人教B版高中数学必修第一册第1章1.1微专题1利用数轴、维恩图解决集合问题课件+学案

微专题1　利用数轴、维恩图解决集合问题

在集合的关系与运算中，特别是涉及到集合的交集、并集、补集时，往往要对集合的可能情况进行分类讨论，运算较大，容易出错，而若能巧用数轴、维恩图化解集合问题，就可避免分类讨论，使解题显得直观、形象，从而简化解题步骤，提高解题效率．

类型1　利用数轴解决集合的运算问题

【例1】　已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)，(∁UA)∪(∁UB)．

[解]　如图，首先在数轴上表示出全集U和集合A，B．

这样A∩B＝{x|－2≤x≤2}，∁UA＝{x|x＜－2或3＜x≤4}，∁UB＝{x|x＜－3或2＜x≤4}，(∁UA)∪B＝{x|x≤2或3＜x≤4}，A∩(∁UB)＝{x|2＜x≤3}，(∁UA)∪(∁UB)＝{x|x＜－2或2＜x≤4}．

类型2　利用数轴解决集合的关系问题

【例2】　设集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|m－1≤x≤1－2m}．

(1)若B⊆A，求m的取值范围；

(2)若A⊆B，求m的取值范围．

[解]　(1)①当B≠∅时，∵B⊆A，数轴表示如图所示：

∴解得0≤m≤.

②当B＝∅时，m－1＞1－2m，解得m＞.

综上所述，实数m的取值范围是[0，＋∞)．

(2)∵A≠∅，A⊆B，∴B≠∅.

∴m－1≤1－2m，即m≤，数轴表示如图所示，

则解得m≤0.

综上所述，实数m的取值范围是(－∞，0]．

类型3　利用数轴解决集合运算中求参数范围问题

【例3】　已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x<－1，或x>16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围．

(1)A∩B＝∅；(2)A⊆(A∩B)．

[解]　(1)若A＝∅，则A∩B＝∅成立．

此时2a＋1>3a－5，即a<6.

若A≠∅，如图所示，

则

解得6≤a≤7.

综上，满足条件A∩B＝∅的实数a的取值范围是{a|a≤7}．

(2)因为A⊆(A∩B)，且(A∩B)⊆A，

所以A∩B＝A，即A⊆B．

显然A＝∅满足条件，此时a<6.

若A≠∅，如图所示，

则或

由解得a∈∅.

由解得a＞.

综上，满足条件A⊆(A∩B)的实数a的取值范围是.

类型4　利用维恩图解决集合中元素问题

【例4】　设全集U＝{不大于20的质数}，M，P是U的两个子集，且满足M∩(∁UP)＝{3,5}，(∁UM)∩P＝{7,19}，(∁UM)∩(∁UP)＝{2,17}，求集合M，P.

[解]　根据题意，已知全集U＝{不大于20的质数}＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，由M∩(∁UP)＝{3,5}可知，

3∈M,5∈M且3∉P,5∉P；

由(∁UM)∩P＝{7,19}可知，

7∈P,19∈P且7∉M,19∉M；

又由(∁UM)∩(∁UP)＝{2,17}可知，

2∉M,17∉M,2∉P,17∉P.

这样依次可画出维恩图，结合图示对11,13分别进行分析，

可知11,13在两个集合的交集内．

因此集合M＝{3,5,11,13}，P＝{7,11,13,19}.