数学13.1 三角形中的边角关系精品单元测试练习

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【沪科版】

专题13.5第13章 三角形中的边角关系单元测试（能力过关卷）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分120分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020秋•北仑区期末）下面命题中，是假命题的为　　

A．三角形的中线、角平分线、高都是线段 

B．任意三角形的内角和都是 

C．三角形的外角大于该三角形任意一个内角 

D．直角三角形中的两个锐角互余

【分析】利用三角形的中线、高、角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质及直角三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．

【解答】解：、三角形的中线、角平分线、高都是线段，正确，是真命题，不符合题意；

、任意三角形的内角和都是，正确，是真命题，不符合题意；

、三角形的外角大于任何一个不相邻的内角，故原命题错误，是假命题，符合题意；

、直角三角形的两个锐角互余，正确，是真命题，不符合题意，

故选：．

2．（2021春•章丘区期末）三边都不相等的三角形有两边长分别为3和5，第三边长是奇数，则其周长为　　

A．15 B．13 C．11 D．15或13或11

【分析】本题可先求出第三边的取值范围，找出其中三边都不相等，且为奇数的数，即为第三边的长，再将三者相加即可得出周长的值．

【解答】解：设第三边长为．

根据三角形的三边关系，则有，

即，

因为三边都不相等，第三边长是奇数，

所以，

所以周长．

故选：．

3．（2020秋•太平区期末）给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据三角形的内角和等于求出三角形的最大角，进而得出结论．

【解答】解：、设，则，，

，

解得：，

最大角，

三角形是直角三角形，选项不符合题意；

、，

，

又，

，

三角形是直角三角形，选项不符合题意；

、设，则，，

，

解得：，

最大角，

三角形不是直角三角形，选项符合题意；

、设，则，，

，

解得：，

最大角，

三角形是直角三角形，选项不符合题意．

故选：．

4．（2021春•太康县期末）如图，在三角形中，，，，则　　

A． B． C． D．

【分析】根据三角形的内角和定理可求解的度数，再利用平行线的性质可求解的度数．

【解答】解：在中，，，，

，

，

，

故选：．

5．（2021•本溪）一副三角板如图所示摆放，若，则的度数是　　

A． B． C． D．

【分析】根据直角三角形的性质求出，根据三角形的外角性质求出，根据对顶角相等求出，再根据三角形的外角性质计算，得到答案．

【解答】解：如图，，，

，

，

故选：．

6．（2021春•晋中期末）如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．

【解答】解：是的中线，

，说法正确，不符合题意；

是高，

，

，说法正确，不符合题意；

是角平分线，

，说法错误，符合题意；

，

，说法正确，不符合题意；

故选：．

7．（2021春•郫都区校级期中）下列说法：①直线外一点到该直线的垂线段，是这个点到该直线的距离；②同旁内角互补；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④三角形三条高至少有一条在三角形的内部；⑤垂直于同一条直线的两条直线平行；⑥三角形的角平分线是线段．其中说法正确的有　　

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【分析】根据三角形的高、点到直线的距离定义、平行公理、平行线的判定和性质进行分析即可．

【解答】解：①直线外一点到该直线的垂线段的长度，是这个点到该直线的距离；故原命题错误；

②两直线平行，同旁内角互补；故原命题错误；

③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故原命题错误；

④三角形三条高至少有一条在三角形的内部；故原命题正确；

⑤在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；故原命题错误；

⑥三角形的角平分线是线段．故原命题正确；

其中说法正确的有2个，

故选：．

8．（2021春•盐湖区校级期末）如果将一副三角板按如图的方式叠放，则的度数为　　

A． B． C． D．

【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可．

【解答】解：由三角形的外角性质可得：，

故选：．

9．（2020•浙江自主招生）如图所示，　　

A． B． C． D．

【分析】由四边形中、四边形中，结合可得．

【解答】解：如图，

在四边形中，，

在四边形中，，

，

，

．

故选：．

10．（2021春•雨花区校级期末）如图，中，，点为中点，延长交于点，为上一点，且于点，下列判断中，①线段是边上的中线；②线段是中边上的高；③与面积相等；④；⑤，其中正确的结论有　　

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

【分析】根据三角形的高，中线，角平分线的定义，及外角与内角的关系可知．

【解答】解：①因为为中点，所以是边上的中线，故正确；

②因为于，所以是中边上的高，故正确；

③因为为中点，根据等底等高的三角形面积相等，故正确；

④因为，，可知，根据等角对等边得，故正确，

⑤因为，于，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质得到，，所以，故正确．

所以正确的个数是5个．

故选：．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2020秋•肥东县期末）的三边长分别为1，3，，且为整数，则的值是　3　．

【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．

【解答】解：根据三角形三边关系，

三角形的第三边满足：，即，

为整数，

，

故答案为：3．

12．（2020秋•黄石港区校级期中）已知，，是的三边长，化简　　．

【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可．

【解答】解：由三角形三边关系可得：，，

，

故答案为：．

13．（2021春•江都区校级期末）如图中，将边沿虚线翻折，若，则的度数是 　55　度．

【分析】延长，，交于点，依据，，即可得到的度数．

【解答】解：如图，

延长，，交于点，

由折叠可得，，，

，

又，

，

四边形中，，

故答案为：55．

14．（2019秋•丹东期末）如图，在中，，三等分，，三等分．若，则　　．

【分析】根据三角形内角和定理和三等分角的意义求解即可．

【解答】解：线段、把三等分，

；

又线段、把三等分，

；

，

，

，

；

故答案为；

15．（2021春•单县期末）如图，是的外角的平分线，交的延长线于点，，，则的度数为 　　．

【分析】根据三角形的外角性质求出，根据角平分线的定义计算即可．

【解答】解：是的外角，，，

，

是的平分线，

，

故答案为：．

16．（2021春•沙坪坝区校级期中）将一副三角板如图放置，其中，，点在边上，，分别为，上的点，为三角板外一点，连接，，若，则　　．

【分析】延长交于点，延长角于点，根据三角形外角的性质得出，，根据四边形内角和定理即可得出答案．

【解答】解：，，

，

延长交于点，延长交于点，

，

，

，

，

，

，

故答案为：．

17．（2020春•高淳区期末）如图，把纸片沿折叠，使点落在图中的处，若，，则　　．

【分析】如图，利用折叠性质得，，再根据三角形外角性质得，利用邻补角得到，则，然后利用进行计算即可．

【解答】解：如图，，

，

纸片沿折叠，使点落在图中的处，

，，

，

，

，

．

故答案为．

18．（2020秋•新宾县期末）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，，和的平分线交于点，则　　度．

【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证，进而可求，由于，，，以此类推可知即可求得．

【解答】解：平分，平分，

，，

，

即，

，

，

，

，

，，

以此类推可知，

故答案为：．

三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2021春•曹县期末）如图，中，是的平分线，，，求的度数．

【分析】设，则，，则，解方程即可．

【解答】解：是的平分线，

，

，，

设，则，，

，

解得，

，，

．

20．（2021秋•江油市月考）如图，在三角形中，，，是的中点，点在边上．

（1）若三角形的周长与四边形的周长相等，求线段的长．

（2）若三角形的周长被分成的两部分的差是，求线段的长．

【分析】（1）由图可知三角形的周长，四边形的周长，，所以，则可解得；

（2）由三角形的周长被分成的两部分的差是2，可得方程①或②．解得或．

【解答】解：（1）由图可知三角形的周长，四边形的周长，

又三角形的周长与四边形的周长相等，为中点，

，，

即，

，，

，

．

（2）由三角形的周长被分成的两部分的差是2，可得方程

①或②．

解①得，解②得．

故长为或．

21．（2021春•邗江区校级期末）如图，在中，，是上一点，平分．

（1）若，，求的度数．

（2）若，，请探求的度数与、度数之间的关系（用含、的代数式表示）．

【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到，根据三角形外角的性质得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论；

（2）方法同（1）．

【解答】解：（1），，

，

，

，

，

是的平分线，

，

；

（2），，

，

，

，

，

是的角平分线，

，

．

22．（2021春•淮阳区校级期末）如图，已知是中的外角平分线．

（1）若，，求的大小；

（2）请说明．

【分析】（1）根据三角形的外角的性质即可得到结论；

（2）根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角可得，，从而得解．

【解答】解：（1），，

；

（2）是中的外角平分线，

，

是的外角，

，

，

是的外角，

，

．

23．（2020秋•平舆县期中）已知：如图，，点、分别在射线、上移动（不与点重合），平分，的反向延长线与的平分线相交于点．

（1）当时、的度数是多少？

（2）随着点、的移动，试问的大小是否变化？请说出你的理由．

【分析】（1）利用三角形的外角性质可求出的度数，由平分，平分，利用角平分线的定义可求出和的度数，再利用三角形的外角性质可求出的度数；

（2）利用三角形的外角性质及角平分线的定义可用表示出和的度数，再利用三角形的外角性质可求出的度数为固定值，进而可得出的大小不发生变化．

【解答】解：（1），，

．

平分，

．

平分，

．

又，

．

（2）的大小不变，理由如下：

，平分，

．

平分，

．

又，

，

的大小不发生变化．

24．已知：中，记，．

（1）如图1，若平分，、分别平分的外角和，于点．

①用的代数式表示的度数；

②用的代数式表示的度数；

（2）如图2，若点为的三条内角平分线的交点，且于点．

①请补全图形；

②猜想（1）中的两个结论是否发生变化？如果不变，请说明理由；如果变化，直接写出正确的结论．

【分析】（1）①如图1根据角平分线的定义得到根据三角形的内角和即可得到结论；

②根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到结论；

（2）①根据题意画出图形即可；

②根据角平分线的定义和三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可得到结论．

【解答】解：（1）①如图、分别平分的外角和

；

②在中，，

；

（2）①如图2所示，

②中的两个结论发生了变化，

，

，

点为的三条内角平分线的交点，

，，

，

；

，

，

，

．

25．（2021春•鼓楼区校级月考）图1，线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：　　；

（2）图2中，当度，度时，求的度数．

（3）图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．

【分析】（1）利用三角形外角可得；

（2）由（1）可得，，同理，联立两式可得，代入数值求即可；

（3）由（2）可得．

【解答】解：（1）由题知，，

，

故答案为：；

（2）由（1）可得，，①

同理可得，，

和的平分线是和，

，②

由②①得，，

即，

，

故；

（3）由（2）可知．

26．（2021春•朝阳区校级期末）如图，点、分别在射线、上运动（不与点重合）．

（1）如图1，若，、的平分线交于点，则　135　；

（2）如图2，若，、的平分线交于点，则　　；

（3）如图2，若，的外角、的平分线交于点，求与之间的数量关系，并求出的度数；

（4）如图3，若，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点．试问：随着点、的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由．

【分析】（1）由三角形内角和定理得出，由角平分线的也得出，再由三角形内角和定理即可得出结果；

（2）由三角形内角和定理和角平分线的也得出，再由三角形内角和定理得出的度数；

（3）求出，同理：，由四边形内角和求出，由（1）知：，即可得出结果；

（4）由三角形外角性质得出，由角平分线定义得出，，，即可得出结果．

【解答】解：（1），

，

、的平分线交于点，

，

，

故答案为：135；

（2）在中，

，

、的平分线交于点，

，

即，

；

故答案为：；

（3）、分别是和的角平分线，

，，，，

即，

同理：，

四边形内角和等于，

，

由（1）知：，

，

，

；

（4）的度数不变，；

理由如下：

，

，

、分别是和的角平分线，

，，

，

（等量代换），

，

，

．