人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.4 均值不等式及其应用评课课件ppt

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第2课时　均值不等式的应用学 习 任 务核 心 素 养1．熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题．(重点) 2．会用均值不等式求解实际应用题．(难点)1．通过均值不等式求最值，提升数学运算素养．2．借助均值不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养.(1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？(2)某农场主想用篱笆围成一个10 000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？问题　实例中两个问题的实质是什么？如何求解？知识点　重要结论已知x，y都是正数．(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值.(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．  (　　)(2)若a>0，b>0且a＋b＝4，则ab≤4. (　　)(3)当x>1时，函数y＝x＋≥2，所以函数y的最小值是2.  (　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)×[提示]　(1)由a＋b≥2可知正确．(2)由ab≤＝4可知正确．(3)不是常数，故错误．2.已知a，b∈R，则“ab＞0”是“＋＞2”的(　　)A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件B　[ab＞0时，＞0，＞0，∴＋≥2，当且仅当a＝b时取等号，故充分性不成立．反之，∵＋＞2，∴－2＞0，∴＞0，∴ab＞0，∴“ab＞0”是“＋＞2”的必要不充分条件．]3.设x，y∈N*满足x＋y＝20，则xy的最大值为________．100　[∵x，y∈N*，∴20＝x＋y≥2，∴xy≤100.] 类型1　利用均值不等式求最值　直接利用均值不等式求最值【例1】　(1)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)A．80 B．77C．81 D．82(2)当x＞1时，的最小值为________．(1)C　(2)8　[(1)因为x＞0，y＞0，所以≥，即xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81．(2)令t＝＝＝(x－1)＋＋2，因为x－1＞0，所以t≥2＋2＝8，当且仅当x－1＝，即x＝4时，t的最小值为8.]利用均值不等式求最值时要注意(1)x，y一定要都是正数．(2)求积xy最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y最小值时，应看积xy是否为定值．(3)等号是否能够成立．1．已知a＞0，b＞0，则＋＋2的最小值是(　　)A．2 B．2C．4 D．5C　[因为a＞0，b＞0，所以＋＋2≥2＋2≥4＝4，当且仅当即a＝b＝1时，等号成立．]2．已知a＞0，b＞0，ab＝4，m＝b＋，n＝a＋，求m＋n的最小值．[解]　因为m＝b＋，n＝a＋，所以m＋n＝b＋＋a＋.由ab＝4，那么b＝，所以b＋＋a＋＝＋＋a＋＝＋≥2＝5，当且仅当＝，即a＝2时取等号．所以m＋n的最小值是5.　间接利用均值不等式求最值【例2】　(1)已知x＜0，则3x＋的最大值为________．(2)已知x＞2，求x＋的最小值．(3)已知0＜x＜，求x(1－2x)的最大值．[思路点拨]　(1)变形为各项均大于0后利用均值不等式求最值．(2)(3)先对式子变形，凑定值后再利用均值不等式求最值．(1)－12　[因为x＜0，所以－x＞0.则3x＋＝－≤－2＝－12，当且仅当＝－3x，即x＝－2时，3x＋取得最大值为－12.](2)[解]　因为x＞2，所以x－2＞0，所以x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，所以当且仅当x－2＝(x＞2)，即x＝3时，x＋的最小值为4.(3)[解]　因为0＜x＜，所以1－2x＞0，所以x(1－2x)＝×2x(1－2x)≤＝，所以当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，x(1－2x)的最大值为.(1)若把本例(1)改为：已知x＜，试求4x－2＋的最大值．(2)已知x＞0，求2－x－的最大值．[解]　(1)因为x＜，所以4x－5＜0,5－4x＞0.所以4x－5＋3＋＝－＋3≤－2＋3＝1．当且仅当5－4x＝时等号成立，又5－4x＞0，所以5－4x＝1，即x＝1时，4x－2＋的最大值是1．(2)因为x＞0，所以x＋≥4，所以2－x－＝2－≤2－4＝－2，所以当且仅当x＝(x＞0)，即x＝2时，2－x－的最大值是－2.通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标．(3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提． 类型2　利用均值不等式求条件最值【例3】　已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1．求x＋2y的最小值．[解]　∵x＞0，y＞0，＋＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当即时，等号成立，故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.若把“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值．[解]　∵x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，∴＋＝(x＋2y)＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18.当且仅当＝时取等号，结合x＋2y＝1，得x＝，y＝，∴当x＝，y＝时，＋取到最小值18.常数代换法求最值的方法步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)．(2)把确定的定值(常数)变形为1．(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．(4)利用均值不等式求最值．3．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求＋的最小值．[解]　法一：＋＝·1＝·(a＋2b)＝1＋＋＋2＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当即时等号成立．∴＋的最小值为3＋2.法二：＋＝＋＝1＋＋＋2＝3＋＋≥3＋2，当且仅当即时等号成立，∴＋的最小值为3＋2. 类型3　利用均值不等式解决实际问题【例4】　(对接教材P74例3)如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？[解]　设每间虎笼长x m，宽y m，则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为S，则S＝xy.法一：由于2x＋3y≥2＝2，所以2≤18，得xy≤，即Smax＝，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.∵x>0，∴0<y<6，S＝xy＝y＝y(6－y)．∵0<y<6，∴6－y>0.∴S≤＝.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．用均值不等式解决实际问题的步骤(1)理解题意，设好变量．(2)建立相应的关系式，把实际问题转化、抽象为最大值或最小值问题．(3)在自变量范围内，求出最大值或最小值．(4)结合实际意义求出正确的答案，回答实际问题．4．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？[解]　设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为＝.∴每平方米的平均综合费用y＝560＋48x＋＝560＋48.当x＋取最小值时，y有最小值．∵x>0，∴x＋≥2＝30.当且仅当x＝，即x＝15时，上式等号成立．∴当x＝15时，y有最小值2 000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少.1．若正实数a，b满足a＋b＝2，则ab的最大值为(　　)A．1　 B．2　　　　C．2　　　　 D．4A　[由均值不等式得，ab≤＝1，当且仅当a＝b＝1时取到等号．]2．已知0<x<1，则x(3－3x)取最大值时x的值为(　　)A． B．C． D．A　[∵0<x<1，∴1－x>0，则x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3×＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号．]3．(多选题)已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则对于＋(　　)A．取得最值时a＝ B．最大值是5C．取得最值时b＝ D．最小值是AD　[因为a＋b＝2，所以＋＝＋＝＋＋＋2≥＋2＝，当且仅当＝且a＋b＝2，即a＝，b＝时，等号成立．]4．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．x≤　[用两种方法求出第三年的产量分别为A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．∴1＋x＝≤＝1＋，∴x≤.当且仅当a＝b时等号成立．]5．已知a＞1，当a＝________时，代数式a＋有最小值．1＋　[∵a＞1，∴a－1＞0，＞0，∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝2＋1，当且仅当a－1＝时，等号成立．即a＝1＋或a＝1－(舍)时，代数式a＋有最小值．∴a＝1＋.]回顾本节知识，自我完成以下问题：,利用均值不等式求最值有哪些技巧？[提示]　利用均值不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值.常见的变形方法有拆、并、配.1拆——裂项拆项,对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用均值不等式凑定积创造条件.,2并——分组并项,目的是分组后各组可以单独应用均值不等式；或分组后先对一组应用均值不等式，再在组与组之间应用均值不等式得出最值.3配——配式配系数,有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用均值不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.均值不等式的常见变形与拓展1．均值不等式的变形由公式a2＋b2≥2ab和≥可得出以下变形不等式：(1)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时等号成立，＋≤－2(a，b异号)，当且仅当a＝－b时等号成立．特别地，a＋≥2(a＞0)，当且仅当a＝1时等号成立；a＋≤－2(a＜0)，当且仅当a＝－1时等号成立．(2)(a＋b)≥4(ab＞0)，当且仅当a＝b时等号成立．(3)≤≤≤(a，b∈(0，＋∞))，当且仅当a＝b时等号成立．其中＝为a，b的调和平均值，为a，b的平方平均值．此不等式链又常以ab≤≤(a，b∈R)的形式出现．灵活运用上述变形不等式解决问题的关键在于要有这种“变形”的思想和意识，而不是死记这些变形不等式．事实上，均值不等式的变形不等式还不止上述这几种情况，上面的变形不等式只不过给我们提供了变形的思路、方法和技巧，例如，还可以变形为(a＋b)2≥4ab，＋b≥2a(b＞0)等．上述(3)的几何意义如图所示．其中，对CF＝，DE＝的证明如下：在Rt△OCF中，OC＝－b，OF＝，∴CF2＝OC2＋OF2＝＋＝，∴CF＝.∵△CDE∽△ODC，∴DC2＝DE·OD，即DE＝＝＝.2．均值不等式的拓展(1)三元均值不等式⇒当且仅当a＝b＝c时，等号成立．证明：设d为正数，由二元基本不等式，得＝≥≥，当且仅当a＝b＝c＝d时，等号成立．令d＝，即a＋b＋c＝3d，代入上述不等式，得d≥，由此推出d3≥abc，因此≥，当且仅当a＝b＝c时等号成立．(2)n元均值不等式≥(a1，a2，…，an＞0)，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．已知a，b，c均为正实数，求证：(a＋b＋c)·≥9.[证明]　∵a，b，c均为正实数，∴a＋b＋c≥3＞0，＋＋≥3＞0，∴(a＋b＋c)·≥3·3＝9.