人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性评课ppt课件

3.1.3　函数的奇偶性

第1课时　奇偶性的概念

知识点一　奇函数、偶函数的定义

1．具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？

[提示]　定义域关于原点对称．

1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)．

(1)奇函数的图像一定过原点．  (　　)

(2)如果定义域内存在x0，满足f(－x0)＝f(x0)，函数f(x)是偶函数． (　　)

(3)若对于定义域内的任意一个x，都有f(x)＋f(－x)＝0，则函数f(x)是奇函数．  (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√

[提示]　(1)不一定，如函数f(x)＝.

(2)不符合定义，必须对于定义域内的任意一个x都成立．

(3)若f(x)＋f(－x)＝0，则f(－x)＝－f(x)．

2.下列函数中，即是奇函数又是减函数的为(　　)

A．y＝x－1　　　　　 B．y＝3x2

C．y＝ D．y＝－x|x|

D　[选项中是奇函数的只有C、D，而它们中y＝在定义域上不是减函数，只有D符合题意．]

知识点二　奇函数、偶函数的图像特征

(1)奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称．

(2)如果一个函数的图像关于原点对称，那么它是奇函数；如果一个函数的图像关于y轴对称，那么它是偶函数．

2.若f(x)为奇函数，且点(x，f(x))在其图像上，则哪一个点一定在其图像上？若f(x)为偶函数呢？

[提示]　若f(x)为奇函数，则(－x，－f(x))在其图像上；若f(x)为偶函数，则(－x，f(x))在其图像上．

3.下列图像表示的函数具有奇偶性的是(　　)

A　　　　B　　　　C　　　　D

B　[B选项的图像关于y轴对称，是偶函数，其余选项中的图像都不具有奇偶性．]

4.函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　　)

A．－1　　　　B．0　　　　C．1　　　　D．无法确定

C　[∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1．]

类型1　函数奇偶性的判断

【例1】　(1)已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是(　　)

A．奇函数

B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．非奇非偶函数

(2)函数f(x)＝－2x的图像关于(　　)

A．y轴对称　　　　 B．坐标原点对称

C．直线y＝－x对称 D．直线y＝x对称

(3)判断下列函数的奇偶性：

①f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|；

②f(x)＝；

③f(x)＝

(1)B　(2)B　[(1)F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．

又因为x∈(－a，a)关于原点对称，

所以F(x)是偶函数．

(2)函数的定义域A＝{x|x≠0}，

所以x∈A时，－x∈A，且f(－x)＝－＋2x＝－＝－f(x)，

所以f(x)为奇函数，故图像关于坐标原点对称．]

(3)[解]　①因为x∈R，f(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．

②函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．

③法一：作出函数图像如图：

关于原点对称，所以函数是奇函数．

法二：当x>0时，f(x)＝1－x2，

此时－x<0，

所以f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，

所以f(－x)＝－f(x)；

当x<0时，f(x)＝x2－1，此时－x>0，f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，

所以f(－x)＝－f(x)；

当x＝0时，f(－0)＝－f(0)＝0.

综上，对x∈R，总有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为R上的奇函数．

判断函数奇偶性的2种方法

(1)定义法：

(2)图像法：

1．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号)

①f(x)＝x3；②f(x)＝|x|＋1；③f(x)＝；

④f(x)＝x＋；⑤f(x)＝x2，x∈[－1,2]．

②③　[对于①，x∈R，f(－x)＝－x3＝－f(x)，则为奇函数；

对于②，x∈R，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，则为偶函数；

对于③，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝＝＝f(x)，则为偶函数；

对于④，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝－x－＝－f(x)，则为奇函数；

对于⑤，定义域为[－1,2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数．]

类型2　奇偶函数的图像问题

【例2】　已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图像如图所示．

(1)画出在区间[－5,0]上的图像；

(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．

[解]　(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图像关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图像，可知它在[－5,0]上的图像，如图所示．

(2)由图像知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．

巧用奇、偶函数的图像求解问题

(1)依据：奇函数⇔图像关于原点对称，偶函数⇔图像关于y轴对称．

(2)求解：根据奇、偶函数图像的对称性，可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图像的问题．

2．如图是函数f(x)＝在区间[0，＋∞)上的图像，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图像，并说明你的作图依据．

[解]　因为f(x)＝，所以f(x)的定义域为R.又对任意x∈R，都有f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)为偶函数，所以f(x)的图像关于y轴对称，其图像如图所示．

类型3　利用函数的奇偶性求值

1．对于定义域内的任意x，若f(－x)＋f(x)＝0，则函数f(x)是否具有奇偶性？若f(－x)－f(x)＝0呢？

[提示]　由f(－x)＋f(x)＝0得f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．

由f(－x)－f(x)＝0得f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．

2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)的值可求吗？若f(x)为偶函数呢？

[提示]　若f(x)为奇函数，则f(0)＝0；若f(x)为偶函数，则无法求出f(0)的值．

【例3】　(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；

(2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.

[思路点拨]　(1)

(2)―→―→―→

(1)　0　(2)7　　[(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.

又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图像的特点，易得b＝0.

(2)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，

所以f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，

所以g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7.]

利用奇偶性求参数的常见类型及策略

(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．

(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解．

3．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.

4　[法一：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，f(－x)＝(－x＋a)(－x－4)＝x2－(a－4)x－4a，两式恒相等，则a－4＝0，即a＝4.

法二：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为0，即a－4＝0，则a＝4.

法三：根据二次函数的奇偶性可知，形如f(x)＝ax2＋c的都是偶函数，因而本题只需将解析式看成是平方差公式，则a＝4.]

1．函数f(x)＝的图像关于(　　)

A．x轴对称　　　　 B．原点对称

C．y轴对称 D．直线y＝x对称

B　[由得f(x)的定义域为[－，0)∪(0，]，关于原点对称．

又f(－x)＝＝＝－＝

－f(x)，∴f(x)是奇函数，

∴f(x)＝的图像关于原点对称．]

2．函数f(x)＝|x|＋1是(　　)

A．奇函数 B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数

B　[∵f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，∴f(x)为偶函数．]

3．已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝______.

0　[∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0，∴2ax2＝0对任意x∈R恒成立，所以a＝0.]

4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝－x2－x，则f(2)＝________.

2　[因为f(x)是定义在R上的奇函数，并且x≤0时，f(x)＝－x2－x，所以f(2)＝－f(－2)＝－[－(－2)2－(－2)]＝2.]

5．如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图像，则f(－2)＋f(－1)＝________.

－2　[由题图知f(1)＝，f(2)＝，

又f(x)为奇函数，所以f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－－＝－2.]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．你对函数奇偶性定义是怎样理解的？

[提示]　(1)函数的奇偶性是相对于定义域D内的任意一个x而言的，而函数的单调性是相对于定义域内的某个子集而言的，从这个意义上讲，函数的单调性属于“局部性质”，而函数的奇偶性则属于“整体性质”．

(2)奇函数和偶函数的定义域在数轴上关于原点对称．

2．根据奇、偶函数的定义，你认为它们的图像有什么特点？

[提示]　偶函数的图像关于y轴对称；奇函数的图像关于原点对称．

3．判断或证明函数奇偶性有哪些常用方法？

[提示]　(1)定义法；(2)图像法．