九年级数学下册期中检测题

(满分120分，考试用时120分钟 )

姓名：________　　　班级：________　　　分数：________

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．(大连期末)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，则tan A＝（B）

A.  B.  C.  D.

2．在△ABC中，若＋＝0，则∠C的度数为（D）

A．30°  B．60°  C．90°  D．120°

3．当二次函数y＝x2＋4x＋9取最小值时，x的值为（A）

A．－2  B．1  C．2  D．9

4．某抛物线的顶点是(－3，1)，形状、开口方向与y＝－2x2－1相同，则这条抛物线的表达式是(　C　)

A．y＝2(x－3)2＋1    B．y＝－2(x－3)2＋1 

C．y＝－2(x＋3)2＋1  D．y＝2(x＋3)2＋1

5．在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（B）

A．c＝bsin B   B.b＝csin B   C.a＝btan B   D.b＝ctan B

6．在平面直角坐标系xOy中，点P(4，y)在第一象限内，且OP与x轴正半轴的夹角为60°，则y的值是（B）

A.  B．4  C．8  D．2

7．已知二次函数y＝mx2＋x＋m(m－2)的图象经过原点，则m的值为（C）

A．0或2   B.0   C.2   D.无法确定

8．如图，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD＝60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（B）

A．2 m  B．2 m  C．(2－2) m  D．(2－2) m

9．(安徽中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，cos A＝，则BD的长度为（C）

A.  B.  C.  D．4

10．(成都中考)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(1，0)，B(5，0)，下列说法中正确的是（D）

A．c＜0        B．b2－4ac＜0

C．a－b＋c＜0  D．图象的对称轴是直线x＝3

二、填空题(每小题3分，共24分)

11．(沂南县期末)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则sin∠ABC的值为.

12．(凉山州中考)将抛物线y＝(x－3)2－2向左平移3个单位长度后经过点A(2，2)．

13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，函数y与自变量x的部分对应值见下表：

则当y<5时，x的取值范围是0<x<4.

14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝13，则△ABC的面积为30.

15．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团的人数每增加一人，每人的单价就降低10元．当一个旅行团的人数是55人时，这个旅行社可以获得最大的营业额．

16．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，将Rt△ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上点F处，折痕为BE，这样可以求出22.5°的正切值是－1.

17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝(x－3)2－1的顶点为A，直线l过点P(0，m)且平行于x轴，与抛物线交于点B和点C.若AB＝AC，∠BAC＝90°，则m＝3.

18．(江汉区模拟)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，2AB＝2BC＝CD＝10，tan B＝，则AD＝3.

【解析】过A作AF⊥CD于F，过C作CE⊥AB于E，根据矩形的性质得出AF＝CE，AE＝CF，求出AF和DF长，再根据勾股定理求出即可．

三、解答题(共66分)

19．(8分)(肥西县期末)计算：sin 30°－2cos230°＋(－tan 45°)2 022.

解：原式＝－2×＋(－1)2 022

＝－＋1

＝0.

20．(10分)(秀洲区月考)如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，B，且当x＝4时，二次函数的值为6.

(1)求m的值和抛物线的表达式；

(2)求不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集．

解：(1)∵直线y＝x＋m经过点A(1，0)，

∴1＋m＝0，解得m＝－1；

∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(1，0)，且当x＝4时，二次函数的值为6，

∴解得∴抛物线的表达式为y＝x2－3x＋2.

(2)∵由(1)知m＝－1，抛物线的表达式为y＝x2－3x＋2，

∴直线的表达式为y＝x－1，

∴解得或∴B(3，2)．

∵由函数图象可知，当x＜1或x＞3时，二次函数的值大于一次函数的值，

∴不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集为x＜1或x＞3.

21．(12分)(衢州中考)某游乐园有一个直径为16 m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3 m处达到最高，高度为5 m，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．

(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式；

(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水头意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 m的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？

解：(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为

y＝a(x－3)2＋5(a≠0)，将(8，0)代入y＝a(x－3)2＋5，得

25a＋5＝0，解得a＝－.

∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为

y＝－(x－3)2＋5(0＜x＜8)．

(2)当y＝1.8时，有－(x－3)2＋5＝1.8，解得x1＝－1，x2＝7.

∴为了不被淋湿，身高1.8 m的王师傅站立时必须在离水池中心7 m以内．

22．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E.已知AC＝15，cos A＝.

(1)求线段CD的长；

(2)求sin∠DBE的值．

解：(1)在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝15，cos A＝，

∴AB＝＝25.又∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝.

(2)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，

∴DC＝DB＝，∴∠DCB＝∠DBC.

又∵∠E＝∠ACB＝90°，∴△BEC∽△ACB，∴＝.

又∵BC＝＝＝20，

∴＝，∴EC＝16.

∵CD＝，∴DE＝16－＝.

∴在Rt△DEB中，sin∠DBE＝×＝.

23．(12分)图①是一台实物投影仪，图②是它的示意图，折线B－A－O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.8 cm，CD＝8 cm，AB＝30 cm，BC＝35 cm.(结果精确到0.1)

(1)如图②，∠ABC＝70°，BC∥OE.

①填空：∠BAO＝160°.

②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．

(2)如图③，将(1)中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6 cm时，求∠ABC的大小．(参考数据：sin 70°≈0.94，cos 20°≈0.94，sin 36.8°≈0.60，cos 53.2°≈0.60)

①　　②　　③　

解：(1)②如图②，过点A作AG⊥BC交BC于点G，

∵AG＝30 cm，OA＝6.8 cm，∠ABC＝70°，

∴AG＝30sin 70°≈28.2(cm)，∴OG＝OA＋AG≈6.8＋28.2＝35(cm)，

∴OG－CD≈27.0 cm，∴点D到桌面OE的距离约是27.0 cm.

(2)如图③，延长CD交OE于点M，过点B作OE的平行线交DC的延长线于点H.

∵CD⊥OE，OE∥BH，∴CD⊥BH，∠ABH＝70°.由题意得CM＝14 cm，由(1)得HM≈35 cm，∴CH＝21 cm.

在Rt△BCH中，sin∠CBH＝≈＝0.6，

∴∠CBH≈36.8°，∴∠ABC＝∠ABH－∠CBH≈70°－36.8°＝33.2°.

24．(12分)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴相交于点C(0，－3)．

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC.

①求线段PM的最大值；

②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．

题图

解：(1)将A，B，C三点的坐标分别代入函数表达式，得

解得

∴二次函数的表达式为y＝x2－2x－3.

(2)①设直线BC的表达式为y＝kx＋t，

将B，C的坐标分别代入函数表达式，得解得

∴直线BC的表达式为y＝x－3.

设M(n，n－3)，则P(n，n2－2n－3)，

答图①

PM＝(n－3)－(n2－2n－3)＝－n2＋3n＝－＋(0＜n＜3)，

∴当n＝时，线段PM的最大值为.

②满足题意的有PM＝PC和PM＝CM两种情况：

(Ⅰ)如答图①，当PM＝PC时，∵OB＝OC，PH⊥x轴，

∴∠PMC＝∠OCB＝45°，又∵PM＝PC，∴△PCM是等腰直角三角形，∴PC∥x轴，

∴点P与C(0，－3)关于y＝x2－2x－3的对称轴x＝1对称，

答图②

此时点P的坐标为(2，－3)；

(Ⅱ)如答图②，当PM＝CM时，作MN∥x轴交y轴于点N，则CM＝MN＝n，

∴－n2＋3n＝n，∵n＞0，∴n＝3－，

又∵n2－2n－3＝(n＋1)(n－3)＝2－4，

则此时P点坐标为(3－，2－4)．

综上所述，点P的坐标为(2，－3)或(3－，2－4)．