人教B版高中数学必修第一册第3章3.1微专题3函数性质的综合课件+学案+练习含答案

微专题3　函数性质的综合

类型1　函数的奇偶性与单调性的综合应用

　利用函数的奇偶性、单调性比较大小

【例1】　已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，且在[0,5]上是单调函数，若f(－4)＜f(－2)，则下列不等式一定成立的是(　　)

A．f(－1)＜f(3)　　 B．f(2)＜f(3)

C．f(－3)＜f(5) D．f(1)＜f(0)

D　[由题意可得，函数f(x)在[－5,0]上也是单调函数，再根据f(－4)＜f(－2)，可得函数f(x)在[－5,0]上是单调增函数，结合函数f(x)是偶函数，故函数f(x)在[0,5]上是单调减函数，故f(0)＞f(1)．]

　利用函数的奇偶性、单调性解不等式

【例2】　奇函数f(x)是定义在(－1,1)上的减函数，若f(m－1)＋f(3－2m)＜0，求实数m的取值范围．

[解]　原不等式化为

f(m－1)＜－f(3－2m)．

因为f(x)是奇函数，

所以f(m－1)＜f(2m－3)．

又f(x)是减函数，

所以m－1＞2m－3，所以m＜2.

又f(x)的定义域为(－1,1)，

所以－1＜m－1＜1且－1＜3－2m＜1，

所以0＜m＜2且1＜m＜2，所以1＜m＜2.

综上得1＜m＜2.

故实数m的取值范围是(1,2)．

　利用函数的奇偶性、单调性求最值

【例3】　已知函数f(x)为奇函数，当x＞0时，f(x)＝若f(x)在上的最大值为m，最小值为n，求m＋n.

[解]　如图，画出f(x)在(0，＋∞)上的图像，由图知，

当x∈时，f(x)的最小值为f(1)＝－1，

又f＝2，f(4)＝5，

所以f(x)的最大值为f(4)＝5.

又f(x)为奇函数，

所以当x∈时，

f(x)的最大值为f(－1)＝－f(1)＝1，

f(x)的最小值为f(－4)＝－f(4)＝－5.

所以m＝1，n＝－5，故m＋n＝1－5＝－4.

函数单调性的实质是自变量的变化与函数变化的内在统一性，解答这类题目的思路是先由函数的奇偶性将不等式两边都变成只含“f”的式子，然后根据函数的单调性列出不等式(组)求解，注意不要忘记考虑函数的定义域．

1．设函数f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(－2)＝0，则xf(x)＜0的解集为(　　)

A．(－1,0)∪(2，＋∞)

B．(－∞，－2)∪(0,2)

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D．(－2,0)∪(0,2)

C　[利用函数的性质画出函数f(x)的简图如图，

所以不等式xf(x)＜0可化为或

故图可知x＞2或x＜－2，故选C．]

类型2　抽象函数的性质应用

【例4】　函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x＞0时，f(x)＞1．

(1)求证：f(x)在R上是增函数；

(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m－2)＜3.

[解]　(1)证明：设任意x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2－x1＞0，f(x2－x1)＞1．

∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)

＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)

＝f(x2－x1)－1＞0.

∴f(x2)＞f(x1)．故f(x)在R上是增函数．

(2)∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，

∴f(2)＝3.

∴原不等式可化为f(3m－2)＜f(2)．

∵f(x)在R上是增函数，∴3m－2＜2，解得m＜.

故不等式的解集为.

判断抽象函数单调性的方法

2．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)对任意x，y∈(0，＋∞)，恒有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且当0＜x＜1时，f(x)＞0，判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性．

[解]　设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1＜x2，

则f(x1)－f(x2)＝f－f(x2)＝f＋f(x2)－f(x2)＝f.

∵x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，

∴0＜＜1．∴f＞0，

∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，

∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．

类型3　函数性质的综合应用

【例5】　已知函数f(x)＝，f(x)为R上的奇函数且f(1)＝.

(1)求a，b；

(2)判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性并证明；

(3)当x∈[－4，－1]时，求f(x)的最大值和最小值．

[解]　(1)∵f(x)为R上的奇函数，

∴f(0)＝0，得b＝0，

又f(1)＝＝，∴a＝1，

∴f(x)＝.

(2)f(x)在[1，＋∞)上为减函数，证明如下：

设x2＞x1≥1，

∴f(x2)－f(x1)＝－

＝＝＝.

∵x2＞x1≥1，∴x1x2－1＞0，x1－x2＜0，

∴f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，

∴f(x)在[1，＋∞]上为减函数．

(3)∵f(x)为奇函数且f(x)在[1，＋∞)上是减函数，

∴f(x)在(－∞，－1]上为减函数，

又x∈[－4，－1]，

∴f(x)的最大值为f(－4)＝－，f(x)的最小值为f(－1)＝－.

函数的奇偶性是函数部分的热点内容，主要有以下几个考查方向：判断函数的奇偶性，根据奇偶性确定函数值、参数值，奇偶性与单调性相结合的解不等式问题，有时也与后面将要学习的知识相结合，体现了对逻辑推理等核心素养的考查.解决这类问题，紧紧抓住奇偶性的对称特点及单调性的定义.

3．已知函数f(x)＝是奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

[解]　(1)设任意x＜0，则－x＞0，

∴f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.

又f(x)为奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，

∴当x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，

∴m＝2.

(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，

结合f(x)的图像(如图所示)知

∴1＜a≤3，

故实数a的取值范围是(1,3]．