普通高中数学学业水平合格性考试考点过关练20随机事件与概率含答案

这是一份普通高中数学学业水平合格性考试考点过关练20随机事件与概率含答案，共8页。
题组一 随机事件、事件的关系与运算
1．从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”包含的样本点数为( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
C 从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}．其中“这2个数的和大于4”包含的样本点有：(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共4个．
2．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机事件的是( )
A．3件都是正品B．至少有1件次品
C．3件都是次品D．恰有1件正品
C 25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，则“3件都是次品”是不可能事件．
3．一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是( )
A．恰有一次击中B．三次都没击中
C．三次都击中D．至多击中一次
D 根据题意，一个人连续射击三次，事件“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中三次”两个事件，其对立事件为“一次都没有击中和击中一次”，即“至多击中一次”．
4．掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是( )
A．A⊆BB．A∩B＝{出现的点数为2}
C．事件A与B互斥D．事件A与B是对立事件
B 由题意事件A表示出现的点数是1或2或3；事件B表示出现的点数是2或4或6．故A∩B＝{出现的点数为2}．
5．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( )
A．A⊆DB．B∩D＝∅
C．A∪C＝DD．A∪B＝B∪D
D “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，∴A∪B≠B∪D．
6．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
C A中的两个事件能同时发生，故不互斥；同样，B中两个事件也可同时发生，故不互斥；D中两个事件是对立的．故选C．
7．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：
求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？
(2)至少3人排队等候的概率是多少？
[解] 记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F两两互斥．
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，
所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56．
(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，
所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44．
法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44．
题组二 古典概型概率的计算
8．下列是古典概型的是( )
A．任意掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将去除的正整数作为基本事件时
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
C A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本事件是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本事件可能会无限个，故D不是．
9．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )
A．eq \f(1,6) B．eq \f(1,2) C．eq \f(1,3) D．eq \f(2,3)
C 三名同学站成一排，共包含6种基本结果，甲站在中间有2种结果，所以P＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)．
10．有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
A．eq \f(4,5) B．eq \f(3,5) C．eq \f(2,5) D．eq \f(1,5)
C 从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率P＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5)．故选C．
11．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是( )
A．eq \f(4,5) B．eq \f(3,5) C．eq \f(2,5) D．eq \f(1,5)
D 设所取的数中b>a为事件A，如果把选出的数a，b写成一数对(a，b)的形式，则试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)}，共15个，事件A包含的样本点有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个，因此所求的概率P(A)＝eq \f(3,15)＝eq \f(1,5)．
12．从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于________．
eq \f(1,5) 用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的样本空间Ω＝{AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc}，其中事件“2名都是女同学”包含样本点的个数为3，故所求的概率为eq \f(3,15)＝eq \f(1,5)．
13．从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的2件中恰有1件是次品的概率为________．
eq \f(1,2) 设3件正品为A，B，C,1件次品为D，从中不放回地任取2件，
试验的样本空间Ω＝{AB，AC，AD，BC，BD，CD}，共6个．其中恰有1件是次品的样本点有AD，BD，CD，共3个，故P＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)．
14．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率；
(2)所取的2道题不是同一类题的概率．
[解] (1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6．任取2道题，这个试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共15个样本点，且每个样本点出现的可能性是等可能的，可用古典概型来计算概率．
用A表示“所取的2道题都是甲类题”这一事件，则A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共含有6个样本点，所以P(A)＝eq \f(6,15)＝eq \f(2,5)．
(2)由(1)知试验的样本空间共有15个样本点，用B表示“所取的2道题不是同一类题”这一事件，则B＝{ (1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)}，共包含8个样本点，所以P(B)＝eq \f(8,15)．
题组三 概率统计的综合应用
15．某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位(每班学生50人)，每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据．其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：
(1)用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值；
(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3,4.4，4.5，4.6,4.8．若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率．
[解] (1)高三(1)班8名学生视力的平均值为
eq \f(4.4×2＋4.6×2＋4.8×2＋4.9＋5.1,8)＝4.7，
故用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值为4.7．
(2)从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，所有的取法共有15种，而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法有(4.3，4.5)，(4.3,4.6)，(4.3,4.7)，(4.3,4.8)，(4.4，4.6)，(4.4,4.7)，(4.4,4.8)，(4.5,4.7)，(4.5,4.8)，(4.6，4.8)，共有10种，故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为P＝eq \f(10,15)＝eq \f(2,3)．
16．已知国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n(单位：百人)的关系有如下规定：当n∈[0,100)时，拥挤等级为“优”；当n∈[100,200)时，拥挤等级为“良”；当n∈[200,300)时，拥挤等级为“拥挤”；当n≥300时，拥挤等级为“严重拥挤”．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：
(1)下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．
(2)某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率．
[解] (1)游客人数在[0,100)范围内的天数共有15天，故a＝15，b＝eq \f(15,30)＝eq \f(1,2)，游客人数的平均值为50×eq \f(1,2)＋150×eq \f(1,3)＋250×eq \f(2,15)＋350×eq \f(1,30)＝120(百人)．
(2)从5天中任选两天，试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，共10个样本点，其中游客拥挤等级均为“优”的有(1,4)，(1,5)，(4,5)，共3个，故所求概率为eq \f(3,10)．
[核心精要]
一、事件与基本事件、事件之间的关系
1．事件与基本事件
(1)随机事件是样本空间的子集．随机事件是由若干个基本事件构成的，当然，基本事件也是随机事件．
(2)必然事件与不可能事件不具有随机性，是随机事件的两个极端情形．
2．判断事件间关系的方法
(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的．
(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．
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二、计算古典概型的概率可分三步
(1)计算基本事件总个数n．
(2)计算事件A所包含的基本事件的个数m．
(3)代入公式求出概率P．
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三、求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，一般步骤
(1)将题目条件中的相关知识转化为事件．
(2)判断事件是否为古典概型．
(3)选用合适的方法确定基本事件个数．
(4)代入古典概型的概率公式求解．
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考试要求
1．通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则；
2．结合实例，会用频率估计概率；
3．结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率．
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
视力数据
4.0
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
5.3
人数
2
2
2
1
1
游客数量
(单位：百人)
[0,100)
[100，
200)
[200，
300)
[300，
400]
天数
a
10
4
1
频率
b
eq \f(1,3)
eq \f(2,15)
eq \f(1,30)