高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.3 一元二次不等式的解法教学演示课件ppt

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.3 一元二次不等式的解法教学演示课件ppt，文件包含人教B版高中数学必修第一册第2章22223一元二次不等式的解法课件ppt、人教B版高中数学必修第一册第2章22223一元二次不等式的解法学案doc、人教B版高中数学必修第一册课后素养落实16一元二次不等式的解法含答案doc等3份课件配套教学资源，其中PPT共58页， 欢迎下载使用。
2.2.3　一元二次不等式的解法学 习 任 务核 心 素 养1．理解一元二次不等式的定义．2．能够利用因式分解法和配方法解一元二次不等式．(重点、难点)3．了解简单的分式不等式，并会求其解集．(难点、易错点)1．借助一元二次不等式的概念，培养数学抽象核心素养．2．通过学习一元二次不等式的解法，提升数学运算核心素养．3．借助简单分式不等式的解法，培养逻辑推理核心素养.某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5 000册．要使杂志社的销量收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？知识点一　一元二次不等式的概念一般地，形如ax2＋bx＋c＞0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“＜”“≥”“≤”等．一元二次不等式的二次项系数a有a＞0或a＜0两种，注意a≠0.当a＜0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式．1．下列不等式中，哪些是一元二次不等式(其中a，b，c，m为常数)?(1)ax2＞0；(2)x3＋5x－6≥0；(3)－x－x2≤0；(4)x2＞0；(5)mx2－5y＞0；(6)ax2＋bx＋c≤0；(7)x－＞0.[解]　题号是否是一元二次不等式理由(1)不是a＝0时，不符合一元二次不等式的定义(2)不是x的最高次数为3(3)是符合一元二次不等式的定义(4)是符合一元二次不等式的定义(5)不是m＝0时，为一元一次不等式．m≠0时，含有x，y两个未知数(6)不是a＝0时，x的最高次数不是2(7)不是不是整式不等式知识点二　一元二次不等式的解法1．因式分解法解一元二次不等式一般地，如果x1＜x2，则不等式(x－x1)(x－x2)＜0的解集是(x1，x2)；不等式(x－x1)(x－x2)＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)．2．配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2＞k或(x－h)2＜k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集．[拓展]　一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2＞k或(x－h)2＜k的形式．(1)当k≥0时，(x－h)2＞k的解集为(－∞，h－)∪(h＋，＋∞)；(x－h)2＜k的解集为(h－，h＋)．(2)当k＜0时，(x－h)2＞k的解集为R；(x－h)2＜k的解集为∅.2.不等式x(x－2)＞0的解集为________，不等式x(x－2)＜0的解集为________．[答案]　{x|x＜0或x＞2}　{x|0＜x＜2}3.不等式(2x－5)(x＋3)＜0的解集为________．　[原不等式可化为(x＋3)＜0，所以－3＜x＜，所以原不等式的解集为.]4.不等式3x2－2x＋1＞0的解集是________．R　[因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R.]知识点三　分式不等式的解法1．分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．各种分式不等式经过同解变形，都可化为标准形式＞0(≥0)或＜0(≤0)．2．分式不等式的解法解分式不等式的思路——转化为整式不等式求解．化分式不等式为标准型的方法：移项，通分，右边化为0，左边化为的形式．将分式不等式转化为整式不等式求解．5.不等式≥0的解集为(　　)A．B．C．D．C　[原不等式等价于(x－1)(2x＋1)＞0或x－1＝0，解得x＜－或x＞1或x＝1，所以原不等式的解集为.] 类型1　解一元二次不等式　解不含参数的一元二次不等式【例1】　已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁RA＝(　　)A．{x|－1＜x＜2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}B　[法一：由x2－x－2＞0左边因式分解得(x＋1)(x－2)＞0，解得x＜－1或x＞2，则A＝{x|x＜－1或x＞2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}．法二：由x2－x－2＞0左边配方可得－＞0，即＞，两边开方得＞，所以x＞2或x＜－1，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}．]将本例题的条件不变，添加集合B＝{x|(x－1)(x－3)＜0}，则(∁RA)∩B＝________.{x|1＜x≤2}　[由例题知∁RA＝{x|－1≤x≤2}．由(x－1)(x－3)＜0，解得1＜x＜3，所以(∁RA)∩B＝{x|1＜x≤2}．]解一元二次不等式的方法有哪些？[提示]　(1)因式分解法：不等式的左端能够进行因式分解的可用此法，它只能适用于解决一类特殊的不等式．(2)配方法：一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)通过配方总可以化为(x－h)2＞k或(x－h)2＜k的形式，然后根据k值的正负即可求得不等式的解集．　解含有参数的一元二次不等式【例2】　解关于x的不等式ax2－x＞0.[解]　根据题意，分情况讨论：①当a＝0时，不等式化为－x＞0，即x＜0.此时不等式的解集为(－∞，0)；②当a≠0时，方程ax2－x＝0有两根，分别为0和.当a＞0时，＞0，此时不等式的解集为(－∞，0)∪；当a＜0时，＜0，此时不等式的解集为.综上可得：当a＞0时，不等式的解集为(－∞，0)∪；当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)；当a＜0时，不等式的解集为.含参数的一元二次不等式求解的注意事项(1)参数只在一次项系数位置时，首先利用配方法或者因式分解法得其一元二次方程的根，然后分析根的大小作出结论．(2)如果二次项系数为参数，则通常是先分析二次项系数的正、0、负三种情况，分别得其解后再分析解的大小，从而作出结论．1．解不等式：x2＋(2－a)x－2a≥0.[解]　由x2＋(2－a)x－2a≥0得，(x＋2)(x－a)≥0，①当a＝－2时，不等式的解集是R；②当a＞－2时，不等式的解集是(－∞，－2]∪[a，＋∞)；③当a＜－2时，不等式的解集是(－∞，a]∪[－2，＋∞)． 类型2　解简单的分式不等式【例3】　(1)不等式＞1的解集是________．(2)若关于x的不等式ax－b＞0的解集是(2，＋∞)，则关于x的不等式＞0的解集是(　　)A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－2,2)D．(－1,2)[思路探究]　(1)先把分式不等式化为等价的整式不等式后再求解；(2)根据不等式及解集，可判断a的符号及＝2.将所求不等式变形，结合一元二次不等式解法即可求得解集．(1){x|－4＜x＜－1}　(2)B　[(1)因为＞1，所以－1＞0，即＞0，所以＜0.所以(x＋1)(x＋4)＜0，故－4＜x＜－1．(2)由x的不等式ax－b＞0，变形可得ax＞b，因为关于x的不等式ax＞b的解集是(2，＋∞)，所以a＞0且＝2，则不等式＞0可化为＞0，即＞0，等价于a(x＋2)(x－2)＞0，因为a＞0，解得x＜－2或x＞2，即x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．]1．将本例(1)不等式改为≤1，求解集．[解]　因为≤1，所以(x＋1)(x＋4)≥0，且x＋4≠0，故x≥－1或x＜－4，即x∈(－∞，－4)∪[－1，＋∞)．2．将本例(2)中＞0，改为＜0，其他条件不变，求不等式的解集．[解]　由题意，可得a＞0且＝2.不等式＜0可化为＜0，即＜0，等价于a(x＋2)(x－2)＜0，因为a＞0，解得－2＜x＜2，即x∈(－2,2)．解分式不等式的步骤 类型3　两个“二次”间的关系方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？[提示]　方程x2－2x－3＝0的解集为{－1，3}.,不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}，观察发现不等式x2－2x－3>0解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根.【例4】　(1)若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，则a＋b的值为(　　)A．14　 B．－10　　　　C．10　　　　 D．－14(2)已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．(1)D　[(1)由已知得，ax2＋bx＋2＝0的解为－，，且a＜0.∴解得∴a＋b＝－14.](2)[解]　因为x2＋px＋q＜0的解集为，所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，由根与系数的关系得解得所以不等式qx2＋px＋1＞0即为－x2＋x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3.即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及两个“二次”之间的关系解题的思想(1)求解方法：由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集．(2)应用两“二次”之间的关系解题的思想一元二次不等式与其对应的方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根．在解决具体的数学问题时，要注意两者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．2．已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求不等式cx2－bx＋a＞0的解集．[解]　由题意知即代入不等式cx2－bx＋a＞0，得6ax2＋5ax＋a＞0(a＜0)．即6x2＋5x＋1＜0，解得－＜x＜－，所以所求不等式的解集为.1．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有(　　)A．1个　　　　 B．2个C．3个 D．4个B　[②④一定是一元二次不等式．]2．不等式＜0的解集为(　　)A．{x|x＞1} B．{x|x＜－2}C．{x|－2＜x＜1} D．{x|x＞1或x＜－2}C　[原不等式等价于(x－1)(x＋2)＜0，解得－2＜x＜1．]3．设集合A＝{x|x2≤x}，B＝{x|0＜x≤1}，则A∩B＝(　　)A．(0,1] B．[0,1]C．(－∞，1] D．(－∞，0)∪(0,1]A　[由题意得A＝[0,1]，故A∩B＝(0,1]．]4．设集合M＝{x|x2－x＜0}，N＝{x|x2＜4}，则M与N的关系为________．MN　[因为M＝{x|x2－x＜0}＝{x|0＜x＜1}，N＝{x|x2＜4}＝{x|－2＜x＜2}，所以MN.]5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值表如下：x－3－2－101234y60－4－6－6－406则a＝________；不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为________．1　{x|x＜－2或x＞3}　[由表知x＝－2时，y＝0，x＝3时，y＝0，所以二次函数y＝ax2＋bx＋c可化为：y＝a(x＋2)(x－3)，又因为x＝1时，y＝－6，所以a＝1，图像开口向上．结合二次函数的图像可得不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为x＜－2或x＞3.]回顾本节知识，自我完成以下问题：1．解一元二次不等式有哪些方法？[提示]　(1)因式分解法：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为两个一次因式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集．(2)配方法：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得．(3)求根公式法：若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法．(4)两个“二次”间的关系法：不等式解集的端点恰好是二次方程的根．2．含参数的一元二次不等式的解题步骤是怎样的？[提示]　3．解分式不等式应注意哪些问题？[提示]　(1)注意等价转化；(2)注意x2的系数的正负，尤其为负数时，可化负为正后再求解，否则易将范围求错；(3)结论用集合或区间书写；(4)特别注意分母不等于零．