2021学年第15章 轴对称图形和等腰三角形综合与测试单元测试课后作业题

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【沪科版】

专题15.7第15章轴对称图形与等腰三角形单元测试

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分120分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2021•金华模拟）下列微信表情图标属于轴对称图形的是　　

A． B． C． D．

【分析】结合轴对称图形的概念求解即可．

【解答】解：、不是轴对称图形，本选项不合题意；

、不是轴对称图形，本选项不合题意；

、是轴对称图形，本选项符合题意；

、不是轴对称图形，本选项不合题意．

故选：．

2．（2021•香洲区校级三模）在直角坐标系中，点与关于轴对称，则，的值分别为　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】直接利用关于轴对称点的性质，得出，的值即可．

【解答】解：点与关于轴对称，

，的值分别为1和3，

故选：．

3．（2021春•建平县期末）下列说法中，正确说法的个数有　　

①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称；③关于某直线称的两个三角形一定是全等三角形；④一个锐角和一条边相等的两个直角三角形全等．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在直线；等腰三角形的性质：等腰三角形底边的高所在的直线是它的对称轴；全等三角形的定义；两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁或在对称轴上进行分析即可．

【解答】解：①角的对称轴是角平分线所在直线，而不是角平分线，故原说法错误；

②等腰三角形至少有1条对称轴（等腰三角形有1条对称轴），至多有3条对称轴（等边三角形有3条对称轴），说法正确；

③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形，说法正确；

④一个锐角和一条边相等的两个直角三角形不一定全等，故原说法错误．

所以正确的说法有②③共2个．

故选：．

4．（2020秋•南安市期末）在等腰中，，则的度数不可能是　　

A． B． C． D．

【分析】分是顶角和底角两种情况分类讨论求得的度数即可确定正确的选项．

【解答】解：当为顶角，

；

当是顶角，则是底角，则；

当是顶角，则与都是底角，则，

综上所述，的度数为或或，

故选：．

5．（2021春•高新区期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，连接、，若的周长为2，则的长是　　

A．2 B．3 C．4 D．无法确定

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式即可求出．

【解答】解：的垂直平分线交于点，

，

的垂直平分线交于点．

，

的周长．

故选：．

6．（2021春•榆阳区期末）如图，在中，，平分交于点，若，点到的距离为4，则的长为　　

A．6 B．8 C．5 D．4

【分析】过点作于，根据角平分线的性质定理得到，结合图形计算，得到答案．

【解答】解：过点作于，

平分，，，

，

，

故选：．

7．（2021•越秀区模拟）如图，在中，，边的垂直平分线交于点，交于点，连接，将分成两个角，且，则的度数是　　

A． B． C． D．

【分析】设，，根据线段垂直平分线的性质得出，求出，根据直角三角形的性质得出，求出，再求出和，根据三角形的外角性质求出答案即可．

【解答】解：设，，

的垂直平分线是，

，

，

即，

，

，

，

解得：，

即，

，

故选：．

8．（2021春•榆次区校级期末）如图，点在上，点在上，且，，，则　　度．

A．30 B．36 C．45 D．50

【分析】设，则可利用等腰三角形的两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和来，，．最后利用三角形的内角和求出，就可得到．

【解答】解：设，

，

，

又，

，

，

而，则，

，

，

，

．

故选：．

9．（2021春•萍乡期末）如图，是等边三角形的中线，点在上，，则等于　　

A． B． C． D．

【分析】由等边三角形的性质可求解，，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得的度数，进而可求解．

【解答】解：为等边三角形，

，

是等边三角形的中线，

，，

，

，

，

，

，

故选：．

10．（2021春•通川区期末）如图，，点为内一点，点、分别在、上，当周长最小时，的度数是　　

A． B． C． D．

【分析】分别作点关于、的对称点、，连接、交于，交于，的周长最小值等于的长，然后依据等腰△中，，即可得出．

【解答】解：分别作点关于、的对称点、，连接、交于，交于，

，，，

根据轴对称的性质可得，，

的周长的最小值，

由轴对称的性质可得，

等腰△中，，

，

故选：．

二．填空题（共8小题）

11．（2020春•北镇市期中）如图，点为等边内部一点，且，则的度数为　　．

【分析】根据是等边三角形，可得，即，再根据，即可得的度数．

【解答】解：是等边三角形，

，

即，

，

，

．

所以的度数为．

故答案为．

12．（2021秋•江都区月考）如果与△关于直线对称，且，，那么　　．

【分析】根据成轴对称的两个图形全等求得未知角即可．

【解答】解：与△关于直线对称，

△，

，

，

．

故答案为：．

13．（2021秋•云龙区校级月考）如图，中，边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为，则的周长是 　　．

【分析】由已知条件易求的长，利用线段垂直平分线的性质得出，可得，进而可求解．

【解答】解：的周长为，

，

，

，

是线段的垂直平分线，

，

，

的周长，

故答案为：．

14．（2021•吴兴区二模）如图，，点在射线上，以为圆心，为半径画圆弧，交于点，连接，则　　．

【分析】由作图可知，，根据等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质解决问题即可．

【解答】解：由作图可知，，

，

，

故答案为：．

15．（2021秋•海安市期中）如图，，，平分，则图中等腰三角形（不含的个数是 　2　．

【分析】由，可得是等腰三角形，求得各角的度数，再利用角相等，可确定与也是等腰三角形．

【解答】解：由图可知，，，

，

平分，

为等腰三角形，

，

为等腰三角形，

则图中等腰三角形（不含的个数是2个．

故答案为2．

16．（2021•饶平县校级模拟）顶角为锐角的等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该三角形的底角为　　．

【分析】根据题意，等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，如图1，当一腰上的高在三角形内部时，即时，根据等腰三角形的性质，解答出即可．

【解答】解：如图1，

是等腰三角形，，，，

在直角中，，

．

故答案为：．

17．（2020•贵州三模）如图，已知是等边三角形，点、、、在同一直线上，且，，则　15　度．

【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质即可求得结果．

【解答】解：是等边三角形，

，

，

，

，

．

故答案为：15．

18．（2021春•卧龙区期末）如图，点在内部，点，分别是点关于直线，的对称点，若，则　　．

【分析】连接．根据轴对称的性质以及等腰三角形的性质得出，，，．设，，则，进而求出．

【解答】解：如图，连接．

点，分别是点关于直线，的对称点，

垂直平分，垂直平分，

，，

，，

，．

设，，则，，．

在中，，

在中，，

．

故答案为：．

三．解答题（共8小题）

19．（2020秋•庐阳区期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为．

（1）把三角形向下平移4个单位长度，再以轴为对称轴对称，得到三角形，请你画出三角形，并直接写出点，，的坐标；

（2）求三角形的面积．

【分析】（1）根据平移和轴对称的性质即可把三角形向下平移4个单位长度，再以轴为对称轴对称，得到三角形，进而可得点，，的坐标；

（2）根据网格即可求三角形的面积．

【解答】解：（1）如图所示：三角形即为所求；

、、；

（2）三角形的面积为：．

20．（2021秋•汨罗市期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交边于点，的周长等于，求的长．

【分析】根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论．

【解答】解：是边的垂直平分线，

．

的周长．

又，

．

21．（2020秋•莫旗期末）如图，在中，，，求的度数．

【分析】由得，由得，，从而可推出，根据三角形的内角和定理即可求得的度数，从而不难求得的度数．

【解答】解：，

，

设，

，

，，

，

，

，

解得，

．

22．（2017•裕华区校级模拟）如图，在中，，于，于，、相交于．

求证：平分．

【分析】先根据，可得，再由垂直，可得的角，在和中，利用内角和为，可分别求和，利用等量减等量差相等，可得，再易证，从而证出平分．

【解答】证明：（已知），

（等边对等角）．

、分别是高，

，（高的定义）．

．

，．

（等量代换）．

（等角对等边），

在和中，

，

，

（全等三角形对应角相等），

平分．

23．（2019秋•江北区校级期中）如图，在中，点、点分别为，上的两点，连接，，使得，，平分，

（1）求证：；

（2）若，求的度数．

【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可求解；

（2）根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得，从而求解．

【解答】（1）证明：平分，

，

又，

，

；

（2），

，

，

．

24．（2019秋•洛阳期末）如图，是等边三角形，延长到，使．点是边的中点，连接并延长交于求证：

（1）；

（2）．

【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，，求出，根据三角形外角性质和等腰三角形的性质求出，求出即可；

（2）连接，求出，根据含角的直角三角形的性质得出，即可得出答案．

【解答】证明：（1）是等边三角形，

，，

为的中点，

，

，

，

，

，

，

，

即；

（2）连接，

是等边三角形，

，，

为的中点，

，

，

，

，

，，

，

即．

25．（2020春•叙州区期末）如图，在中，，为边上一点，以为顶点作，的一边交于点，使．

（1）如果，则　　；

（2）判断与的大小关系，并说明理由；

（3）当为直角三角形时，求与的数量关系．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质解答即可；

（2）根据三角形内角与外角的关系可得，再由条件可得；

（3）分别根据当时，以及当时利用外角的性质得出即可．

【解答】解：（1）在中，，，

，

，

故答案为：．

（2）；

理由如下：

，，

；

（3）如图1，当时，

，

，

，

，

，

即与的数量关系是互余；

如图2，当时，

，

，

，

，

，

即与的数量关系是互余．

26．（2021春•槐荫区期末）如图，在等边中，已知点在直线上（不与点、重合），点在直线上，且．

（1）若点为线段的中点时，试说明的理由；

（2）若的边长为2，，求的长．

【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，等腰三角形的判定和性质；

（2）如图1，在线段上时，由（1）知，，则；如图2，在线段的反向延长线上时，过作的平行线与交于点，构造等边，通过证得，得到，从而求得．

【解答】解：（1）是等边三角形，为的中点，

，，

，

，

，

，

，

；

（2）如图1，在线段上时，

，，

点是的中点，

由（1）知，，

；

如图2，在线段的反向延长线上时，

，，

，

是等边三角形，

，，

过作交的延长线于，

，

是等边三角形，

，，

，

，

，

，

在和中，

，

，

，

．

综上所述，的长为1或3．