天津市和平区2022-2023学年九年级上学期期中质量调查数学试题 (含答案)

这是一份天津市和平区2022-2023学年九年级上学期期中质量调查数学试题 (含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年天津市和平区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．“垃圾分类，利国利民”，在2019年7月1日起上海开始正式实施垃圾分类，到2020年底先行先试的46个重点城市，要基本建成垃圾分类处理系统．以下四类垃圾分类标志的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．可回收物 B．有害垃圾 C．厨余垃圾 D．其他垃圾
2．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
3．如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A（﹣2，5），则点C的坐标是（　　）

A．（5，﹣2） B．（2，﹣5） C．（2，5） D．（﹣2，﹣5）
4．用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（　　）
A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝﹣9 C．（x+4）2＝7 D．（x+4）2＝25
5．AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC＝65°，那么∠OCA的度数是（　　）

A．25° B．35° C．15° D．20°
6．把抛物线y＝﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（　　）
A．y＝﹣2（x+1）2+2 B．y＝﹣2（x+1）2﹣2
C．y＝﹣2（x﹣1）2+2 D．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2
7．若M（﹣4，y1），N（﹣3，y2），P（1，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
8．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+2x）＝182
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
9．关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（　　）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）
B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小
D．y的最小值为﹣3
10．高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝12米，净高CD＝9米，则此圆的半径OA＝（　　）

A．6米 B．米 C．7米 D．米
11．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，连接C'B，则C'B的长为（　　）

A． B． C． D．1
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…
且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：
①abc＜0；②m＝n；③﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；④a＜．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13．写出下列一元二次方程的根（2x﹣7）（x+2）＝0 　 　．
14．函数y＝2（x﹣1）2图象的顶点坐标为　 　．
15．如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠B＝30°，直线BD与⊙O切于点D，则∠ADB的度数是　 　．

16．已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围　 　．
17．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是　 　．
18．如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，D是BC的中点，F是直线AB上一动点，线段DF绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，当点F运动时，CE的最小值是　 　．

三、解答题（本大题共7小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）解方程：
（Ⅰ）x2+x﹣12＝0；
（Ⅱ）5x（x﹣1）＝2（x﹣1）．
20．（8分）如图，在半径为50的⊙O中，弦AB的长为50，
（1）求∠AOB的度数；
（2）求点O到AB的距离．

21．（10分）已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝82°，C为⊙O上一点．
（Ⅰ）如图①，求∠ACB的大小；
（Ⅱ）如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D．若AB＝AD，求∠EAC的大小．

22．（10分）如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？

23．（10分）某书店销售复习资料，已知每本复习资料进价为40元，市场调查发现：若以每本50元销售，平均每天可销售90本，在此基础上，若售价每提高1元，则平均每天少销售3本．设涨价后每本的售价为x元，书店平均每天销售这种复习资料的利润为y元
（1）涨价后每本复习资料的利润为　 　元，平均每天可销售　 　本．
（2）求y与x的函数关系式；
（3）当复习资料每本售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润为多少？
24．（10分）如图，等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ．
（1）求∠PCQ的度数；
（2）当AB＝4，AP＝时，求PQ的大小；
（3）当点P在线段AC上运动时（P不与A，C重合），求证：2PB2＝PA2+PC2

25．（10分）如图，已知顶点为C（0，﹣6）的抛物线y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，且OC＝OB．
（1）求点B的坐标；
（2）求二次函数y＝ax2+b（a≠0）的解析式；
（3）作直线CB，问抛物线y＝ax2+b（a≠0）上是否存在点M，使得∠MCB＝15°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．


2022-2023学年天津市和平区九年级（上）期中数学试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．“垃圾分类，利国利民”，在2019年7月1日起上海开始正式实施垃圾分类，到2020年底先行先试的46个重点城市，要基本建成垃圾分类处理系统．以下四类垃圾分类标志的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．可回收物 B．有害垃圾 C．厨余垃圾 D．其他垃圾
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：第1个既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
第2个既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
第3个是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
第4个既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【分析】先根据方程的一般式得出a、b、c的值，再计算出Δ＝b2﹣4ac的值，继而利用一元二次方程的根的情况与判别式的值之间的关系可得答案．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝1，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝4﹣4＝0，
∴有两个相等的实数根，
故选：B．
3．如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A（﹣2，5），则点C的坐标是（　　）

A．（5，﹣2） B．（2，﹣5） C．（2，5） D．（﹣2，﹣5）
【分析】菱形的对角线相互平分可知点A与C关于原点对称，从而得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，即点A与点C关于原点对称，
∵点A（﹣2，5），
∴点C的坐标是（2，﹣5）．
故选：B．
4．用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（　　）
A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝﹣9 C．（x+4）2＝7 D．（x+4）2＝25
【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．
【解答】解：方程x2+8x+9＝0，整理得：x2+8x＝﹣9，
配方得：x2+8x+16＝7，即（x+4）2＝7，
故选：C．
5．AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC＝65°，那么∠OCA的度数是（　　）

A．25° B．35° C．15° D．20°
【分析】根据直径得出∠ACB＝90°，进而得出∠CAB＝25°，进而解答即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝65°，
∴∠CAB＝25°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠CAB＝25°，
故选：A．
6．把抛物线y＝﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（　　）
A．y＝﹣2（x+1）2+2 B．y＝﹣2（x+1）2﹣2
C．y＝﹣2（x﹣1）2+2 D．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2
【分析】根据图象右移减，上移加，可得答案．
【解答】解：把抛物线y＝﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为y＝﹣2（x﹣1）2+2，
故选：C．
7．若M（﹣4，y1），N（﹣3，y2），P（1，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，根据M，N，P三点到对称轴的距离大小求解．
【解答】解：∵y＝x2+4x﹣5，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴距离对称轴越近的点的纵坐标越小，距离越远的点的纵坐标越大，
∵﹣2﹣（﹣3）＜﹣2﹣（﹣4）＜1﹣（﹣2），
∴y2＜y1＜y3，
故选：B．
8．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+2x）＝182
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．
【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．
故选：B．
9．关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（　　）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）
B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小
D．y的最小值为﹣3
【分析】根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：∵y＝2x2+4x﹣1＝2（x+1）2﹣3，
∴当x＝0时，y＝﹣1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x＝﹣1，故选项B错误，
当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x＝﹣1时，y取得最小值，此时y＝﹣3，故选项D正确，
故选：D．
10．高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝12米，净高CD＝9米，则此圆的半径OA＝（　　）

A．6米 B．米 C．7米 D．米
【分析】设此圆的半径为r米，则OA＝r米，OD＝（9﹣r）米，由垂径定理得AD＝AB＝6米，然后在Rt△AOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：设此圆的半径为r米，则OA＝r米，OD＝（9﹣r）米，
由题意得：AB＝12米，CD⊥AB，
∴AD＝AB＝×12＝6（米）
在Rt△AOD中，由勾股定理得：r2＝（9﹣r）2+62，
解得：r＝，
即此圆的半径OA＝米，
故选：B．
11．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，连接C'B，则C'B的长为（　　）

A． B． C． D．1
【分析】连接BB′，延长BC′交AB′于点M，证明△ABC′≌△B′BC′，得到∠MBB′＝∠MBA＝30°；求出BM、C′M的长，即可解决问题．
【解答】解：如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点M；

由题意得：∠BAB′＝60°，BA＝B′A，
∴△ABB′为等边三角形，
∴∠ABB′＝60°，AB＝B′B；
在△ABC′与△B′BC′中，
，
∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），
∴∠MBB′＝∠MBA＝30°，
∴BM⊥AB′，且AM＝B′M；
由题意得：AB2＝4，
∴AB′＝AB＝2，AM＝1，
∴C′M＝AB′＝1；
由勾股定理得：BM＝＝＝，
∴C′B＝﹣1，
故选：C．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…
且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：
①abc＜0；②m＝n；③﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；④a＜．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①函数的对称轴为：x＝（0+1）＝，则ab＜0，c＝﹣2＜0，故abc＞0，即可求解；
②x＝﹣1和x＝2关于函数对称轴对称，故m＝n正确，即可求解；
③函数的对称轴为：x＝，则b＝﹣a，x＝﹣2时，y＝4a﹣2b﹣2＝t＝ax2+bx+c，则当x＝﹣2时，上式成立，即可求解；
④当x＝﹣时，y＝ab﹣2＞0，而b＝﹣a，解得：3a﹣8＞0，即可求解．
【解答】解：①函数的对称轴为：x＝（0+1）＝，则ab＜0，c＝﹣2＜0，故abc＞0，故①错误，不符合题意；
②x＝﹣1和x＝2关于函数对称轴对称，故m＝n正确，符合题意；
③函数的对称轴为：x＝，则b＝﹣a，x＝﹣2时，y＝4a﹣2b﹣2＝t＝ax2+bx+c，则当x＝﹣2时，上式成立，故x＝﹣2是方程的根，根据函数对称性x＝3也是方程的根，故③正确，符合题意；
④当x＝﹣时，y＝ab﹣2＞0，而b＝﹣a，解得：3a﹣8＞0，故④错误，不符合题意；
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13．写出下列一元二次方程的根（2x﹣7）（x+2）＝0 　x1＝，x2＝﹣2　．
【分析】利用因式分解法把方程转化为2x﹣7＝0或x+2＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：（2x﹣7）（x+2）＝0，
2x﹣7＝0或x+2＝0，
所以x1＝，x2＝﹣2．
故答案为：x1＝，x2＝﹣2．
14．函数y＝2（x﹣1）2图象的顶点坐标为　（1，0）　．
【分析】根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可．
【解答】解：∵抛物线y＝2（x﹣1）2，
∴抛物线y＝2（x﹣1）2的顶点坐标为：（1，0），
故答案为：（1，0）．
15．如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠B＝30°，直线BD与⊙O切于点D，则∠ADB的度数是　120°　．

【分析】连接OD，根据切线性质求出∠ODB，根据三角形内角和定理求出∠DOB，求出∠A，即可求出答案．
【解答】解：
连接OD，
∵BD切⊙O于D，
∴∠ODB＝90°，
∵∠B＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∴∠A＝∠DOB＝30°，
∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
故答案为：120°．
16．已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围　k≥﹣且k≠0　．
【分析】由于二次函数与x轴有交点，故二次函数对应的一元二次方程kx2﹣7x﹣7＝0中，△≥0，解不等式即可求出k的取值范围，由二次函数定义可知，k≠0．
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，
∴，
∴k≥﹣且k≠0．
故答案为k≥﹣且k≠0．
17．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是　80°或100°　．
【分析】首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得∠AB′C的度数．
【解答】解：如图，∵∠AOC＝160°，
∴∠ABC＝∠AOC＝×160°＝80°，
∵∠ABC+∠AB′C＝180°，
∴∠AB′C＝180°﹣∠ABC＝180°﹣80°＝100°．
∴∠ABC的度数是：80°或100°．
故答案为80°或100°．

18．如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，D是BC的中点，F是直线AB上一动点，线段DF绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，当点F运动时，CE的最小值是　3+　．

【分析】先将△CDE绕点D顺时针旋转90°得到△C'DF，把CE转化为C'F，由于F是直线AB上一动点，故C'F的最小值是C'G，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边一半、D为BC中点以及勾股定理求出C'N、NC即可．
【解答】解：将△CDE绕点D顺时针旋转90°得到△C'DF，过C'作AB垂线交AB延长线于G，过D作DM⊥AB于M，作DN⊥C'G于N，

在△ABC是等边三角形中，AB＝4，D是BC的中点，
由旋转性质可得，CD＝C'D＝2，CE＝C'F，∠C'DB＝90°，
∵F是直线AB上一动点，
∴当点F运动时，C'F的最小值是C'G，
∵∠DMG＝∠MGN＝∠GND＝90°，
∴四边形DMGN为矩形，
∴DM＝NG，DN∥MG，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠MDB＝30°，∠BDN＝60°，即∠C'DN＝30°，
∴MB＝＝2，C'N＝C'D＝，
∴DM＝＝3，
∴C'G＝C'N+NG＝3+．
故答案为：3+．
三、解答题（本大题共7小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）解方程：
（Ⅰ）x2+x﹣12＝0；
（Ⅱ）5x（x﹣1）＝2（x﹣1）．
【分析】（Ⅰ）利用因式分解法解方程；
（Ⅱ）先移项得5x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（Ⅰ）（x+4）（x﹣3）＝0，
x+4＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝﹣4，x2＝3；
（Ⅱ）5x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（5x﹣2）＝0，
x﹣1＝0或5x﹣2＝0，
所以x1＝1，x2＝．
20．（8分）如图，在半径为50的⊙O中，弦AB的长为50，
（1）求∠AOB的度数；
（2）求点O到AB的距离．

【分析】（1）判断出三角形OAB是等边三角形即可得出∠AOB的度数；
（2）过点O作OC⊥AB于点C，根据等边三角形的性质及勾股定理的知识，可求出OC．
【解答】解：（1）∵OA＝OB＝50，AB＝50，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°；

（2）过点O作OC⊥AB于点C，
则AC＝BC＝AB＝25，
在Rt△OAC中，OC＝＝25．
即点O到AB的距离为25．
21．（10分）已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝82°，C为⊙O上一点．
（Ⅰ）如图①，求∠ACB的大小；
（Ⅱ）如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D．若AB＝AD，求∠EAC的大小．

【分析】（Ⅰ）连接OA、OB，由PA，PB是⊙O的切线得∠OAP＝∠OBP＝90°，而∠APB＝82°，根据四边形的内角和等于360°可以求出∠AOB＝98°，再根据圆周角定理求得∠ACB＝∠AOB＝49°；
（Ⅱ）连接CE，由AE为⊙O的直径得∠ACE＝90°，则∠BAE＝∠BCE＝41°，因为AB＝AD，所以∠ADB＝∠ABD＝×（180°﹣41°）＝69.5°，再根据三角形的一个外角等于与它不相等的两个内角的和求出∠EAC的度数即可．
【解答】解：（Ⅰ）如图①，连接OA、OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠APB＝82°
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝98°，
∴∠ACB＝∠AOB＝49°，
∴∠ACB的大小为49°．
（Ⅱ）连接CE，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∵∠ACB＝49°，
∴∠BCE＝90°﹣49°＝41°，
∴∠BAE＝∠BCE＝41°，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD＝（180°﹣∠BAE）＝×（180°﹣41°）＝69.5°，
∴∠EAC＝∠ADB﹣∠ACB＝69.5°﹣49°＝20.5°，
∴∠EAC的大小为20.5°．


22．（10分）如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？

【分析】设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m．根据长方形面积公式即可列方程（30﹣2x）（20﹣x）＝6×78．
【解答】解：设道路的宽为xm，由题意得：
（30﹣2x）（20﹣x）＝6×78，
整理得：（x﹣2）（x﹣33）＝0，
解得x＝2或x＝33舍去），
答：通道应设计成2米．
23．（10分）某书店销售复习资料，已知每本复习资料进价为40元，市场调查发现：若以每本50元销售，平均每天可销售90本，在此基础上，若售价每提高1元，则平均每天少销售3本．设涨价后每本的售价为x元，书店平均每天销售这种复习资料的利润为y元
（1）涨价后每本复习资料的利润为　（x﹣40）　元，平均每天可销售　（240﹣3x）　本．
（2）求y与x的函数关系式；
（3）当复习资料每本售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润为多少？
【分析】（1）用原来的利润加上涨价的利润即为现在的利润，销量在原来的基础上减少后即可；
（2）用涨价后单件的利润乘以销售量即可列出函数关系式；
（3）利用公式或配方后即可确定最大值．
【解答】解：（1）涨价后每本复习资料的利润为（x﹣40）元，平均每天可销售90﹣3（x﹣50）＝（240﹣3x）本．
故答案为：（x﹣40），（240﹣3x）；
（2）根据题意得：y＝（﹣3x+240）（x﹣40）＝﹣3x2+360x﹣9600；
（3）∵a＝﹣3＜0，y＝（﹣3x+240）（x﹣40）＝﹣3（x﹣60）2+1200；
∴当x＝60时，y有最大值1200元．
24．（10分）如图，等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ．
（1）求∠PCQ的度数；
（2）当AB＝4，AP＝时，求PQ的大小；
（3）当点P在线段AC上运动时（P不与A，C重合），求证：2PB2＝PA2+PC2

【分析】（1）先由旋转得出△ABP≌△CBQ，即：∠A＝∠ACB＝∠BCQ＝45°，即可得出结论；
（2）先求出AC，进而求出PC，最后用勾股定理即可得出结论；
（3）先判断出△BPQ是等腰直角三角形，△PCQ是直角三角形，最后用勾股定理即可得出结论．
【解答】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝∠ACB＝45°，
∵△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ．
∴△ABP≌△CBQ，
∴∠A＝∠ACB＝∠BCQ＝45°，
∴∠PCQ＝∠ACB+∠BCQ＝45°+45°＝90°；

（2）在等腰直角三角形ABC中，
∵AB＝4，
∴AC＝4，
∵AP＝，
∴PC＝AC﹣AP＝4﹣＝3，
由（1）知，△ABP≌△CBQ，
∴CQ＝AP＝，
由（1）知，∠PCQ＝90°，
根据勾股定理得，PQ＝＝＝2；

（3）证明：由（1）知，△ABP≌△CBQ，
∴∠ABP＝∠CBQ，AP＝CQ，PB＝BQ
∴∠CBQ+∠PBC＝∠ABP+∠PBC＝90°，
∴△BPQ是等腰直角三角形，△PCQ是直角三角形，
∴PQ＝PB，
∵AP＝CQ，
在Rt△PCQ中，根据勾股定理得，PQ2＝PC2+CQ2＝PA2+PC2
∴2PB2＝PA2+PC2．
25．（10分）如图，已知顶点为C（0，﹣6）的抛物线y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，且OC＝OB．
（1）求点B的坐标；
（2）求二次函数y＝ax2+b（a≠0）的解析式；
（3）作直线CB，问抛物线y＝ax2+b（a≠0）上是否存在点M，使得∠MCB＝15°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由条件可知OC＝6，根据OB＝OC，可求出点B的坐标；
（2）将B，C两点的坐标代入y＝ax2+b，求出a，b的值，即可求得二次函数的解析式；
（3））根据题意，分M在BC上方和下方两种情况进行解答，画出相应的图形，然后根据二次函数的性质和锐角三角函数可以求得点M的坐标．
【解答】解：（1）∵C（0，﹣6），
∴OC＝6，
∵OC＝OB，
∴OB＝6，
∴点B的坐标为（6，0）；
（2）∵抛物线y＝ax2+b过点B（6，0），点C（0，﹣6），
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（3）存在，如图，分以下两种情况：

①若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC＝45°+15°＝60°，
∴OD＝OC•tan30°＝6×，
∴点D的坐标为（2，0），
设DC为y＝kx﹣6，代入（2，0），可得：k＝，
∴直线DC的函数解析式为y＝x﹣6，
联立两个方程可得，
解得（舍去），，
∴M，
②若M在B下方，设MC交x轴于点E，则∠OEC＝45°﹣15°＝30°，
∴∠OCE＝60°，
∴OE＝OC•tan60°＝6，
设EC为y＝kx﹣6，代入（6，0）可得：k＝，
∴直线EC的解析式为y＝x﹣6
联立两个方程可得，
解得：（舍去），，
∴，
综上所述M的坐标为或．