普通高中数学学业水平合格性考试标准示范卷4含答案

这是一份普通高中数学学业水平合格性考试标准示范卷4含答案，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(时间90分钟，总分150分，本卷共4页)
一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于( )
A．{1,2,3,4}B．{3,4}
C．{3}D．{4}
D A∪B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，3))，∴∁U(A∪B)＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(4))．故选D．
2．函数f (x)＝lg(2x－1)的定义域是( )
A．(1,2)B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞)
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)
C 由题意得2x－1＞0，解得x＞eq \f(1,2)，故函数的定义域是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))．故选C．
3．一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°所形成的几何体的名称是( )
A．圆柱B．圆锥
C．圆台D．圆柱的一部分
[答案] B
4．已知x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，cs x＝eq \f(4,5)，则tan 2x＝( )
A．eq \f(7,24) B．－eq \f(7,24) C．eq \f(24,7) D．－eq \f(24,7)
D 由cs x＝eq \f(4,5)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，
得到sin x＝－eq \f(3,5)，
∴tan x＝－eq \f(3,4)，
则tan 2x＝eq \f(2tan x,1－tan2x)＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))\s\up12(2))＝－eq \f(24,7)．
故选D．
5．下列存在量词命题是假命题的是( )
A．存在x∈Q，使2x－x3＝0
B．存在x∈R，使x2＝0
C．存在钝角三角形的内角不是锐角或钝角
D．有的有理数没有倒数
C 因为对任意的钝角三角形，其内角是锐角或是钝角，所以选项C不正确．
6．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z等于( )
A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i
C 由(z－1)i＝1＋i，两边同乘－i，则有z－1＝1－i，所以z＝2－i．
7．10名工人某天生产同一种零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a
D 由已知得a＝eq \f(1,10)×(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)＝14.7，
b＝eq \f(1,2)×(15＋15)＝15，
c＝17，∴c＞b＞a．故选D．
8．函数f (x)＝2x＋eq \f(1,4)x的零点所在区间为( )
A．(－3，－2)B．(－2，－1)
C．(－1,0)D．(0,1)
B ∵f (x)＝2x＋eq \f(1,4)x是连续递增的，
f (－2)＝2－2＋eq \f(1,4)×(－2)＝eq \f(1,4)－eq \f(1,2)0，
∴函数f (x)的零点所在区间为(－2，－1)．故选B．
9．小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )
图1
图2
A．1% B．2% C．3% D．5%
C 由题图2知，小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元，占食品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%．故选C．
10．函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)与g(x)＝－x＋a的图象大致是( )
A ∵g(x)＝－x＋a是R上的减函数，
∴排除选项C，D．由选项A，B的图象知，a>1，
∴g(0)＝a>1．故选A．
11．已知向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，sin α))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin α，\f(1,6)))，若a∥b，则锐角α为( )
A．30° B．60° C．45° D．75°
A ∵a∥b，∴sin2α＝eq \f(3,2)×eq \f(1,6)＝eq \f(1,4)．
∴sin α＝±eq \f(1,2)．
又∵α为锐角，∴α＝30°．
12．掷一枚骰子，出现偶数点或出现不小于4的点数的概率是( )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(3,4) C．eq \f(5,6) D．eq \f(4,5)
A 对立事件为出现1点或3点，
所以P＝1－eq \f(2,6)＝eq \f(2,3)．
13．某商场的某种商品的年进货量为10 000件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为( )
A．200件B．5 000件
C．2 500件D．1 000件
D 设每次进货x件，费用为y元．
由题意y＝100×eq \f(10 000,x)＋2×eq \f(x,2)＝eq \f(1 000 000,x)＋x≥2eq \r(\f(1 000 000,x)×x)＝2 000，当且仅当x＝1 000时取等号，y最小．故选D．
14．设函数f (x)＝2sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＞0，0＜φ＜\f(π,2)))，已知函数f (x)的图象相邻的两个对称中心的距离是2π，且当x＝eq \f(π,3)时，f (x)取得最大值，则下列结论正确的是( )
A．函数f (x)的最小正周期是4π
B．函数f (x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增
C．f (x)的图象关于直线x＝eq \f(3π,8)对称
D．f (x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)，0))对称
A 由题意，f (x)的最小正周期为4π，
∴ω＝eq \f(2π,4π)＝eq \f(1,2)．
∵当x＝eq \f(π,3)时，f (x)取得最大值，
即eq \f(1,2)×eq \f(π,3)＋φ＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z．
∴φ＝2kπ＋eq \f(π,3)，k∈Z．
∵0＜φ＜eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,3)．∴f (x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))．
对于A，正确．
对于B，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，eq \f(1,2)x＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(7π,12)))，由正弦函数的单调性可知错误．
对于C，由2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\f(3π,8)＋\f(π,3)))≠2，故错误．
对于D，由2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\f(3π,8)＋\f(π,3)))≠0，故错误．
15．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝BB1＝2，AC＝2eq \r(5)，则异面直线BD与AC所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60°D．90°
C 如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角．由条件可知BD＝DE＝EB＝eq \r(5)，所以∠BDE＝60°．故选C．
二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)
16．已知f (x)是奇函数，且当x0时，－x0时，f (x)＝－f (－x)＝e－ax，
所以f (ln 2)＝e－aln 2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(a)＝8，
所以a＝－3．
17．若等边三角形ABC的边长为4，E是中线BD的中点，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(EC,\s\up6(→))＝________．
1 ∵等边三角形ABC的边长为4，E是中线BD的中点，∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(ED,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(DE,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))．
∴eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)(eq \(AC,\s\up6(→))2－eq \(BD,\s\up6(→))2)＝eq \f(1,4)×(16－12)＝1．
18．《九章算术》中有文：今有鳖臑，下广五尺，无袤，上袤四尺，无广，高七尺．问积几何．文中所述鳖臑是指四个面皆为直角三角形的三棱锥．在如图所示的鳖臑A­BCD中，若AB＝BD＝CD＝1，则该鳖臑的体积为________．
eq \f(1,6) 依题意，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AB＝BD＝1，在Rt△BCD中， BD＝CD＝1，∠BDC＝90°，所以AB⊥底面BCD，得S△BCD＝eq \f(1,2)BD·CD＝eq \f(1,2)，
所以VA­BCD＝eq \f(1,3)S△BCD·AB＝eq \f(1,6)．
19．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝eq \f(π,3)，b＝1，△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)，则a的值为________．
eq \r(3) 由已知得eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×1×c×sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)，∴c＝2，则由余弦定理可得a2＝4＋1－2×2×1×cs eq \f(π,3)＝3，
∴a＝eq \r(3)．
三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20．(8分)如图，在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP＝OC，PA⊥PD．
求证：(1)直线PA∥平面BDE；
(2)平面BDE⊥平面PCD．
[证明] (1)如图，连接OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，
所以O为AC的中点．
又E为PC的中点，所以OE∥PA．
因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，
所以直线PA∥平面BDE．
(2)因为OE∥PA，PA⊥PD，
所以OE⊥PD．
因为OP＝OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC．
又PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩PD＝P，
所以OE⊥平面PCD．
因为OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD．
21．(14分)已知函数f (x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，其中a>0且a≠1．
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f (x)(x≥0)的值域．
[解] (1) ∵f (2)＝eq \f(1,2)，∴a2－1＝eq \f(1,2)．∴a＝eq \f(1,2)．
(2) ∵f (x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x－1)，x≥0，
∴x－1≥－1，
故0