沪科版八年级上册15.2 线段的垂直平分线精品一课一练

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2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【沪科版】
专题15.2线段的垂直平分线
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021春•宁阳县期末）如图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（　　）

A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可．
【解析】∵中转仓到A、B两地的距离相等，
∴中转仓的位置应选在边AB的垂直平分线上，
同理，中转仓的位置应选在边AC、BC的垂直平分线上，
∵中转仓到A、B、C三地的距离相等，
∴中转仓的位置应选在三边垂直平分线的交点上，
故选：A．
2．（2021春•高新区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，连接AE、AF，若△AEF的周长为2，则BC的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．无法确定
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，FA＝FC，根据三角形的周长公式即可求出BC．
【解析】∵AB的垂直平分线交BC于点E，
∴EA＝EB，
∵AC的垂直平分线交BC于点F．
∴FA＝FC，
∴BC＝BE+EF+FC＝AE+EF+FC＝△AEF的周长＝2．
故选：A．
3．（2020秋•滦州市期末）如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，则△EBC的周长为（　　）厘米．

A．16 B．18 C．26 D．28
【分析】利用线段垂直平分线的性质得AE＝CE，再等量代换即可求得三角形的周长．
【解析】∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝BC+BE+CE＝BC+AB＝10+8＝18（厘米），
故选：B．
4．（2020•新野县二模）如图，在△ABC中，AC＝4，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D，若△AEC的周长是11，则AB＝（　　）

A．28 B．18 C．10 D．7
【分析】利用垂直平分线的性质和已知的三角形的周长计算．
【解析】∵DE是BC的中垂线，
∴BE＝EC，
则AB＝EB+AE＝CE+EA，
又∵△ACE的周长为11，
故AB＝11﹣4＝7，
故选：D．
5．（2020秋•紫阳县期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC交AB于点D，交BC于点E．若AB＝10cm，AC＝8cm，则△ACD的周长是（　　）

A．12cm B．18cm C．16cm D．14cm
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解析】∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴△ACD的周长＝AD+DC+AC＝AD+DB+AC＝AB+AC＝18（cm），
故选：B．
6．（2021春•龙岗区期末）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为16cm，则△ABC的周长为（　　）

A．26cm B．21cm C．28cm D．31cm
【分析】根据线段垂直平分线的概念和性质得到DA＝DC，AC＝2AE＝10，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解析】∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝10，
∵△ABD的周长为16，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝16，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝16+10＝26（cm），
故选：A．
7．（2021春•灞桥区校级月考）如图，已知∠B＝20°，∠C＝30°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（　　）

A．50° B．75° C．80° D．105°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PB，QA＝QC，根据等腰三角形的性质分别求出∠PAB、∠QAC，计算即可．
【解析】在△ABC中，∠B＝20°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣20°﹣30°＝130°，
∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，
∴PA＝PB，QA＝QC，
∴∠PAB＝∠B＝20°，∠QAC＝∠C＝30°，
∴∠PAQ＝130°﹣20°﹣30°＝80°，
故选：C．
8．（2020秋•长宁区期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（　　）

A．3 B．6 C．12 D．16
【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解析】∵AB的垂直平分线交AB于点D，
∴AE＝BE，
∵△ACE的周长＝AC+AE+CE＝AC+BC＝13，△ABC的周长＝AC+BC+AB＝19，
∴AB＝△ABC的周长﹣△ACE的周长＝19﹣13＝6，
故选：B．
9．（2020秋•天宁区期中）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的垂直平分线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，又△BEG的周长为16，且GE＝1，则AC的长为（　　）

A．16 B．15 C．14 D．13
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA、GB＝GC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解析】∵DE是AB边的垂直平分线，
∴EB＝EA，
∵FG是BC边的垂直平分线，
∴GB＝GC，
∵△BEG的周长为16，
∴GB+GE+EB＝16，
∴AE+GE+GC＝16，
∴AC+GE+GE＝16，
∵GE＝1，
∴AC＝16﹣2＝14，
故选：C．
10．（2020秋•连山区期中）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于12AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．已知△CDE的面积比△CDB的面积小4，则△ADE的面积为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据尺规作图可知点D是AB的中点，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解析】由尺规作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，
∴点D是AB的中点，
∴S△ADC＝S△BDC，
∵S△BDC﹣S△CDE＝4，
∴S△ADC﹣S△CDE＝4，即△ADE的面积为4，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021•港南区一模）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5．则△BEC的周长是　13　．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解析】∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△BEC的周长＝BC+CE+EB＝BC+CE+EA＝BC+AC＝13，
故答案为：13．
12．（2020秋•富县期末）如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O．若∠1＝35°，则∠A+∠C的度数为　35°　．

【分析】连接OB，根据线段垂直平分线的性质得到AO＝OB，OB＝OC，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ABO，∠C＝∠CBO，根据四边形内角和等于360°计算，得到答案．
【解析】连接OB，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO＝OB，OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠C＝∠CBO，
∴∠A+∠C＝∠ABC，
∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝35°，
∴∠DOE＝145°，
∴∠ABC＝360°﹣∠DOE﹣∠BDO﹣∠BEO＝35°，
∴∠A+∠C＝35°，
故答案为：35°．

13．（2021•碑林区校级开学）如图所示，在△ABC中，DE，MN是边AB、AC的垂直平分线，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、N，若AB＝8，AC＝9，设△AEN周长为m，则m的取值范围为　145＜m＜17　．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，NC＝NA，根据三角形的三边关系解答即可．
【解析】∵DE，MN是边AB、AC的垂直平分线，
∴EA＝EB，NC＝NA，
∴△AEN周长为m＝EA+EN+NA＝EB+EN+NC＝BC，
在△ABC中，9﹣8＜BC＜9+8，
∴m＜17，
当∠BAC＝90°时，BC=82+92=145，
∴145＜m＜17
故答案为：145＜m＜17．
14．（2020•曲阜市校级一模）如图，△ABC中，AB＝AC＝15cm，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，若BC＝8cm，则△EBC的周长为　23　cm．

【分析】根据线段垂直平分线性质得出AE＝BE，求出△EBC的周长是BC+BE+EC＝BC+AC，代入求出即可．
【解析】∵AB的垂直平分线DE，
∴AE＝BE，
∵AB＝AC＝15cm，BC＝8cm，
∴△EBC的周长是BC+BE+EC＝BC+AE+CE＝BC+AC＝8+15＝23cm．
故答案为：23．
15．（2020秋•澄海区期末）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于E点，∠B＝50°，∠FAE＝20°，则∠C＝　30　度．

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据等腰三角形的性质得到∠EAC＝∠C，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．
【解析】∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF＝∠FAE+∠CAE＝20°+∠C，
由三角形内角和定理得，∠B+∠BAC+∠C＝180°，即50°+20°+∠C+20°+∠C+∠C＝180°，
解得，∠C＝30°，
故答案为：30．
16．（2020秋•定西期末）如图，在△ABC中，点O是BC、AC的垂直平分线的交点，OB＝5cm，AB＝8cm，则△AOB的周长是　18　cm．

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到OA＝OB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解析】∵点O是BC、AC的垂直平分线的交点，
∴OA＝OB＝5cm，
∴△AOB的周长＝OA+OB+AB＝18（cm），
故答案为：18．
17．（2020秋•浦东新区月考）如图，在△ABC中，直线l垂直平分BC，射线m平分∠ABC，且l与m相交于点P，若∠A＝60°，∠ACP＝15°，则∠ABP＝　35　°．

【分析】设∠ABP＝x，根据角平分线的定义用x表示出∠CBP，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，根据等腰三角形的性质得到∠PCB＝∠CBP＝x，根据三角形内角和定理列出方程，解方程得到答案．
【解析】设∠ABP＝x，
∵BP平分∠ABC，
∴∠CBP＝∠ABP＝x，
∵直线l垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∴∠PCB＝∠CBP＝x，
∴60°+15°+x+x+x＝180°，
解得，x＝35°，即∠ABP＝35°，
故答案为：35．
18．（2020秋•鼓楼区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，则△AEG的周长为　11　．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，GA＝GC，根据三角形的周长公式计算即可．
【解析】∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
同理，GA＝GC，
∴△AEG的周长＝AE+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝11，
故答案为：11．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春•英德市期末）如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置？

【分析】根据垂直平分线的性质，连接AB作出AB的垂直平分线与河岸边交点即是码头应建位置．
【解析】连接AB，码头应建在线段AB的垂直平分线与靠近A、B一侧的河岸的交汇点处．
如图：点P就是码头应建的位置．

20．（2020秋•卢龙县期末）如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．

【分析】（1）依据线段垂直平分线的性质，即可得到△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB；
（2）依据AD＝CD，BE＝CE，即可得到∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，再根据三角形内角和定理，即可得到∠A+∠B＝55°，进而得到∠ACD+∠BCE＝55°，再根据∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）进行计算即可．
【解析】（1）△CDE的周长为10．
∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；

（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，
又∵∠ACB＝125°，
∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，
∴∠ACD+∠BCE＝55°，
∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．
21．（2020秋•诸暨市期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AB，AC边分别为点D，点E，连接BE．
（1）若∠A＝35°，求∠CBE的度数；
（2）若AB＝10，BC＝6，求△BCE的周长．

【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EA，根据等腰三角形的性质得到∠EBA＝∠A＝35°，结合图形计算，得到答案；
（2）根据三角形的周长公式计算即可．
【解析】（1）∵∠C＝90°，∠A＝35°，
∴∠ABC＝55°，
∵DE是边AB的垂直平分线，
∴EB＝EA，
∴∠EBA＝∠A＝35°，
∴∠CBE＝∠CBA﹣∠EBA＝20°；
（2）∵AB＝10，BC＝6，
由勾股定理得，AC=AB2-AC2=102-62=8，
∴△BCE的周长＝BC+CE+EB＝BC+CE+EA＝BC+AC＝14．
22．（2021春•高州市期末）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作BC的平行线AF交CD于F，延长AB、DC交于点E．
求证：（1）AC平分∠EAF；
（2）∠FAD＝∠E．

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到BA＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠BCA，根据平行线的性质得到∠CAF＝∠BCA，等量代换证明结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA，再根据三角形的外角性质证明即可．
【解答】证明：（1）∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵BC∥AF，
∴∠CAF＝∠BCA，
∴∠CAF＝∠BAC，即AC平分∠EAF；
（2）∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠DCA是△ACE的一个外角，
∴∠DCA＝∠E+∠EAC，
∴∠E+∠EAC＝∠FAD+∠CAF，
∵∠CAF＝∠EAC，
∴∠FAD＝∠E．
23．（2017秋•郯城县期末）如图，在四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD．
（1）求证：AB＝AD；
（2）请你探究∠EAF，∠BAE，∠DAF之间有什么数量关系？并证明你的结论．

【分析】（1）连接AC，根据题意易得AE、AF是BC、CD的垂直平分线，可得AB＝AC，AD＝AC，可证出AB＝AD．
（2）根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：连接AC，
∵点E是BC的中点，AE⊥BC，
∴AB＝AC，
∵点F是CD的中点，AF⊥CD，
∴AD＝AC，
∴AB＝AD．

（2）∴∠EAF＝∠BAE+∠DAF．
证明∵由（1）知AB＝AC，
即△ABC为等腰三角形．
∵AE⊥BC，（已知），
∴∠BAE＝∠EAC（等腰三角形的三线合一）．
同理，∠CAF＝∠DAF．
∴∠EAF＝∠EAC+∠FAC＝∠BAE+∠DAF．

24．（2019秋•澧县期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝25cm，DA＝15cm，CB＝10cm．动点
E从A点出发，以2cm/s的速度向B点移动，设移动的时间为x秒．
（1）当x为何值时，点E在线段CD的垂直平分线上？
（2）在（1）的条件下，判断DE与CE的位置关系，并说明理由．

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出DE＝CE，根据勾股定理求出AE，再求出答案即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠ADE＝∠CEB，求出∠AED+∠CEB＝90°，求出∠DEC＝90°即可．
【解析】（1）设AE＝acm，则BE＝（25﹣a）cm，
∵点E在线段CD的垂直平分线上，
∴DE＝CE，
由勾股定理得：AD2+AE2＝DE2，BC2+BE2＝CE2，
∴AD2+AE2＝BC2+BE2，
即152+a2＝102+（25﹣a）2，
解得：a＝10，
即AE＝10（cm），
∴x=102=5，
即当x＝5时，点E在线段CD的垂直平分线上；

（2）DE与CE的位置关系是DE⊥CE，
理由是：∵△ADE≌△BEC，
∴∠ADE＝∠CEB，
∵∠A＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠AED+∠CEB＝90°，
∴∠DEC＝180°﹣（∠AED+∠CEB）＝90°，
∴DE⊥CE．