初中数学沪科版八年级上册13.1 三角形中的边角关系当堂达标检测题

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【沪科版】

专题13.1三角形三边关系及主要线段

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2019秋•达孜区期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　）

A．4cm，5cm，6cm B．8cm，2cm，5cm 

C．12cm，5cm，6cm D．3cm，6cm，3cm

【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边进行分析即可．

【解析】A、4+5＞6，能组成三角形；

B、5+2＜8，不能组成三角形；

C、5+6＜12，不能组成三角形；

D、3+3＝6，不能组成三角形．

故选：A．

2．（2019秋•延平区期中）一个三角形的两边长为3和4，第三边长为奇数，则第三边长为（　　）

A．1或3 B．3或5 C．3或7 D．5或7

【分析】首先根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再根据第三边又是奇数得到答案．

【解析】根据三角形的三边关系，得

第三边大于4﹣3＝1，而小于两边之和4+3＝7．

又第三边应是奇数，则第三边等于3或5．

故选：B．

3．（2019秋•下城区期末）如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（　　）

A．AD⊥BC B．∠BAD＝∠CAD C．AB＝AC D．BD＝CD

【分析】根据三角形的中线的定义即可判断．

【解析】∵AD是△ABC的中线，

∴BD＝DC，

故选：D．

4．（2018秋•广州校级期中）如图，AD是△ABC的中线，AB＝13，AC＝10，△ABD的周长和△ACD的周长相差（　　）

A．3 B．6 C．9 D．12

【分析】利用中线定义可得AD＝CD，然后再求差即可．

【解析】∵AD是△ABC的中线，

∴AD＝CD，

∵AB＝13，AC＝10，

∴△ABD的周长和△ACD的周长差为：

AB+AD+DB﹣（AD+CD+AC）

＝AB+AD+DB﹣AD﹣CD﹣AC

＝AB﹣AC

＝13﹣10

＝3，

故选：A．

5．（2021春•邗江区月考）在△ABC中，作出AC边上的高，正确的是（　　）

A．① B．② C．③ D．④

【分析】根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可．

【解析】根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为D，

纵观各图形，①、②、③都不符合高线的定义，

④符合高线的定义．

故选：D．

6．（2019秋•东湖区校级月考）如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为22cm，AB比AC长3cm，则△ACD的周长为（　　）

A．19cm B．22cm C．25cm D．31cm

【分析】根据题意得到AB＝AC+3，根据中线的定义得到BD＝DC，根据三角形的周长公式计算即可．

【解析】由题意得，AB＝AC+3，

∵AD是△ABC的中线，

∴BD＝DC，

∵△ABD的周长为22，

∴AB+BD+AD＝AC+3+DC+AD＝22，

则AC+DC+AD＝19，

∴△ACD的周长＝AC+DC+AD＝19（cm），

故选：A．

7．（2020春•溧阳市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，DE⊥AB，垂足为E，则△ABD的BD边上的高是（　　）

A．AD B．DE C．AC D．BC

【分析】根据三角形的高的概念判断即可．

【解析】∵∠C＝90°，

∴AC⊥BD，

∴△ABD的BD边上的高是AC，

故选：C．

8．（2020春•商水县期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（　　）

A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90° 

C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF

【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．

【解析】∵AF是△ABC的中线，

∴BF＝CF，A说法正确，不符合题意；

∵AD是高，

∴∠ADC＝90°，

∴∠C+∠CAD＝90°，B说法正确，不符合题意；

∵AE是角平分线，

∴∠BAE＝∠CAE，C说法错误，符合题意；

∵BF＝CF，

∴S△ABC＝2S△ABF，D说法正确，不符合题意；

故选：C．

9．（2020春•射洪市期末）如图，在Rt△ABF中，∠F＝90°，点C是线段BF上异于点B和点F的一点，连接AC，过点C作CD⊥AC交AB于点D，过点C作CE⊥AB交AB于点E，则下列说法中，错误的是（　　）

A．△ABC中，AB边上的高是CE 

B．△ABC中，BC边上的高是AF 

C．△ACD中，AC边上的高是CE 

D．△ACD中，CD边上的高是AC

【分析】根据三角形的高的定义进行判断即可．

【解析】∵过点C作CE⊥AB交AB于点E，∠F＝90°，

∴△ABC中，AB边上的高是CE，BC边上的高是AF，

∴A、B两个选项说法正确，不符合题意；

∵CD⊥AC交AB于点D，

∴△ACD中，AC边上的高是CD，CD边上的高是AC，

∴C选项说法错误，符合题意；D选项说法正确，不符合题意；

故选：C．

10．（2020春•常熟市期末）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，点F在BE上，且EF＝2BF，若S△BCF＝2cm2，则S△ABC为（　　）

A．4cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2

【分析】根据EF＝2BF，S△BCF＝2cm2，求得S△BEC＝3S△BCF＝6cm2，根据三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得S△BDE＝S△CDES△BEC＝3cm2，从而求出S△ABD＝S△ACD＝2S△BDE＝6cm2，再根据S△ABC＝2S△ABD计算即可得解．

【解析】如图，∵EF＝2BF，若S△BCF＝2cm2，

∴S△BEC＝3S△BCF＝3×2＝6cm2，

∵D是BD的中点，

∴S△BDE＝S△CDES△BEC＝3cm2，

∵E是AD的中点，

∴S△ABD＝S△ACD＝2S△BDE＝6cm2，

∴△ABC的面积为12cm2，

故选：C．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2020春•长春期末）如图，为了让椅子更加稳固，军军在椅子上钉了一根加固木条，从数学的角度看，这样做的数学原理是利用了三角形的　稳定性　．

【分析】利用三角形的稳定性进行解答即可．

【解析】为了让椅子更加稳固，军军在椅子上钉了一根加固木条，从数学的角度看，这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性，

故答案为：稳定性．

12．（2020秋•绥中县期末）下列长度的三条线段：①5、6、12；②4、4、10；③4、6、10；④3、4、5．能组成三角形的是　④　．（填序号即可）

【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．

【解析】①5+6＜12，不能组成三角形；

②4+4＜10，不能组成三角形；

③4+6＝10，不能组成三角形；

④3+4＞5，能组成三角形．

故答案为：④．

13．（2020春•兰考县期末）如图所示，D、E是边AC的三等分点，图中有 　6　个三角形，BD是 　△ABE　中 　AE　边上的中线，BE是 　△BDC　中 　CD　边上的中线．

【分析】根据三角形的个数和线段解答即可．

【解析】图中有△ABD，△BDE，△BEC，△ABE，△DBC，△ABC共6个三角形，BD是△ABE中AE边上的中线，BE是△DBC中CD边上的中线，

故答案为：6；△ABE；AE；△DBC；CD．

14．（2019秋•宾县期末）三角形有两条边的长度分别是5和7，则最长边a的取值范围是　7≤a＜12　．

【分析】已知三角形两边的长，根据三角形三边关系定理知：第三边的取值范围应该是大于已知两边的差而小于已知两边的和．

【解析】根据三角形三边关系定理知：①当a＝7时，最长的边a＝7；

②当a≠7时，最长边a的取值范围是：7＜a＜（7+5），即7＜a＜12；

故答案为：7≤a＜12．

15．如图，在△ABC中，AD是高，点E在DC上，连接AE，则该图中以AD为高的三角形共有　6　个．

【分析】由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．

【解析】∵AD⊥BC于D，

而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，

∴以AD为高的三角形有6个．

故答案为：6．

16．（2020春•江都区期末）△ABC的两条边的长度分别为3和5，若第三条边为偶数，则△ABC的周长为　12或14　．

【分析】设第三边长为x，利用三边关系确定x的范围，然后再确定x的值，进而可得周长．

【解析】设第三边长为x，由题意得：

5﹣3＜x＜5+3，

解得：2＜x＜8，

∵第三条边为偶数，

∴x＝4或6，

∴△ABC的周长为：4+3+5＝12或6+3+5＝14，

故答案为：12或14．

17．（2020春•南岗区期末）已知：AD、AE分别是△ABC的高，中线，BE＝6，CD＝4，则DE的长为　2或10　．

【分析】分△ABC是锐角三角形和钝角三角形两种情况解答即可．

【解析】当△ABC是锐角三角形时，如图1，

∵AD、AE分别是△ABC的高，中线，BE＝6，CD＝4，

∴EC＝BE＝6，

∴ED＝EC﹣DC＝6﹣4＝2，

当△ABC是钝角三角形时，如图2，

∵AD、AE分别是△ABC的高，中线，BE＝6，CD＝4，

∴EC＝BE＝6，

∴ED＝EC+DC＝6+4＝10，

故答案为：2或10．

18．（2021•平谷区一模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABO的面积与△CDO的面积的大小关系为：S△ABO　＝　S△CDO（填“＞”，“＝”或“＜”）．

【分析】根据题意和图形，可以分别计算出△ABC和△ACD的面积，从而可以解答本题．

【解析】设每个小正方形的边长为a，由图可得，

S△ABC＝S△BEC﹣S△ABE6a2，

S△DCA6a2，

∴S△ABC＝S△DCA，

∵S△ABC＝S△ABO+S△ACO，S△DCA＝S△CDO+S△ACO，

∴S△ABO＝S△CDO，

故答案为：＝．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，EC⊥BC交AB于点E，CF⊥AB，垂足为点F，BG⊥AC，垂足为点G．

（1）分别写出△ABC各条边上的高；

（2）CF是哪几个三角形的高？

【分析】（1）根据三角形的高的概念，写出△ABC三条边上的高即可；

（2）根据三角形的高的概念，由CF⊥AB，垂足为点F解答即可．

【解析】（1）由题意，可得△ABC中，AB边上的高是CF，BC边上的高是AD，AC边上的高是BG；

（2）∵CF⊥AB，垂足为点F，

∴CF是△BCF，△BCE，△BCA，△FCE，△FCA，△ECA的高．

20．如图

（1）图中共有几个三角形？并他它们表示出来．

（2）若AD⊥BC，垂足为D，则AD是那些三角形的高？

（3）若F是AD的中点，则BF是哪个三角形的中线？

【分析】（1）根据三角形的个数解答即可；

（2）根据三角形的高解答即可；

（3）根据三角形的中线解答即可．

【解析】（1）图中有8个三角形，△ABC，△ABD，△ADC，△ABE，△BEC，△ABF，△AEF，△BFD，

（2）AD是△ADC、△ABD，△ABC的高，

（3）BF是△ABD的中线．

21．（2017秋•固始县期中）如图，在△ABC中（AB＞BC），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．

【分析】先根据AD是BC边上的中线得出BD＝CD，设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，根据题意得出方程组，求出方程组的解，再根据三角形的三边关系定理判断即可．

【解析】设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝2BC＝4x，

∵BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，AC＞AB，

∴AC+CD＝40，AB+BD＝60，

即，

解得：，

当AB＝52，BC＝16，AC＝32时，不满足三边关系，构不成三角形，应该舍去，

所以AC＝48，AB＝28．

22．如图，（1）若AE平分∠DAC，则AH是△　AGF　的角平分线，AE是△　ADC　的角平分线；

（2）若AF＝FC，则△ABC的中线是　BF　；

（3）若AD⊥BC，垂足为点D，则AD是哪些三角形的高？

【分析】根据三角形角平分线、中线和高的概念解答即可．

【解析】（1）若AE平分∠DAC，则AE是△AGF的角平分线，AE是△ADC的角平分线；

故答案为AGF；ADC；

（2）若AF＝FC，则△ABC的中线是BF，

故答案为BF；

（3）若AD⊥BC，垂足为点D，则AD是△ABE、△ABC、△ABD、△ADE、△ADC、△AEC的高．

23．（2017秋•岑溪市期末）“佳园工艺店”打算制作一批有两边长分别是7分米，3分米，第三边长为奇数（单位：分米）的不同规格的三角形木框．

（1）要制作满足上述条件的三角形木框共有　3　种．

（2）若每种规格的三角形木框只制作一个，制作这种木框的木条的售价为8元╱分米，问至少需要多少钱购买材料？（忽略接头）

【分析】（1）根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，确定第三边的取值范围，从而确定符合条件的三角形的个数．

（2）求出各三角形的周长的和，再乘以售价为8元╱分米，可求其所需钱数．

【解析】（1）三角形的第三边x满足：7﹣3＜x＜3+7，即4＜x＜10．因为第三边又为奇数，因而第三边可以为5、7或9．故要制作满足上述条件的三角形木框共有3种．

（2）制作这种木框的木条的长为：3+5+7+3+7+7+3+7+9＝51（分米），

∴51×8＝408（元）．

答：至少需要408元购买材料．

24．（2020春•五华区校级期末）已知△ABC的周长为33cm，AD是BC边上的中线，．

（1）如图，当AC＝10cm时，求BD的长．

（2）若AC＝12cm，能否求出DC的长？为什么？

【分析】（1）根据三角形中线的性质解答即可；

（2）根据三角形周长和边的关系解答即可．

【解析】（1）∵，AC＝10cm，

∴AB＝15cm．

又∵△ABC的周长是33cm，

∴BC＝8cm．

∵AD是BC边上的中线，

∴．

（2）不能，理由如下：

∵，AC＝12cm，

∴AB＝18cm．

又∵△ABC的周长是33cm，

∴BC＝3cm．

∵AC+BC＝15＜AB＝18，

∴不能构成三角形ABC，则不能求出DC的长．