2022-2023学年湖南省郴州市临武三中八年级（上）期中数学试卷（含答案解析）

2022-2023学年湖南省郴州市临武三中八年级（上）期中数学试卷

1.     下列各式：，，，，中，是分式的共有(    )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

2.     要使分式有意义，则x应满足(    )

A.  B.
C.  D. 且

3.     等腰三角形的一个外角是，则其底角是(    )

A.  B. 或 C.  D.

4.     已知等腰三角形的两边分别为3cm和7cm，则其周长等于(    )

A. 13cm B. 17cm C. 13cm或17cm D. 10cm

5.     如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值(    )

A. 扩大为原来的2倍 B. 扩大为原来的4倍 C. 不变 D. 不能确定

6.     已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为(    )

A. 2 B. 3 C. 5 D. 13

7.     A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程(    )

A.  B.
C.  D.

8.     若分式方程有增根，则a的值是(    )

A. 1 B. 0 C.  D. 3

9.     计算：______；______.
10. 化简：______；______.
11. 随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占，这个数用科学记数法表示为______.
12. 如图，已知，请你添加一个条件：______，使得≌

13. 已知D、E分别是的边BC和AC的中点，若的面积，则的面积为______

14. 如图，，AD垂直平分线段BC于点D，的平分线BE交AD于点E，连结EC，则的度数是______ .

15. 将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分交DE于点则的度数为______ .
     
16. 如图，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且，已知，则______ .

17. 计算：
18. 解方程：
19. 已知：如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，，
    求证：

20. 先化简再求值：，再在，0，1，2中选择一个合适的数代入求值．
21. 如图，在中，，，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点的周长为13cm，
    求的度数．
    求的周长．

22. 如图，在中，，，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且，连结AE、DE、
    ①求证：≌；
    ②若，求的度数．

23. 黄麻中学为了创建全省“最美书屋”，购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元，已知学校用12000元购买的科普类图书的本数与用9000元购买的文学类图书的本数相等，求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？
24. 阅读下列材料：
    的解是，；
    的解是，；
    的解是，；
    的解是，；
    …
    请观察上述方程与解的特征，猜想方程的解，并验证你的结论.
    利用这个结论解关于x的方程：
25. 情景观察：
    如图1，中，，，，，垂足分别为D，E，CD与AE交于点
    
    写出图1中所有的全等三角形______；
    线段AF与线段CE的数量关系是，并写出证明过程；
    问题探究：
    如图2，在中，，，AD平分，，垂足为D，AD与BC交于点求证：
26. 如图①，在中，BO平分，CO平分，MN经过点O，且分别交AB，AC于M，
    求证：；
    若，，求的周长．
    如图②，点E是的平分线和外角的平分线的交点，其他条件不变，线段MN、BM、NC之间有何数量关系，并证明．
    
    

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：，，是分式，
故选：
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
 

2.【答案】D 

【解析】

【分析】
本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．
本题主要考查分式有意义的条件：分母，令分式分母不为0，解得x的取值范围．
【解答】
解：，
且，
且
故选：  

3.【答案】B 

【解析】解：当为顶角的外角时，则其顶角为：，则其底角为：，
当为底角的外角时，则其底角为：
故选：
分这个外角为顶角的外角和底角的外角，分别求解即可．
本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理的应用，掌握等腰三角形的两底角相等和三角形三个内角的和为是解题的关键．
 

4.【答案】B 

【解析】解：当3cm是腰时，，不符合三角形三边关系，故舍去；
当7cm是腰时，周长
故该三角形的周长为
故选
题中没有指出哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，注意应用三角形三边关系进行验证能否组成三角形．
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
 

5.【答案】A 

【解析】解：，
则分式的值扩大为原来的2倍．
故选：
根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简即可．
本题考查了分式的基本性质，能灵活运用分式的基本性质进行变形是解此题的关键，注意：分式的分子和分母都乘以同一个数或除以同一个不等于0的数，分式的值不变．
 

6.【答案】B 

【解析】解：由题意可得，，
解得，，
所以，x为12、13、14；
故选：
根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边；解答即可；
本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边；牢记三角形的三边关系定理是解答的关键．
 

7.【答案】A 

【解析】

【分析】
本题考查了分式方程的应用，找到等量关系是解决问题的关键。结合几个公式：轮船顺流速度=轮船静水速度+水流速度，轮船逆流速度=轮船静水速度-水流速度，时间=路程速度。根据顺流时间+逆流时间小时，列出方程。
【解答】
解：由题意可得，顺流时间为小时；逆流时间为小时，则

故选A。  

8.【答案】D 

【解析】

【分析】
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值．
【解答】
解：去分母得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入得：，
解得：，
故选  

9.【答案】   

【解析】解：

故答案为：，
根据积的乘方运算以及分式的除法运算即可求出答案．
本题考查积的乘方运算以及分式的除法运算，本题属于基础题型．
 

10.【答案】   

【解析】解：
，
故答案为：，
根据分式的除法运算以及加减运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及除法运算，本题属于基础题型．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】
解：；
故答案为：  

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：添加，
在和中，
，
≌，
故答案为：答案不唯一
要判定≌，已知，，具备了一组边对应相等，一组对应角相等，故添加后可根据SAS判定≌
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、
注意：判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
 

13.【答案】9 

【解析】解：作高线
，
又是的边BC的中点，，

同理，，
故答案为：
根据三角形的面积公式以及中点的概念即可分析出各部分的面积关系．
本题主要考查了三角形的中线，三角形的面积公式，掌握三角形在高相等的时候，面积比等于底的比；在底相等的时候，面积比等于高的比是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：平分，，
，
垂直平分线段BC，
，
，
故答案为：
根据角平分线定义求出，根据线段垂直平分线得出，推出即可．
本题考查了线段垂直平分线和等腰三角形性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意知：
，；
平分，
，
，
故该题答案为
首先求出的度数，借助三角形外角的性质问题即可解决．
该命题以一副直角三角板为载体，以考查三角形的内角和定理为核心构造而成；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、计算或推理．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，，，
根据三角形的外角性质，，，，
又，
，
解得，，
故答案为：；
根据等边对等角可得，，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，，然后用表示出，计算即可求解；
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，是基础题．
 

17.【答案】解：原式
 

【解析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用的奇次幂为计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可得到结果．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

18.【答案】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

19.【答案】证明：，

，
，即
在和中
，
≌
全等三角形对应边相等 

【解析】首先得出以及，进而利用SAS求出≌，即可得出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
 

20.【答案】解：原式



，
当时，原式 

【解析】原式括号中第一项化简，然后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

21.【答案】解：在中，，，
，
的垂直平分线MN交AC于点D，
，
，
；
的周长为13cm，，，
，
，
的垂直平分线MN交AC于点D，
，
的周长 

【解析】由在中，，，利用等腰三角形的性质，即可求得的度数，然后由AB的垂直平分线MN交AC于点D，根据线段垂直平分线的性质，可求得，继而求得的度数，则可求得的度数．
将的周长转化为的长求出，再根据的周长即可求得．
本题考查了线段垂直平分线和等腰三角形性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
 

22.【答案】①证明：在和中，
，
≌；

②解：在中，，，
，
由①得：≌，
，
为的外角，
，
则 

【解析】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
①利用SAS即可得证；
②由全等三角形对应角相等得到，利用外角的性质求出的度数，即可确定出的度数．
 

23.【答案】解：设文学类图书平均每本的价格为x元，则科普类图书平均每本的价格为元．
根据题意，得
解得
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则科普类图书平均每本的价格为元，
答：文学类图书平均每本的价格为15元，科普类图书平均每本的价格为20元． 

【解析】首先设文学类图书平均每本的价格为x元，则科普类图书平均每本的价格为元，根据题意可得等量关系：用12000元购进的科普类图书的本数=用9000元购买的文学类图书的本数，根据等量关系列出方程，再解即可．
此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意分式方程不要忘记检验．
 

24.【答案】解：猜想方程的解是，
验证：当时，方程成立，当时，方程成立；
变形为，
或
或 

【解析】根据观察等式，可发现规律，根据规律，可得答案．
本题考查了解分式方程，观察等式发现规律是解题关键．
 

25.【答案】≌，≌ 

【解析】解：图1中所有的全等三角形为≌，≌，
理由：，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
在和中，
，

故答案为：≌，≌

证明：≌，
，
，，
，
；
问题探究：证明：延长AB、CD交于点G，如图2所示：
平分，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，即，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌中，

情境观察：由全等三角形的判定方法容易得出结果；
由全等三角形的性质即可得出结论；
问题探究：延长AB、CD交于点G，由ASA证明≌，得出对应边相等，即，证出，由ASA证明≌，得出即可．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
 

26.【答案】证明：平分，CO平分，
，，
，
，，
，，
，，
；
解：的周长，
的周长；
解：，理由如下：
点E是的平分线和外角的平分线的交点，
，，
，
，，
，，
，，
 

【解析】由角平分线的性质可得，，由平行线的性质可证，，可得，，可得结论；
由三角形的周长，即可求解；
由角平分线的性质和平行线的性质可证，，可得结论．
本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，平行线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．