数轴上点A表示的有理数为a，下列各数中在0，1之间的是（ ）
A．|a| B．﹣a C．|a|﹣1 D．a+1
【分析】先根据数轴确定a的范围，再判断每个选项的范围，即可得出答案．
【解答】解：由图可知﹣2＜a＜﹣1，
∴1＜|a|＜2，1＜﹣a＜2，0＜|a|﹣1＜1，﹣1＜a+1＜0，
∴在0到1之间的为|a|﹣1，
故选：C．
【点评】本题主要考查与数轴有关的计算，关键是要能根据数轴确定a的范围．
14．如图，用数轴上点M表示有理数2，则表示有理数6的点是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【分析】先由点M表示的数确定一个间隔表示两个单位，得到6需要三个间隔即可得出答案．
【解答】解：∵点M表示的数为2，
∴一个间隔表示2个单位，
∴6与原点需要三个间隔表示，且在原点的右侧，
∴表示6的点为D，
故选：D．
【点评】本题主要考查数轴的概念，关键是要能求出每个间隔表示几个单位．
15．如图，在数轴上，若点A，B表示的数分别是﹣2和10，点M到点A，B距离相等，则M表示的数为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【分析】利用数轴上两点间的距离计算即可．
【解答】解：由题意得：
AB＝10﹣（﹣2）
＝10+2
＝12，
∵点M到点A，B距离相等
∴MB＝12÷2＝6，
∴10﹣6＝4，
∴点M表示的数是：4，
故选：D．
【点评】本题考查了数轴上两点间距离，学生必须熟练掌握才能正确判断．
16．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A．c＜a＜b B．abc＞0 C．a+b＞0 D．|c﹣b|＞|a﹣b|
【分析】由a、b、c在数轴上的位置可判断选项A；
由a、b、c的符号可判断选项B；
由有理数的加法法则可判断选项C；
由两点之间的距离可判断选项D．
【解答】解：∵a、b、c在数轴上的位置从左到右排列为：c、a、b，
∴c＜a＜b，故选项A正确；
由a、b、c在数轴上的位置可知：a＜0，b＞0，c＜0，
∴abc＞0，故选项B正确；
由a、b、c在数轴上的位置可知：a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，
∴a+b＜0，故选项C错误；
由a、b、c在数轴上的位置可知：表示数a的点到表示数b的点的距离小于表示数c的点到表示数b的点的距离，
∴|c﹣b|＞|a﹣b|，故选项D正确；
故选：C．
【点评】本题考查了数轴的有关知识，掌握有理数与数轴上点的对应关系是解决问题的关键．
17．如图，数轴上4个点表示的数分别为a、b、c、d．若|a﹣d|＝10，|a﹣b|＝6，|b﹣d|＝2|b﹣c|，则|c﹣d|＝（ ）
A．1 B．1.5 C．15 D．2
【分析】根据|a﹣d|＝10，|a﹣b|＝6得出b和d之间的距离，从而求出b和c之间的距离，然后假设a表示的数为0，分别求出b，c，d表示的数，即可得出答案．
【解答】解：∵|a﹣d|＝10，
∴a和d之间的距离为10，
假设a表示的数为0，则d表示的数为10，
∵|a﹣b|＝6，
∴a和b之间的距离为6，
∴b表示的数为6，
∴|b﹣d|＝4，
∴|b﹣c|＝2，
∴c表示的数为8，
∴|c﹣d|＝|8﹣10|＝2，
故选：D．
【点评】本题主要考查绝对值的化简，关键是要能恰当的设出a，b，c，d表示的数．
18．如图，数轴上的三个点A、B、C表示的数分别是a、b、c，且|a|＝|b|，AB＝BC，则下列结论中①ab＜0；②a＝﹣b；③a+c＞0；④3a+c＝0中，正确的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由|a|＝|b|可得a和b互为相反数，可假设a表示﹣1，则b表示1，得出AB的值，再由AB＝BC得出c的值，即可确定答案．
【解答】解：∵|a|＝|b|，
∴a和b互为相反数，
假设a＝﹣1，则b＝1，
∴②说法符合题意，
∴AB＝2，
∵AB＝BC，
∴BC＝2，
∴OC＝3，
∴c表示的数为3，
∴ab＝﹣1×1＝﹣1＜0，
∴①说法符合题意，
∵a+c＝﹣1+3＝2＞0，
∴③说法符合题意，
∵3a+c＝3×（﹣1）+3＝0，
∴④说法符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查数轴上点的运算，关键是要确定a，b，c之间的数量关系．
19．计算9÷（﹣3）×的结果为（ ）
A．﹣1 B．1 C．9 D．﹣9
【分析】直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝﹣3×
＝﹣1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了有理数的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
20．下表记录了2021年12月份某一天东北地区四个城市的平均气温：
区县
大连
哈尔滨
长春
沈阳
气温（℃）
+7
﹣3
0
4
这四个城市中该天平均气温最低的是（ ）
A．哈尔滨 B．大连 C．长春 D．沈阳
【分析】正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣3＜0＜4＜+7，
∴这四个城市中该天平均气温最低的是哈尔滨．
故选：A．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小．
21．若气温升高5℃时，记作+5℃，则气温下降10℃时，记作（ ）
A．+10℃ B．﹣10℃ C．﹣5℃ D．+5℃
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【解答】解：若气温升高5℃时，记作+5℃，则气温下降10℃时，记作﹣10℃．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
22．如果﹣300元表示亏本300元，那么+500元表示（ ）
A．亏本500元 B．盈利500元 C．亏本800元 D．盈利800元
【分析】“正”和“负”是表示互为相反意义的量，亏本用负数不是，则正数表示盈利．
【解答】解：如果﹣300表示亏本300元，那么+500表示盈利500元．
故选：B．
【点评】本题考查正数、负数的意义，一个量用正数表示，那么与它具有相反意义的量就用负数表示．
23．|﹣1|，（﹣1）2，（﹣1）3这三个数中，等于﹣1的数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】直接利用绝对值的性质以及有理数的乘方运算法则分别化简，进而得出答案．
【解答】解：|﹣1|＝1，（﹣1）2＝1，（﹣1）3＝﹣1，
故等于﹣1的数有1个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了绝对值的性质以及有理数的乘方运算，正确化简各数是解题关键．
24．下列式子中正确的是（ ）
A．﹣|﹣31|＝31
B．（﹣5）+（﹣5）+（﹣5）+（﹣5）+（﹣5）＝（﹣5）5
C．﹣8÷（2﹣4）＝﹣4+2＝﹣2
D．|﹣3﹣1|＝|﹣3|+|﹣1|
【分析】利用去绝对值符号的法则，有理数的加法法则，有理数的除法法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、﹣|﹣31|＝﹣31，故A不符合题意；
B、（﹣5）+（﹣5）+（﹣5）+（﹣5）+（﹣5）＝5×（﹣5）＝﹣25，故B不符合题意；
C、﹣8÷（2﹣4）＝﹣8÷（﹣2）＝4，故C不符合题意；
D、|﹣3﹣1|＝|﹣3|+|﹣1|，故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
25．下列计算中，正确的是（ ）
A．|﹣2|＝﹣2 B．（﹣1）2＝﹣2 C．﹣7+3＝﹣4 D．6÷（﹣2）＝3
【分析】根据绝对值的意义判断A；根据有理数的乘方法则判断B；根据有理数的加法法则判断C；根据有理数的除法法则判断D．
【解答】解：A、|﹣2|＝2，故本选项计算错误，不符合题意；
B、（﹣1）2＝1，故本选项计算错误，不符合题意；
C、﹣7+3＝﹣4，故本选项计算正确，符合题意；
D、6÷（﹣2）＝﹣3，故本选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
26．下列各对数中，相等的一对数是（ ）
A．（﹣2）3与﹣23 B．﹣22与（﹣2）2
C．﹣（﹣3）与﹣|﹣3| D．与
【分析】利用有理数的乘方运算法则及绝对值和相反数的概念进行计算或化简，从而作出判断．
【解答】解：A、（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，（﹣2）3与﹣23相等，故此选项符合题意；
B、﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，﹣22与（﹣2）2不相等，故此选项不符合题意；
C、﹣（﹣3）＝3，﹣|﹣3|＝﹣3，﹣（﹣3）与﹣|﹣3|不相等，故此选项不符合题意；
D、，（）2＝，与（）2不相等，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查有理数的乘方运算，理解相反数和绝对值的概念，掌握有理数乘方运算法则是解题关键．
27．现定义一种新运算“*”，规定a*b＝b2﹣a，如3*1＝12﹣3＝﹣2，则（﹣2）*（﹣3）等于（ ）
A．11 B．﹣11 C．7 D．﹣7
【分析】根据a*b＝b2﹣a，可以求得所求子的值．
【解答】解：∵a*b＝b2﹣a，
∴（﹣2）*（﹣3）
＝（﹣3）2﹣（﹣2）
＝9+2
＝11，
故选：A．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是会用新定义解答问题．
二．填空题（共9小题）
28．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简|a+b|+|b﹣c|﹣|a﹣c|＝ ﹣2b ．
【分析】想要去掉绝对值，就要按照绝对值的性质，先判断绝对值内整体的正负情况，从数轴上看a+b为两个负数相加结果一定为负，b﹣c是负数减去正数结果一定为负，a﹣c是负数减去正数结果一定为负，再依次计算就可以得到结果．
【解答】解：由题意得a+b＜0，b﹣c＜0，a﹣c＜0，
则|a+b|+|b−c|−|a−c|＝﹣（a+b）﹣（b﹣c）+（a﹣c）＝﹣a﹣b﹣b+c+a﹣c＝﹣2b．
故答案为：﹣2b．
【点评】本题主要考查了绝对值的性质，解题的关键是先判断绝对值内每个代数式的正负情况，其次注意符号的判断．
29．符号“f”，“g”分别表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝2，f（4）＝3，⋯，f（10）＝9，⋯；
（2），，，，⋯，，⋯．
利用以上规律计算：＝ 1 ．
【分析】根据（1）和（2）可以得到f（n）＝n﹣1，g（n）＝，然后即可计算出所求式子的值．
【解答】解：由（1）可知：f（n）＝n﹣1，
由（2）知：g（n）＝，
∴
＝2022﹣2021
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，写出f（n）和g（n）．
30．下列四个数中：①0；②﹣；③5；④﹣1．最小的数是 ④ ．（填序号）
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣1＜﹣＜0＜5，
∴所给的四个数中：①0；②﹣；③5；④﹣1，最小的数是④．
故答案为：④．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
31．点A、B在数轴上，若数轴上点A表示﹣1，且AB＝2，则点B表示的数是 1或﹣3 ．
【分析】分两种情况，点B在点A的左侧，点B在点A的右侧．
【解答】解：分两种情况：
当点B在点A的左侧，
∵AB＝2，
∴﹣1﹣2＝﹣3，
∴点B表示的数是：﹣3，
当点B在点A的右侧，
∵AB＝2，
∴﹣1+2＝1，
∴点B表示的数是：1，
综上所述：点B表示的数是：1或﹣3．
【点评】本题考查了数轴，分两种情况讨论是解题的关键．
32．若x、y互为倒数，则（﹣xy）2022＝ 1 ．
【分析】乘积是1的两数互为倒数．据此解答即可．
【解答】解：∵x、y互为倒数，
∴xy＝1，
∴（﹣xy）2022＝（﹣1）2022＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键．
33．已知|x|＝2，|y|＝1，且|x﹣y|＝y﹣x，则x﹣y＝ ﹣3或﹣1 ．
【分析】根据绝对值的意义得到x＝﹣2，y＝1或y＝1，然后计算x﹣y的值．
【解答】解：∵|x|＝2，|y|＝1，且|x﹣y|＝y﹣x，
∴x＝﹣2，y＝1或y＝﹣1，
∴x﹣y＝﹣2﹣1＝﹣3或x﹣y＝﹣2+1＝﹣1．
故答案为：﹣3或﹣1．
【点评】本题考查了有理数的减法以及绝对值，根据题意得出x、y的值是解得本题的关键．
34．若（x﹣2）2+|y+3|＝0，则y的值是 ﹣3 ．
【分析】依据非负数的性质即可求得x、y的值．
【解答】解：∵（x﹣2）2+|y+3|＝0，
∴x﹣2＝0，y+3＝0，
∴x＝2，y＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查的是非负数的性质，当几个非负数的和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
35．若|x+1|+（y﹣2）2＝0，则2x﹣3y＝ ﹣8 ．
【分析】依据非负数的性质，即可得到x＝﹣1，y＝2，代入代数式进行计算即可．
【解答】解：∵|x+1|+（y﹣2）2＝0，
∴x+1＝0，y﹣2＝0，
解得x＝﹣1，y＝2，
∴2x﹣3y＝﹣2﹣6＝﹣8，
故答案为：﹣8．
【点评】本题主要考查了非负数的性质，当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
36．如图，在3×3幻方中，填入9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等．按以上规则填成的幻方中，x的值为 3 ．
【分析】首先根据题意，可得：4x+（x+7）＝x+19；然后根据解一元一次方程的方法，求出x的值为多少即可．
【解答】解：根据题意，可得：4x+（x+7）＝x+19，
去括号，可得：4x+x+7＝x+19，
移项，可得：4x+x﹣x＝19﹣7，
合并同类项，可得：4x＝12，
系数化为1，可得：x＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了有理数的加法，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
三．解答题（共18小题）
37．将，（﹣2）2，|﹣2|，﹣3用“＜”连接，并在数轴上表示出来．
【分析】先在数轴上表示各个数，再根据数轴上右边的数总比左边的数大比较即可．
【解答】解：在数轴上表示各数如图所示：
故．
【点评】本题考查了数轴，有理数的大小比较的应用，能根据数轴上数的位置比较两个数的大小是解此题的关键．
38．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先算乘除，后算加法；
（2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算；注意乘法分配律的运用．
【解答】解：（1）
＝﹣8﹣3×
＝﹣8﹣5
＝﹣13；
（2）
＝1+12×﹣12×
＝1+3﹣2
＝2．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
39．计算：6×（﹣14）﹣（﹣14）+（﹣1）2022．
【分析】原式先算乘方，再算乘法，最后算加减即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣84+14+1
＝﹣70+1
＝﹣69．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
40．计算：﹣12022﹣|﹣4|+（﹣3）2÷3．
【分析】先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减．
【解答】解：原式＝﹣1﹣4+9÷3
＝﹣1﹣4+3
＝﹣2．
【点评】本题考查有理数混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算的顺序及相关运算的法则．
41．计算题：﹣12021﹣（+﹣）÷（﹣）．
【分析】先算乘方，同时将除法转化为乘法，然后计算括号内的式子，再计算括号外的乘法，最后算减法即可．
【解答】解：﹣12021﹣（+﹣）÷（﹣）
＝﹣1﹣（）×（﹣24）
＝﹣1﹣×（﹣24）
＝﹣1+2
＝1．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
42．计算：
（1）（+15）+（﹣30）﹣（+14）﹣（﹣25）；
（2）﹣42+3×（﹣2）2×（﹣1）÷（﹣1）．
【分析】（1）减法转化为加法，并写成省略加号和括号的形式，再进一步计算即可；
（2）先计算乘方和括号内减法、同时将除法转化为乘法，再计算乘法，最后计算加法即可．
【解答】解：（1）原式＝15﹣30﹣14+25
＝﹣4；
（2）原式＝﹣16+3×4×（﹣）×（﹣）
＝﹣16+6
＝﹣10．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算顺序和运算法则．
43．计算：[（﹣1）2+（1﹣）×]÷（﹣32+2）．
【分析】先算乘方、括号里的式子，再算除法．
【解答】解：原式＝（1+×）÷（﹣9+2）
＝（1+）÷（﹣7）
＝×（﹣）
＝﹣．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则、运算顺序是解决本题的关键．
44．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先算乘方和乘除，再算加减即可得答案；
（2）先算乘方、绝对值，把除化为乘后用乘法分配律，最后算加减．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+（﹣3）﹣（﹣4）×2
＝﹣1+（﹣3）﹣（﹣8）
＝﹣1﹣3+8
＝4；
（2）原式＝4﹣30+（﹣）×（﹣30）
＝4﹣30+×（﹣30）﹣×（﹣30）
＝4﹣30﹣4+21
＝﹣9．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握混合运算的顺序及相关法则．
45．计算：
（1）﹣21+17﹣（﹣13）；
（2）（﹣3）2×[（﹣）+（﹣）]．
【分析】（1）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果；
（2）原式先算乘方，再利用乘法分配律计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝﹣21+17+13
＝﹣21+30
＝9；
（2）原式＝9×（﹣﹣）
＝9×（﹣）﹣9×
＝﹣3﹣4
＝﹣7．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
46．计算：
（1）﹣2.3+4.3+×|5﹣8|；
（2）﹣32﹣28÷（﹣7）×（﹣）2．
【分析】（1）原式先算绝对值，再算乘法，最后算加法即可得到结果；
（2）原式先算乘方，再算乘除，最后算减法即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝﹣2.3+4.3+×3
＝﹣2.3+4.3+1
＝3；
（2）原式＝﹣9﹣28×（﹣）×
＝﹣9﹣（﹣1）
＝﹣9+1
＝﹣8．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，其运算顺序为：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行．
47．在数轴上表示a、0、1、b四个数的点如图所示，已知OA＝OB，求|a+b|+||+|a+1|+a的值．
【分析】由图可知a＜0＜1＜b，由OA＝OB，可得a+b＝0.和零的大小关系由a，b的符号决定．
【解答】解：由数轴可知：b＞1＞0＞a，∵OA＝OB，∴a+b＝0，，a+1＜0，…………（4分）
…………（8分）
【点评】本题考察对数轴的理解，以及如何去掉绝对值．
48．已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，|n|＝3，求代数式的值．
【分析】利用倒数，相反数，以及绝对值的代数式意义求出ab，c+d，n的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：∵a，b互为倒数，c，d互为相反数，|n|＝3，
∴ab＝1，c+d＝0，n＝3或﹣3，
当n＝3时，原式＝＝＝﹣3；
当n＝﹣3时，原式＝＝＝3，
综上，原式＝﹣3或3．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，相反数，倒数，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
49．某出租车沿南北方向行驶，从A地出发，晚上到达B地．规定向北为正方向．行驶记录如下（单位：km）：+18、﹣9、+7、﹣14、﹣6、+13、﹣6，
①B地在A地的什么位置？
②若出租车每行驶1km耗油1升，求该天共耗油多少升？
③若出租车起步价为7元，起步里程为3千米（包括3千米），超过部分每千米1.2元，则该天车费多少元？
【分析】（1）把这些数据全部相加进行计算即可判断；
（2）把这些数据的绝对值全部相加，然后进行计算即可；
（3）用起步价加上超过3km的费用，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）（+18）+（﹣9）+（+7）+（﹣14）+（﹣6）+（+13）+（﹣6）
＝18﹣9+7﹣14﹣6+13﹣6
＝3（千米），
∵规定向北为正方向，
∴B地在A地的北边3km处，
答：B地在A地的北边3km处；
（2）|+18|+|﹣9|+|+7|+|﹣14|+|+6|+|+13|+|﹣6|
＝18+9+7+14+6+13+6
＝73（千米），
∵出租车每行驶1km耗油1升，
∴该天共耗油73×1＝73（升），
答：该天共耗油73升；
（3）∵这七次每次的行驶路程都大于3km，
∴每次的计费方式都是起步价+超过3km的费用，
∴则该天车费＝7×7+（73﹣3×7）×1.2＝111.4（元），
答：该天车费为111.4元．
【点评】本题考查了正数和负数，准确熟练地进行计算是解题的关键．
50．科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农民采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负．下表是小王第一周柚子的销售情况：
星期
一
二
三
四
五
六
日
销售超过或不足计划量情况（单位：千克）
+3
﹣5
﹣2
+10
﹣7
+13
+5
（1）小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克？
（2）小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？
（3）若小王按10元/千克进行柚子销售，平均运费为3.5元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？
【分析】（1）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可；
（2）根据第一周实际销售柚子的数量相加计算即可；
（3）将总数量乘以价格差解答即可．
【解答】解：（1）13﹣（﹣7）＝13+7＝20（千克）．
答：小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售20千克．
（2）3﹣5﹣2+10﹣7+13+5+100×7
＝17+700
＝717（千克）．
答：小王第一周实际销售柚子的总量是717千克．
（3）717×（10﹣3.5）
＝717×6.5
＝4660.5（元）．
答：小王第一周销售柚子一共收入4660.5元．
【点评】此题考查正数和负数以及有理数的混合运算，此题的关键是读懂题意，列式计算．
51．已知x，y为有理数，现规定一种新运算“⊗”，满足x⊗y＝xy﹣2021．
（1）求（2⊗5）⊗（﹣4）的值；
（2）记P＝a⊗（b﹣c），Q＝a⊗b﹣a⊗c，请猜想P与Q的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据新定义的运算，代入相应的值求解即可；
（2）分别求得P，Q的值，再比较即可．
【解答】解：（1）（2⊗5）⊗（﹣4）
＝（2×5﹣2021）⊗（﹣4）
＝（10﹣2021）⊗（﹣4）
＝（﹣2011）⊗（﹣4）
＝﹣2011×（﹣4）﹣2021
＝8044﹣2021
＝6023；
（2）P＝Q﹣2021，理由如下：
∵P＝a⊗（b﹣c）
＝a（b﹣c）﹣2021
＝ab﹣ac﹣2021，
Q＝a⊗b﹣a⊗c
＝ab﹣2021﹣（ac﹣2021）
＝ab﹣2021﹣ac+2021
＝ab﹣ac，
∴P＝Q﹣2021．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
52．如图，半径为1个单位长度的圆形纸片上有一点Q与数轴上的原点重合．（提示：圆的周长C＝2πr，π取值为3.14）
（1）把圆形纸片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，则点A表示的数是 ﹣6.28 ；
（2）圆形纸片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆形纸片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动周数记录如下：+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2．当圆形纸片结束运动时，Q点运动的路程共是多少？此时点Q所表示的数是多少？
【分析】（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；
（2）利用绝对值得性质以及有理数的加减运算得出移动距离和Q表示的数即可．
【解答】解：（1）∵2πr＝2×3.14×1＝6.28，
∴点A表示的数是﹣6.28，
故答案为：﹣6.28；
（2）∵|+2|+|﹣1|+|﹣5|+|+4|+|+3|+|﹣2|＝17，
∴17×2π×1＝106.76，
∴当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有106.76，
∵2﹣1﹣5+4+3﹣2＝1，
∴1×2π×1≈6.28，
∴此时点Q所表示的数是6.28．
答：当圆片结束运动时，Q点运动的路共是106.76，此时点Q所表示的数是6.28．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，数轴的应用以及绝对值得性质和圆的周长公式应用，利用数轴得出对应数是解题关键．
53．数轴上两点A、B，A在B左边，原点O是线段AB上的一点，已知AB＝4，且OB＝3OA．点A、B对应的数分别是a、b，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x．
（1）a＝ ﹣1 ，b＝ 3 ，并在数轴上面标出A、B两点；
（2）若PA＝2PB，求x的值；
（3）若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请问在运动过程中，3PB﹣PA的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【分析】（1）根据AB＝4，且OB＝3OA．就可以确定a和b的值；
（2）分别用含x的代数式表示出PA和PB长度，再根据PA＝2PB建立等式，就可以求出x的值；
（3）分别表示出t秒后A、B、P的值，再代入3PB﹣PA，并化简就可以确定这是一个定值．
【解答】解：（1）因为AB＝4，且OB＝3OA．A，B对应的数分别是a、b，
所以a＝﹣1，b＝3．
故答案为：﹣1，3．
（2）①当P点在A点左侧时，PA＜PB，不合题意，舍去．
②当P点位于A、B两点之间时，
因为PA＝2PB，
所以x+1＝2（3﹣x），
所以x＝．
②当P点位于B点右侧时，
因为PA＝2PB，
所以x+1＝2（x﹣3），
所以x＝7．
故x的值为或7．
（3）t秒后，A点的值为（﹣1﹣t），P点的值为2t，B点的值为（3+3t），
所以3PB﹣PA
＝3（3+3t﹣2t）﹣[2t﹣（﹣1﹣t）]
＝9+3t﹣（2t+1+t）
＝9+3t﹣3t﹣1
＝8．
所以3PB﹣PA的值为定值，不随时间变化而变化．
【点评】本题主要考查数轴上两点之间距离、动点的坐标值的表示．以及代数式定值问题的证明．解题的关键点是动点的坐标值的表示以及分类讨论思想的运用．
54．如图所示，在数轴上点A，B，C表示的数为﹣2，0，6．点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点C之间的距离表示为AC．
（1）求AB、AC的长；
（2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和4个单位长度的速度向右运动．
请问：BC﹣AB的值是否随着运动时间t的变化而变化？若不变，请求其值；若变化，请说明理由并判断是否有最值，若有求其最值．
【分析】（1）在数轴上点A，B，C表示得数为﹣2，0，6，故AB的距离为2，AC的距离为8；
（2）由数轴可知，B点在A点前方，相距2个单位，C点在B点前方，相距6个单位．点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，则点A可表示的数为﹣2﹣2t，点B可表示的数为3t，点C可表示的数为6+4t，所以BC＝6+4t﹣3t＝t+6，AB＝3t﹣（﹣2﹣2t）＝5t+2；显然BC﹣AB＝4﹣4t，是随着t的值变化而变化，当t＝0时，最值为4．
【解答】解：（1）∵数轴上点A，B，C表示得数为﹣2，0，6，
∴AB的长为2，AC的长为8；
（2）设运动时间为t，
由数轴可知，B点在A点前方，相距2个单位，C点在B点前方，相距6个单位，
∵点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，
∴点A可表示的数为﹣2﹣2t，点B可表示的数为3t，点C可表示的数为6+4t，
∴BC＝6+4t﹣3t＝t+6，AB＝3t﹣（﹣2﹣2t）＝5t+2，
∴BC﹣AB＝t+6﹣（5t+2）＝4﹣4t，t＝0时，有最大值4．
【点评】本题考查了数轴和数轴上点之间距离的理解，综合性较强．
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