人教B版高中数学必修第一册第2章章末综合提升课件+学案

[教师用书独具]

类型1　不等式的性质及其应用

不等式的性质是进行不等关系的推理运算的理论基础，应注意准确应用，保证每一步的推理都有根据．要熟练掌握不等式性质应用的条件，以防推理出错．

【例1】　(1)若＜＜0，则不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④＋＞2中，正确的有(　　)

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

(2)若a，b＞0，且P＝，Q＝，则P，Q的大小关系是(　　)

A．P＞Q B．P＜Q

C．P≥Q D．P≤Q

(1)B　(2)D　[(1)由＜＜0，得ab＞0，b＜a＜0.

故a＋b＜0＜ab，|b|＞|a|，因此①正确，②错误，③错误．又＋－2＝＞0，因此④正确．

(2)P2－Q2＝－(a＋b)

＝－≤0，

所以P2≤Q2，又a，b＞0，则P＞0，Q＞0，即P≤Q.]

1．(多选题)下列命题正确的有(　　)

A．若a＞1，则＜1

B．若a＋c＞b，则＜

C．对任意实数a，都有a2≥a

D．若ac2＞bc2，则a＞b

AD　[因为a＞1，所以＜1，所以A正确；若a＋c＞b，可令a＝1，c＝1，b＝－1，则有＞，故B错误；对于C，可取a＝，则a2＜a，故C错误；因为ac2＞bc2，所以c2＞0，所以a＞b，故D正确．]

类型2　方程组的解集

求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注意解集的表示形式．

【例2】　如果关于x，y的二元一次方程组的解为则方程组的解集为(　　)

A．{(x，y)|(2,1)}　　 B．{(x，y)|(2,3)}

C．{(x，y)|(2,2)} D．{(x，y)|(1,2)}

C　[由方程组

得

根据题意知即，所以解集为{(x，y)|(2,2)}，故选C．]

2．求方程组的解集：

[解]　

由②得，(x－2y)(x＋y)＝0，

即x－2y＝0或x＋y＝0，

所以原方程组可化为或

解得原方程组的解为或

故原方程组的解集是.

类型3　一元二次方程的解法及根与系数的

关系

1．解一元二次方程，应熟练掌握解一元二次方程的方法：

(1)直接开平方法；(2)配方法；(3)因式分解法；(4)公式法．

2．求参数的值是一元二次方程根与系数的关系的常见应用，解题步骤是列方程组，解方程组．

【例3】　已知x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．

(1)是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；

(2)求使＋－2的值为整数的实数k的整数值．

[解]　(1)假设存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立．

∵一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0有两个实数根，

∴解得k＜0.

又x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根，

∴

∴(2x1－x2)(x1－2x2)＝2(x＋x)－5x1x2＝2(x1＋x2)2－9x1x2＝－＝－，∴k＝.

又k＜0，∴不存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立．

(2)∵＋－2＝－2＝－4＝－4＝－，

∴要使其值是整数，只需k＋1能被4整除，

即k＋1＝±1，±2，±4.又k＜0，

∴使＋－2的值为整数的实数k的整数值为－2，－3，－5.

3．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0.

(1)若方程有两个实根，求m的取值范围；

(2)若方程的两个实根为x1，x2，且x1＋3x2＝3，求m的值．

[解]　(1)∵关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个实根，∴Δ＝4－4m≥0，解不等式，得m≤1．

(2)由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝2，

又x1＋3x2＝3，∴x2＝.

把x2＝代入原方程，得m＝.

类型4　一元二次不等式的解法

在解答含参数的一元二次型不等式时，为了做到分类不重不漏，常从以下三个方面考虑：一是二次项系数分为正数，0与负数；二是关于不等式对应的方程的根的讨论，从判断式大于0，等于0，小于0进行分类；三是关于不等式对应的方程的根的讨论，两根之间的大小进行讨论．

【例4】　解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a＜0.

[解]　方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.

(1)当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}；

(2)当a＝－1时，原不等式解集为∅；

(3)当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．

4．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是{x|1＜x＜m}，则m＝________.

2　[因为ax2－6x＋a2<0的解集是{x|1＜x＜m}，

所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的两个实数根，

且m>1，a＞0⇒⇒]

类型5　利用均值不等式求解不等式恒成立

问题

解决不等式恒成立问题，往往使用分离参数法将参数分离出来，将“恒成立问题”转化为“最值问题”求解．

即y≥m恒成立⇔ymin≥m；y≤m恒成立⇔ymax≤m.

但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的式子较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法．

【例5】　设x，y∈(0，＋∞)，若不等式＋≤a·恒成立，求a的最小值．

[思路点拨]　根据条件分离出a，再求式子的范围，最后确定a的最小值．

[解]　由题意，可知a≥恒成立．

∵x，y∈(0，＋∞)，

∴＝＝1＋≤1＋＝2，当且仅当x＝y时等号成立．∴≤，∴a≥，∴a的最小值为.

5．设a＞b＞c，且＋≥恒成立，求m的取值范围．

[解]　由a＞b＞c，知a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0，因此原不等式等价于＋≥m.要使原不等式恒成立，只需＋的最小值不小于m即可．

因为＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即2b＝a＋c时，等号成立，所以m≤4，即m的取值范围是(－∞，4]．

1．(2019·全国卷Ⅱ)设集合A＝{x|x2－5x＋6＞0}，B＝{x|x－1＜0}，则A∩B＝(　　)

A．(－∞，1)　　　　 B．(－2,1)

C．(－3，－1) D．(3，＋∞)

A　[因为A＝{x|x2－5x＋6＞0}＝{x|x＞3或x＜2}，B＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}，所以A∩B＝{x|x＜1}，故选A．]

2．(2019·天津高考)设x∈R，则“0<x<5”是“|x－1|＜1”的(　　)

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

B　[本题考查不等式的解法、必要而不充分条件的判断．由|x－1|<1得0＜x＜2，故0＜x＜5推不出0＜x＜2,0＜x＜2能推出0＜x＜5.故“0＜x＜5”是“|x－1|＜1”的必要而不充分条件．故选B．]

3．(2020·天津高考)已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________．

4　[因为a＞0，b＞0，所以a＋b＞0，又ab＝1，所以

＋＋＝＋＋＝＋≥2＝4，当且仅当a＋b＝4时取等号，结合ab＝1，解得a＝2－，b＝2＋或a＝2＋，b＝2－时，等号成立．]

4．(2020·江苏高考)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________．

　[法一：因为5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，所以y≠0，所以x2＝，则x2＋y2＝＋y2≥2＝，当且仅当＝y2时，即y2＝，x2＝时，x2＋y2的最小值是.

法二：4＝(5x2＋y2)·4y2≤＝(x2＋y2)2，故x2＋y2≥，当且仅当5x2＋y2＝4y2＝2，即x2＝，y2＝时，取等号．所以(x2＋y2)min＝.]

5．(2019·天津高考)设x＞0，y＞0，x＋2y＝5，则的最小值为________．

4　[∵x＞0，y＞0，∴＞0，

又∵x＋2y＝5，∴＝＝＝2＋≥2＝4，

当且仅当xy＝3时等号成立．故所求的最小值为4.]

6．(2020·江苏高考)设x∈R，解不等式2|x＋1|＋|x|＜4.

[解]　当x＞0时，原不等式化为2x＋2＋x＜4，解得0＜x＜；

当－1≤x≤0时，原不等式化为2x＋2－x＜4，解得－1≤x≤0；

当x＜－1时，原不等式化为－2x－2－x＜4，解得－2＜x＜－1．

综上，原不等式的解集为.

7．(2020·全国卷Ⅲ)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1．

(1)证明：ab＋bc＋ca<0；

(2)用max{a，b，c}表示a，b，c的最大值，证明：max{a，b，c}≥.

[解]　(1)证明：由题设可知，a，b，c均不为零，所以

ab＋bc＋ca＝[(a＋b＋c)2－(a2＋b2＋c2)]

＝－(a2＋b2＋c2)＜0.

(2)不妨设max{a，b，c}＝a，因为abc＝1，a＝－(b＋c)，

所以a＞0，b＜0，c＜0.

由bc≤，可得abc≤，当且仅当b＝c＝－时取等号，故a≥，

所以max{a，b，c}≥.